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Rationale Koeff.: Normierte Gleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 Fr 06.04.2007
Autor: Contemplatio

Aufgabe
Sei [mm] t=x+y\wurzel{2} \in \IQ[\wurzel{2}], [/mm] x,y [mm] \in\IQ [/mm]
Zeige, dass es a,b [mm] \in \IQ [/mm] gibt mit [mm] t^2+at+b=0 [/mm]

Guten Abend zusammen, wenn noch jemand wach ist...
Kann ich da einfach mit p,q-Formel ran?
Ich habe gerad übehaupt keinen Plan, wie ich da argumentieren soll?
Habe schon rumgerechnet, finde aber keine rationale Darstellung von a und b. Es kommt immer noch [mm] \wurzel{2} [/mm] vor.
Greets
C.


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:


        
Bezug
Rationale Koeff.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:04 Sa 07.04.2007
Autor: felixf

Hallo C.,

> Sei [mm]t=x+y\wurzel{2} \in \IQ[\wurzel{2}],[/mm] x,y [mm]\in\IQ[/mm]
>  Zeige, dass es a,b [mm]\in \IQ[/mm] gibt mit [mm]t^2+at+b=0[/mm]
>  Guten Abend zusammen, wenn noch jemand wach ist...

ja mindestens einer :)

>  Kann ich da einfach mit p,q-Formel ran?

Ja, aber das ist etwas umstaendlich. Es geht auch einfacher: finde eine andere Zahl $t' = [mm] \tilde{x} [/mm] + [mm] \tilde{y} \sqrt{2}$ [/mm] mit $t + t' [mm] \in \IQ$ [/mm] und $t [mm] \cdot [/mm] t' [mm] \in \IQ$. [/mm] Dann ist naemlich $(y - t) (y - t') = [mm] y^2 [/mm] - (t + t') y + t t' [mm] \in \IQ[y]$, [/mm] womit $t$ die Gleichung [mm] $t^2 [/mm] + (-t - t') t + (t t') = 0$ erfuellt.

Du kannst [mm] $\tilde{x}$ [/mm] und [mm] $\tilde{y}$ [/mm] ganz einfach waehlen.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Rationale Koeff.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 Sa 07.04.2007
Autor: Contemplatio

Hallo  danke!
Aber ich verstehe leider nicht  warum man über [mm] \IQ[y] [/mm] geht
Warum konstruiere ich (y-t)*(y-t') ?
Hab irgendwie ein Brett vor Kopf.
Gruß
C.

Bezug
                        
Bezug
Rationale Koeff.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:54 So 08.04.2007
Autor: unknown

Moin,


>  Aber ich verstehe leider nicht  warum man über [mm]\IQ[y][/mm]
> geht
>  Warum konstruiere ich (y-t)*(y-t') ?

Naja, Du willst ein Polynom zweiten Grades mit $t$ als Nullstelle und rationalen Koeffizienten, also irgendwas von der Form [mm] $Y^2 [/mm] + aY + b [mm] \in \IQ[Y]$. [/mm] Wenn Du also [mm] $t\cdot [/mm] t'$ und $t+t' [mm] \in \IQ$ [/mm] hast, dann ist $(Y - t)(Y - t') $ genau so ein Polynom.  (Es war vielleicht etwas unglücklich, die Variable $y$ statt $Y$ oder so zu nennen -- aber ansonsten ist felixf's Ansatz ganz schön).

Falls Dir die Suche nach [mm] $\tilde{x}$ [/mm] und [mm] $\tilde{y}$ [/mm] aus felixf's Vorschlag nicht gefällt, kannst Du alternativ auch erst mal damit anfangen, $t$ zu quadieren. Das Ergebnis ist in [mm] $\IQ[\sqrt2]$, [/mm] also von der Form $r + [mm] s\sqrt{2}$ [/mm] mit $r$ und $s [mm] \in \IQ$. [/mm] Wie oft musst Du jetzt $t$ abziehen, damit das Ergebnis in [mm] $\IQ$ [/mm] liegt? (Also, damit die [mm] $\sqrt2$ [/mm] verschwindet). Und was musst Du dann abziehen, um Null zu erhalten?


Hoffe, das hilft.


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