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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Rangbestimmung
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Rangbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 So 06.01.2008
Autor: Julian

Aufgabe
Ermitteln Sie den Rang der folgenden Matrix in Abhängigkeit von [mm] \lambda \in \IR: \pmat{ 1 & \lambda & -1 & 2 \\ 2 & -1 & \lambda & 5 \\ 1 & 10 & -6 & \lambda} [/mm]

Hallo Ihr!

Ich sitze bei dieser Aufgabe einfach auf dem Schlauch. Ich habe verschiedene Wege probiert, und ich komme darauf, dass der Rang für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] = 2 ist. Bei mir fallen immer zwei Zeilen weg. Aber dürfen die Zeilen einfach wegfallen, wenn eine Variable enthalten ist?

Die Lösung zu dieser Aufgabe soll sein: Rg(3) für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm]
Ich habe aber nur dieses Ergebnis, keinen Lösungsweg.

Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.

Vielen Dank schon einmal!
Lieben Gruß,
Julian
        
Bezug
Rangbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 So 06.01.2008
Autor: barsch

Hi,

du hast sicher erst einmal Gauß angewandt auf die Matrix:

> [mm] \lambda \in \IR: \pmat{ 1 & \lambda & -1 & 2 \\ 2 & -1 & \lambda & 5 \\ 1 & 10 & -6 & \lambda} [/mm]

Wäre schon gewesen, du hättest die dadurch "gewonnene" Matrix auch einmal in deinen Beitrag geschrieben :-)

So versuche ich es jetzt einmal.

[mm] \ldots [/mm]

So, jetzt habe ich mich mal mit Gauß an der Matrix versucht (keine Garantie, ich verrechne mich da sehr oft):

[mm] \pmat{ 1 & \lambda & -1 & 2 \\ 0 & -1-\lambda & \lambda+2 & 1 \\ 0 & 10-\lambda & -5 & \lambda-2} [/mm]

Wir sehen, (wenn ich mich nicht verrechnet habe ;-) ), dass die Matrix mindestens Rang 2 hat. Damit Rang der Matrix 2 ist, müsste die 2. Zeile gleich der 3. Zeilen sein.

Also:

[mm] \vmat{ -1-\lambda=10-\lambda \\ \lambda+2=-5 \\ 1=\lambda-2 } [/mm]

Aus der dritten Gleichung folgt: [mm] \lambda=3. [/mm]

Setzt man [mm] \lambda=3 [/mm] in die 2. Gleichung: [mm] 3+2\not=-5 [/mm] also haben wir einen Widerspruch.

Es existiert demnach kein solches [mm] \lambda\in\IR, [/mm] sodass die Matrix Rang 2 hat. Somit hat die Matrix für alle [mm] \lambda\in\IR [/mm] den Rang 3.

MfG barsch
Bezug
                
Bezug
Rangbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:37 Mo 07.01.2008
Autor: Julian

Hallo barsch!

Vielen Dank für deine Antwort.

Das hat mir wirklich sehr geholfen. Tut mir leid, dass ich die durch Gauß erhaltene Matrix nicht gepostet habe.

Das Problem ist, dass ich auf solche Lösungen von alleine irgendwie nur sehr selten komme. Aber je mehr ich übe, desto besser wird es.

Dank dir nochmal!

Lieben Gruß,
Julian
Bezug
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