Rao-Blackwell < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Fr 23.12.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | | Seien [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] unabhängig und identisch B(1,p)-verteilte Zufallsvariablen. Betrachten Sie zunächst [mm] $\hat p=X_1$ [/mm] und bestimmen Sie dann mit dem Satz von Rao-Blackwell [mm] $\hat \hat [/mm] p$. Verwenden Sie dazu [mm] $T(X)=\sum_{i=1}^{n}X_i$. [/mm] Vergleichen Sie die Varianzen der beiden Schätzungen von p. |
Hallo und Moin!
Also $T(X)$ ist eine suffiziente Statistik für $p$, das haben wir in der Vorlesung gezeigt. Außerdem ist [mm] $\hat [/mm] p$ ein erwartungstreuer Schätzer für $p$. Damit kann man den Satz von Rao-Blackwell anwenden und ich habe dann:
[mm] $\hat \hat p(t)=E_{p}(X_1 [/mm] | T(X)=t)$.
So weit, so gut, aber wie geht es jetzt weiter?
Ist das schon jetzt die endgültige Form oder kann man das noch weiter ausrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Fr 23.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
du musst die Verteilung von [mm] $(X_1 [/mm] | T(X)=t)$ bestimmen und anschliessend deren Erwartungswert.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Fr 23.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich versuche es mal!
[mm] $P(X_1=x_1 [/mm] | [mm] T(X)=t)=\frac{P(X_1=x_1, T(X)=t)}{P(T(X)=t)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{p\cdot P\left(\sum_{i=2}^{n}X_i=t-1\right)}{\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}}=\frac{p\cdot\binom{n-1}{t-1}p^{t-1}(1-p)^{(n-1)-(t-1)}}{\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}}=\frac{t}{n}$, [/mm] wenn [mm] $x_1=1$.
[/mm]
Und für [mm] $x_1=0$ [/mm] kommt analog dann [mm] $\frac{(1-p)\cdot\binom{n-1}{t}p^{t}(1-p)^{(n-1)-t}}{\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}}$ [/mm] heraus.
Der Erwartungswert ist dann [mm] $\frac{t}{n}$.
[/mm]
Also ist [mm] $\hat \hat p=\frac{t}{n}$?
[/mm]
Nun soll ich ja noch die Varianzen vergleichen.
[mm] $\operatorname{Var}(\hat p)=\operatorname{Var}(X_1)=p\cdot (1-p)=p-p^2$.
[/mm]
Was ist die Varianz von [mm] $\hat \hat p=\frac{t}{n}$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Fr 23.12.2011 | | Autor: | luis52 |
> Ich versuche es mal!
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> [mm]P(X_1=x_1 | T(X)=t)=\frac{P(X_1=x_1, T(X)=t)}{P(T(X)=t)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{p\cdot P\left(\sum_{i=2}^{n}X_i=t-1\right)}{\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}}=\frac{p\cdot\binom{n-1}{t-1}p^{t-1}(1-p)^{(n-1)-(t-1)}}{\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}}=\frac{t}{n}[/mm],
> wenn [mm]x_1=1[/mm].
>
> Und für [mm]x_1=0[/mm] kommt analog dann
> [mm]\frac{(1-p)\cdot\binom{n-1}{t}p^{t}(1-p)^{(n-1)-t}}{\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}}[/mm]
> heraus.
>
> Der Erwartungswert ist dann [mm]\frac{t}{n}[/mm].
>
>
> Also ist [mm]\hat \hat p=\frac{t}{n}[/mm]?
>
>
> Nun soll ich ja noch die Varianzen vergleichen.
>
> [mm]\operatorname{Var}(\hat p)=\operatorname{Var}(X_1)=p\cdot (1-p)=p-p^2[/mm].
>
> Was ist die Varianz von [mm]\hat \hat p=\frac{t}{n}[/mm]?
Genauer: [mm]\hat{\hat p}=\frac{T}{n}=\bar X[/mm]. Klingelt's?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Fr 23.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Glaube schon, daß es geklingekt hat. 
[mm] $\operatorname{Var}(\overline{X})=\frac{p(1-p)}{n}$, [/mm] also
liefert ein Vergleich, daß
[mm] $\operatorname{Var}\left(\hat \hat p\right)=\frac{p-p^2}{n}\leq p-p^2=\operatorname{Var}\left(\hat p\right)$.
[/mm]
Das heißt, man hat durch das Herumbasteln mit dem Satz von Rao-Blackwell einen Schätzer gefunden, der mindestens genauso gut ist, wie der alte Schätzer (bezogen auf die Varianz jedenfalls).
Si?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Fr 23.12.2011 | | Autor: | luis52 |
>
> Si?
да!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Fr 23.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Vielen Dank!
& schöne Weinnachten
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