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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 So 13.11.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Seien A und B endlich erzeugte Gruppen und [mm] \varphi: A\to [/mm] B Homomorphismus.
Zeigen Sie die Rangformel:
[mm] rk(A)=rk(Cer(\varphi))+rk(Im(\varphi)). [/mm] |
Hallo,
Es ist [mm] A\cong\IZ^n\oplus [/mm] A' mit der Torsionsgruppe A'. Durch herausfaktorisieren von A' gelangt man von [mm] \varphi [/mm] zu einem Homomorphismus [mm] \psi: \IZ^n\to B/\varphi(A'). [/mm] Setze [mm] G:=B/\varphi(A').
[/mm]
Es sei [mm] x_1,\ldots,x_n [/mm] eine Basis von [mm] \IZ^n [/mm] und [mm] y_i, i=1,\ldots,n [/mm] deren Bilder unter [mm] \psi. [/mm] Ohne Einschränkung sei die Ordnung von [mm] y_1,\ldots,y_k [/mm] endlich in G und die Ordnung von [mm] y_{k+1},\ldots,y_n [/mm] sei unendlich in G, wobei [mm] 1\le k\leq [/mm] n.
Nach Voraus. existiert für [mm] 1\leq i\leq [/mm] k ein [mm] m_i\in\IZ [/mm] mit [mm] \psi(m_ix_i)=m_iy_i=0. [/mm] Allgemein gilt [mm] \psi(m_i\IZ x_i)=0. [/mm] Die [mm] m_ix_i [/mm] erzeugen eine Untergruppe von [mm] \IZ^n, [/mm] die isomorph zu [mm] \IZ^k [/mm] ist auf und deren Bild 0 ist. Es folgt rk(Cer [mm] \psi)\geq [/mm] k.
Die Elemente [mm] y_{k+1},\ldots,y_n [/mm] spannen eine freie Untergruppe von G auf. Schränkt man [mm] \psi [/mm] auf [mm] F:=\langle x_{k+1},\ldots,x_n\rangle [/mm] ein, so handelt es sich um einen Homomorphismus zwischen zwei freien Gruppen, dieser ist analog zu einer linearen Abbildung von [mm] Z^{n-k}\to\IZ^{n-k}, [/mm] für die die Dimensionsformel gilt. Also folgt n-k=rk(Cer [mm] \psi|F)+rk(Im \psi|F).
[/mm]
Mit obigem ergibt sich n=rk(Cer [mm] \psi)+rk(Im \psi).
[/mm]
Das Problem ist, dass ist alles nicht wirklich sauber: Warum kann ich das so zerlegen und dann wieder zusammenfügen. Es ist auch nicht geklärt, wie ich von [mm] \psi [/mm] wieder auf [mm] \varphi [/mm] rückschließe.
Wenn mein Ansatz also komplett falsch ist, wäre ich auch für etwas Neues sehr dankbar.
Gruß
pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mo 14.11.2011 | | Autor: | pyw |
hat jemand eine Idee?
Gruß, pyw
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mo 14.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien A und B endlich erzeugte Gruppen und [mm]\varphi: A\to[/mm] B
> Homomorphismus.
> Zeigen Sie die Rangformel:
>
> [mm]rk(A)=rk(Cer(\varphi))+rk(Im(\varphi)).[/mm]
Warum schreibst du eigentlich "Cer" fuer den Kern?
> Es ist [mm]A\cong\IZ^n\oplus[/mm] A' mit der Torsionsgruppe A'.
> Durch herausfaktorisieren von A' gelangt man von [mm]\varphi[/mm] zu
> einem Homomorphismus [mm]\psi: \IZ^n\to B/\varphi(A').[/mm] Setze
> [mm]G:=B/\varphi(A').[/mm]
>
> Es sei [mm]x_1,\ldots,x_n[/mm] eine Basis von [mm]\IZ^n[/mm] und [mm]y_i, i=1,\ldots,n[/mm]
> deren Bilder unter [mm]\psi.[/mm] Ohne Einschränkung sei die
> Ordnung von [mm]y_1,\ldots,y_k[/mm] endlich in G und die Ordnung von
> [mm]y_{k+1},\ldots,y_n[/mm] sei unendlich in G, wobei [mm]1\le k\leq[/mm] n.
