Raum IR^n über IR < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Sunsh1ne |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Raum [mm] \IR^n [/mm] nicht endlich dimensional über [mm] \IR [/mm] ist. |
Hallo,
ich soll diese Aufgabe bis zum Freitag lösen. Ich überlege schon die ganze Zeit, leider weiß ich nicht genau, wie ich an die Aufgabe am besten ran gehen soll. Hat jemand einen Tip für mich, wie man hier anfangen kann?
Wäre sehr Dankbar!
Vielen Dank und liebe Grüße, Sunny
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> Zeigen Sie, dass der Raum [mm]\IR^n[/mm] nicht endlich dimensional
> über [mm]\IR[/mm] ist.
> Hat jemand einen
> Tip für mich, wie man hier anfangen kann?
Hallo,
ein brandheißer Tip: lies die Aufgabe nochmal.
Weil: der [mm] \IR^n [/mm] mit den einschlägigen Verknüpfungen ist n- dimensional. Also endlichdimensional.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Sunsh1ne |
Hui, danke für deine schnelle Antwort. Ich habe es grade gesehen... Bei der Frage habe ich mich vertippt... es muss heißen:
Zeigen Sie, dass der Raum [mm] \IR^\IN [/mm] nicht endlich-dimensional über [mm] \IR [/mm] ist.
Das ist dann wohl nicht das selbe... weil [mm] \IN [/mm] ja die natürlichen Zahlen sind, also unenedlich.
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Mi 05.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hui, danke für deine schnelle Antwort. Ich habe es grade
> gesehen... Bei der Frage habe ich mich vertippt... es muss
> heißen:
>
> Zeigen Sie, dass der Raum [mm]\IR^\IN[/mm] nicht endlich-dimensional
> über [mm]\IR[/mm] ist.
>
> Das ist dann wohl nicht das selbe... weil [mm]\IN[/mm] ja die
> natürlichen Zahlen sind, also unenedlich.
Genau.
Schau dir doch mal die `Standardeinheitsvektoren' in [mm] $\IR^\IN$ [/mm] an, also die Vektoren, die an genau einer Stelle eine 1 haben und sonst nur 0en. Wieviele gibt es davon? Sind diese linear abhaengig?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Sunsh1ne |
Hallo Felix :)
danke schonmal für deine Antwort!
Also ich denke, dass es n Einheitsvektoren gibt... und diese linear abhängig sind... aber was sagt mir das? :(
Und wie kann ich das am besten für [mm] \IR^\IN [/mm] über [mm] \IR [/mm] beweisen?
Liebe Grüße, Sunny
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> Also ich denke, dass es n Einheitsvektoren gibt... und
> diese linear abhängig sind... aber was sagt mir das? :(
> Und wie kann ich das am besten für [mm]\IR^\IN[/mm] über [mm]\IR[/mm]
> beweisen?
Hallo,
ich verdächtige Dich.
Ich verdächtige Dich, daß Du überhaupt gar nicht weißt, was [mm] \IR^{\IN} [/mm] ist, und die Klärung dieser Sache steht deutlich vor dem Beweis.
Wie ist das denn definiert? Was ist das?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Do 06.12.2007 | | Autor: | Sunsh1ne |
Zum Teil hast du wahrscheinlich recht... ich weiß dass [mm] \IR^\IN [/mm] ist ( f : [mm] \IN \to \IR [/mm] ). Ich verstehe nur nicht so ganz, was ich damit anfangen soll.
Wäre lieb, wenn du Zeit hättest mir dass nochmal zu erklären :)
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> Zum Teil hast du wahrscheinlich recht... ich weiß dass
> [mm]\IR^\IN[/mm] ist ( f : [mm]\IN \to \IR[/mm] ). Ich verstehe nur nicht so
> ganz, was ich damit anfangen soll.
Hallo,
naja, sooooooo uninformiert bist Du dann ja doch nicht.
Der betrachtete Raum ist also der Raum aller reellen Folgen.
Die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:= n^2 [/mm] könnten wir ja auch so notieren:
[mm] (a_n):=(1,4,9,16,..), [/mm] und insofern liegst Du mit Deinen unendlichen Tupeln gar nicht so schlecht.
Die Folgen
[mm] (e_1):=(1,0,0,...)
[/mm]
[mm] (e_2):=(0,1,0,0...)
[/mm]
[mm] (e_3):=(0,0,1,0...)
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
die außer an der i-ten Stelle, wo sie eine 1 haben, nur Nullen haben, meinte Felix mit den Standardeinheitsvektoren.
Diese Folgen sind ja unter Garantie in [mm] \IR^{\IN}, [/mm] und es sind unendlich viele.
Wenn Du jetzt die lineare Unabhängigkeit dieser zeigen kannst, hast Du gezeigt, daß es in [mm] \IR^{\IN} [/mm] eine nichtendliche linear unabhängige Teilmenge gibt. Also kann die Dimension v. [mm] \IR^{\IN} [/mm] nicht endlich sein.
Die lineare Unabhängigkeit dieser Einheitsvektoren ist nun zu zeigen.
Du solltest zuvor nochmal nachschauen, wie die lineare Unabhängigkeit einer nichtendlichen Menge v. Vektoren definiert ist.
Danach kannst Du Dich ans Werk machen, die eigentliche "Rechnung" ist ja sehr einfach.
Gruß v. Angela
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