Rationale Funktionen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Sa 08.05.2004 | | Autor: | satsch |
Kann mir jemand erklären, was eine Polstelle und was eine Extremstelle ist? Wie kann man die berechnen, ablesen oder mit einem Taschenrechner (Grafiktaschenrechner) raus bekommen? Vielleicht kann mir jemand die Extremstelle am Beispiel der Funktion "y=x²+2x+6" erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Sa 08.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo satsch,
willkommen im MatheRaum! 
> Kann mir jemand erklären, was eine Polstelle und was eine
> Extremstelle ist? Wie kann man die berechnen, ablesen oder
> mit einem Taschenrechner (Grafiktaschenrechner) raus
> bekommen?
Eine Polstelle ist ein x-Wert, an dem eine Funktion nicht definiert ist und in dessen "Nähe" die Funktion beliebig große Werte annimmt.
Ein Beispiel siehst du in diesem Artikel (schau' dir dort nur die Skizze an; dort ist eine rationale Funktion gezeichnet).
Die blau-gepunkteten senkrechten Linien an den Stellen 2, 0 und 2 sind dort die Polstellen.
Du siehst dort, dass die Funktionswerte je näher man der Polstelle kommt beliebig groß bzw. beliebig klein werden.
Rationale Funktionen können z.B. Polstellen haben, ganz-rationale (=Polynome) Funktionen dahingegen aber nicht (da Polynomfunktionen keine Definitionslücken haben, das war ja eine Voraussetzung für eine Polstelle).
Eine Extremstelle ist ein x-Wert, an dem eine Funktion "in einer gewissen Umgebung" einen größten bzw. kleinsten Wert annimmt.
Zum Beispiel ist bei Parabeln der größte bzw. kleinste Funktionswert der Scheitelpunkt, je nachdem, ob die Parabel nach unten bzw. oben geöffnet ist.
> Vielleicht kann mir jemand die Extremstelle am
> Beispiel der Funktion "y=x²+2x+6" erklären?
Das ist eine Parabel; da sie nach oben geöffnet ist (das erkennt man an der unsichtbaren +1 vor x²) nimmt sie ihren kleinsten Funktionswert an ihrem Scheitelpunkt an; darüberhinaus hat sie keinen größten Funktionswert.
Der Scheitelpunkt berechnet man, indem man die Parabel auf Scheitelpunktsform bringt und dann die Koordinaten des Scheitelpunktes abliest:
y
=x²+2x+6
=x²+2x+1-1+6
=(x²+2x+1)-1+6
=(x+1)²+5
Der Scheitelpunkt liegt bei S(-1|5).
Bei anderen Funktionen ist die Bestimmung des Extrempunktes nicht so einfach, es gelingt aber mit den Mitteln der Differenzialrechnung (die aber erst Stoff der Oberstufe sind).
Ich hoffe, ich konnte so deine Fragen beantworten; falls nicht, frage einfach weiter
Viele Grüße,
Marc
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