>
> Nach Voraus. existiert für [mm]1\leq i\leq[/mm] k ein [mm]m_i\in\IZ[/mm] mit
> [mm]\psi(m_ix_i)=m_iy_i=0.[/mm]
Das [mm] $m_i$ [/mm] soll wohl [mm] $\neq [/mm] 0$ sein 
> Allgemein gilt [mm]\psi(m_i\IZ x_i)=0.[/mm]
> Die [mm]m_ix_i[/mm] erzeugen eine Untergruppe von [mm]\IZ^n,[/mm] die
> isomorph zu [mm]\IZ^k[/mm] ist auf und deren Bild 0 ist. Es folgt
> rk(Cer [mm]\psi)\geq[/mm] k.
>
> Die Elemente [mm]y_{k+1},\ldots,y_n[/mm] spannen eine freie
> Untergruppe von G auf. Schränkt man [mm]\psi[/mm] auf [mm]F:=\langle x_{k+1},\ldots,x_n\rangle[/mm]
> ein, so handelt es sich um einen Homomorphismus zwischen
> zwei freien Gruppen, dieser ist analog zu einer linearen
> Abbildung von [mm]Z^{n-k}\to\IZ^{n-k},[/mm] für die die
> Dimensionsformel gilt. Also folgt n-k=rk(Cer [mm]\psi|F)+rk(Im \psi|F).[/mm]
>
> Mit obigem ergibt sich n=rk(Cer [mm]\psi)+rk(Im \psi).[/mm]
>
> Das Problem ist, dass ist alles nicht wirklich sauber:
> Warum kann ich das so zerlegen und dann wieder
> zusammenfügen.
Schwer zu sagen. Das ganze ist eben etwas unsauber, und um die Luecken zu fuellen, muss man sich schon recht anstrengen. Ich wuerde die Aussage bzgl. [mm] $\psi$ [/mm] anders zeigen:
Es ist $Im [mm] \psi \cong \IZ^n [/mm] / [mm] \ker \psi$. [/mm] Sei $C = [mm] \ker \psi$: [/mm] nach dem Elementarteilersatz gibt es eine Basis [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] von [mm] $\IZ^n$ [/mm] sowie Zahlen [mm] $f_1, \dots, f_s \ge [/mm] 1$ so, dass [mm] $f_1 v_1, \dots, f_s v_s$ [/mm] eine Basis von $C$ ist. (Es gilt auch noch [mm] $f_1 \mid \dots \mid f_s$, [/mm] aber das brauchen wir nicht.)
Daraus folgt sofort: $Im [mm] \psi \cong \IZ^{n-s} \times \prod_{i=1}^s \IZ/f_i\IZ$, [/mm] womit der Rang von $Im [mm] \psi$ [/mm] gerade $n - s$ ist. Weiterhin ist $C = [mm] \ker \psi$ [/mm] eine freie Gruppe von Rang $s$.
Damit haben wir also $n = [mm] Rang(\ker \psi) [/mm] + Rang(Im [mm] \psi)$.
[/mm]
> Es ist auch nicht geklärt, wie ich von
> [mm]\psi[/mm] wieder auf [mm]\varphi[/mm] rückschließe.
Erstmal ist $Rang(A) = n$ und $(Im [mm] \varphi) [/mm] / [mm] \varphi(A') [/mm] = Im [mm] \psi$. [/mm] Da [mm] $\varphi(A')$ [/mm] Torsion ist, folgt $Rang(Im [mm] \varphi) [/mm] = Rang(Im [mm] \psi)$: [/mm] das folgt etwa mit dem dritten Isomorphiesatz sowie dem Elementarteilersatz: sei $Im [mm] \varphi [/mm] = [mm] \IZ^m [/mm] / D$ mit einer passenden Untergruppe $D$, dann entspricht [mm] $\varphi(A')$ [/mm] einer Untergruppe $E$ von [mm] $\IZ^m$ [/mm] mit $D [mm] \subseteq [/mm] E$, und es gilt [mm] $\varphi(A') [/mm] = E / D$ und $(Im [mm] \varphi) [/mm] / [mm] \varphi(A') \cong \IZ^m [/mm] / E$ (zweiter Isomorphiesatz). Nun gibt es eine Basis [mm] $w_1, \dots, w_m$ [/mm] von [mm] $\IZ^m$ [/mm] und [mm] $g_1, \dots, g_t \ge [/mm] 1$ so dass [mm] $g_1 w_1, \dots, g_t w_t$ [/mm] eine Basis von $D$ ist. Da $E/D$ endlich ist, muss $E$ im [mm] $\IZ$-Spann [/mm] von [mm] $w_1, \dots, w_t$ [/mm] liegen, womit [mm] $Rang(\IZ^m/E) [/mm] = [mm] Rang(\IZ^m/D)$ [/mm] folgt, also $Rang(Im [mm] \varphi) [/mm] = Rang(Im [mm] \psi)$.
[/mm]
Es fehlt also noch [mm] $Rang(\ker \varphi) [/mm] = [mm] Rang(\ker \psi)$. [/mm] Dazu wende den Elementarteilersatz auf $A$ selber an: es ist $A = [mm] \IZ^k [/mm] / F$ mit einer Untergruppe $F$, und es gibt eine Basis [mm] $x_1, \dots, x_k$ [/mm] von [mm] $\IZ^k$ [/mm] sowie [mm] $h_1, \dots, h_z \ge [/mm] 1$ so dass [mm] $h_1 x_1, \dots, h_z x_z$ [/mm] eine Basis von $F$ ist. Nun entspricht $A'$ gerade [mm] $\langle x_1, \dots, x_z \rangle [/mm] / F [mm] \cong \prod_{i=1}^z \IZ/h_i\IZ$, [/mm] und [mm] $\IZ^n$ [/mm] entspricht gerade [mm] $\langle x_{z+1}, \dots, x_k \rangle$.
[/mm]
Den Kern [mm] $\ker \varphi$ [/mm] kannst du ebenfalls als $G/F$ schreiben mit einer Untergruppe $G [mm] \subseteq \IZ^k$ [/mm] mit $F [mm] \subseteq [/mm] G$. Da $G$ ebenfalls eine freie abelsche Gruppe ist, kannst du dne Elementarteilersatz auch auf $F [mm] \subseteq [/mm] G$ anwenden. Das wird jetzt noch etwas muehsam, aber daraus folgt dann schliesslich [mm] $Rang(\ker \varphi) [/mm] = [mm] Rang(\ker \psi)$.
[/mm]
> Wenn mein Ansatz also komplett falsch ist, wäre ich auch
> für etwas Neues sehr dankbar.
Ich wuerd $A = [mm] \IZ^n [/mm] / C$ schreiben mit einer Untergruppe $C$, dann [mm] $\ker \varphi [/mm] = D / C$, dann den Elementarteilersatz erst auf [mm] $\IZ^n [/mm] / D$ und dann auf $D / C$ anwenden. Damit bekommst du vermutlich die ganze Aufgabe am saubersten direkt geloest.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 15.11.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo felixf,
> Warum schreibst du eigentlich "Cer" fuer den Kern?
Mein Dozent schreibt das so. Keine Ahnung, wieso!
> Ich wuerde die Aussage bzgl. [mm]\psi[/mm] anders zeigen:
Das habe ich mir nun sorgfältig durchgelesen und sehr gut verstanden .
> Ich wuerd [mm]A = \IZ^n / C[/mm] schreiben mit einer Untergruppe [mm]C[/mm], dann [mm]\ker \varphi = D / C[/mm], dann den Elementarteilersatz erst auf [mm]\IZ^n / D[/mm] und dann auf [mm]D / C[/mm] anwenden. Damit bekommst du vermutlich die ganze Aufgabe am saubersten direkt geloest.
So:
Sei [mm] A=\IZ^n/C [/mm] mit geeigneter Untergruppe C in [mm] \IZ^n, [/mm] dann ist [mm] \ker\varphi=D/C [/mm] mit [mm] C\subseteq D\subseteq\IZ^n.
[/mm]
Nach Elementarteilersatz hat [mm] \IZ^n [/mm] eine Basis [mm] x_1,\ldots,x_n [/mm] und es gibt [mm] f_1,\ldots,f_s\geq1 [/mm] sodass [mm] f_1x_1,\ldots,f_sx_s [/mm] eine Basis von D ist. Wendet man den Elementarteilersatz auf D/C an, so folgt es gibt [mm] g_1,\ldots,g_t\geq1 [/mm] sodass [mm] g_1f_1x_1,\ldots,g_tf_tx_t [/mm] eine Basis von C ist.
Es folgt [mm] \ker\varphi=D/C\cong\IZ^{s-t}\times\prod_{i=1}^t\IZ/g_i\IZ. [/mm] Damit hat [mm] \ker\varphi [/mm] Rang s-t.
Weiterhin gilt Rang(A)=n-t, denn [mm] A=\IZ^n/C\cong\IZ^{n-t}\times\prod_{i=1}^t\IZ/g_if_i\IZ. [/mm] Es bleibt also noch z.z., dass Rang(Im [mm] \varphi)=n-s. [/mm] Das folgt aus dem zweiten Isomorphiesatz: [mm] Im\;\varphi\cong A/\ker\varphi=(\IZ^n/C)/(D/C)\cong\IZ^n/D [/mm] und [mm] \IZ^n/D\cong\IZ^{n-s}\times\prod_{i=1}^s\IZ/f_i\IZ, [/mm] also [mm] Rang(\IZ^n/D)=n-s.
[/mm]
Damit folgt die Behauptung.
Akzeptabel?
Vielen Dank und Gruss
pyw
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Di 15.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin pyw!
> > Warum schreibst du eigentlich "Cer" fuer den Kern?
> Mein Dozent schreibt das so. Keine Ahnung, wieso!
Das ist schon etwas komisch. Weder auf englisch, noch auf deutsch, noch auf franzoesisch schreibt man Kern mit C.
> > Ich wuerd [mm]A = \IZ^n / C[/mm] schreiben mit einer Untergruppe [mm]C[/mm],
> > dann [mm]\ker \varphi = D / C[/mm], dann den Elementarteilersatz
> > erst auf [mm]\IZ^n / D[/mm] und dann auf [mm]D / C[/mm] anwenden. Damit
> > bekommst du vermutlich die ganze Aufgabe am saubersten
> > direkt geloest.
>
> So:
> Sei [mm]A=\IZ^n/C[/mm] mit geeigneter Untergruppe C in [mm]\IZ^n,[/mm] dann
> ist [mm]\ker\varphi=D/C[/mm] mit [mm]C\subseteq D\subseteq\IZ^n.[/mm]
> Nach
> Elementarteilersatz hat [mm]\IZ^n[/mm] eine Basis [mm]x_1,\ldots,x_n[/mm] und
> es gibt [mm]f_1,\ldots,f_s\geq1[/mm] sodass [mm]f_1x_1,\ldots,f_sx_s[/mm]
> eine Basis von D ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wendet man den Elementarteilersatz
> auf D/C an, so folgt es gibt [mm]g_1,\ldots,g_t\geq1[/mm] sodass
> [mm]g_1f_1x_1,\ldots,g_tf_tx_t[/mm] eine Basis von C ist.
Ganz so einfach ist es leider nicht. Es kann sein, dass die Basis anders aussieht.
Es gibt eine Basis [mm] $w_1, \dots, w_s$ [/mm] von $D$ sowie [mm] $g_1, \dots, g_t \ge [/mm] 1$, so dass [mm] $g_1 w_1, \dots, d_t w_t$ [/mm] eine Basis von $C$ ist.
> Es folgt
> [mm]\ker\varphi=D/C\cong\IZ^{s-t}\times\prod_{i=1}^t\IZ/g_i\IZ.[/mm]
> Damit hat [mm]\ker\varphi[/mm] Rang s-t.
Bei der restlichen Argumentation wird es jetzt (wesentlich) komplizierter. Ich befuerchte, es geht doch nicht so einfach. Moeglicherweise muss man Teile von dem, was du zuerst hattest, hier einbauen. Zumindest kannst du deinen urspruenglichen Beweis hiermit praeziser formulieren.
LG Felix
> Weiterhin gilt Rang(A)=n-t, denn
> [mm]A=\IZ^n/C\cong\IZ^{n-t}\times\prod_{i=1}^t\IZ/g_if_i\IZ.[/mm]
> Es
> bleibt also noch z.z., dass Rang(Im [mm]\varphi)=n-s.[/mm] Das folgt
> aus dem zweiten Isomorphiesatz: [mm]Im\;\varphi\cong A/\ker\varphi=(\IZ^n/C)/(D/C)\cong\IZ^n/D[/mm]
> und [mm]\IZ^n/D\cong\IZ^{n-s}\times\prod_{i=1}^s\IZ/f_i\IZ,[/mm]
> also [mm]Rang(\IZ^n/D)=n-s.[/mm]
> Damit folgt die Behauptung.
>
> Akzeptabel?
>
> Vielen Dank und Gruss
> pyw
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