Raum in Dachboden < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Mi 23.08.2006 | | Autor: | loudy |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=38053
Hey Leute,
mit folgender Textaufgabe habe ich Probleme
Ein Dachboden hat als Querschnittsfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von 4,8 m und einer Breite von 8 m. In ihm soll ein möglichst großes Quarderförmiges Zimmer eingerichtet werden...
Muss irgendwie mit der Ableitung gehen
Vielen Dank!
bis dann |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=38053
Hey Leute,
mit folgender Textaufgabe habe ich Probleme
Ein Dachboden hat als Querschnittsfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von 4,8 m und einer Breite von 8 m. In ihm soll ein möglichst großes Quarderförmiges Zimmer eingerichtet werden...
Muss irgendwie mit der Ableitung gehen
Vielen Dank!
bis dann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mi 23.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Loudy und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast recht, es funktioniert über die Ableitung.
Zuerst eimal musst du dir aber die Funktion zusammenbasteln, die du ableiten willst.
Dieses ist diene Zielfunktion.
Schau dir jetzt mal meine Skizze an.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt siehst du, dass der Raum genau dann am grössten wird, wenn das Rechteck (A = xy) am grössten ist.
Nun brauchst du noch eine Bedingung, um eine Variable zu ersetzen - die Nebenbedingung.
Dafür "spiel" doch einfach mal ein wenig mit den Strahlensätzen, dann bekommst du eine Funktion mit x und y, die du dann nach einer Variablen auflösen kannst - sagen wir y.
Dann kannst du diese Gleichung in die Funktion A(x,y) = xy einsetzen so dass eine Funktion entsteht, die nur von - wenn du vorher nach y aufgelöst hast - x abhängig ist.
Von dieser Funktion kannst du dann den Hochpunkt bestimmen, per Ableitung.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mi 23.08.2006 | | Autor: | loudy |
Ich habe mit Strahlensätzen schon lange nicht mehr gearbeitet..weißt du zufällig wie der Ansatz ist/geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mi 23.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Es gibt ja bekanntlich ZWEI Strahlensätze.
Ich versuche es mal, diese in Worte zu fassen.
1: Das Verhätnis der von den Parallelen abgeteilten Strecken auf den Schenkeln ist gleich, es gilt also: [mm] \bruch{kurze Strecke auf S_{1}}{lange Strecke auf S_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{kurze Strecke auf S_{2}}{lange Strecke auf S_{2}}.
[/mm]
2: Das verhaltnis der beiden Parallelen enstpricht dem Verhältnis der Schenkelstrecken.
Also [mm] \bruch{kurze Strecke auf S}{lange Strecke auf S} [/mm] = [mm] \bruch{kurze Parallele}{lange Parallele}.
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mi 23.08.2006 | | Autor: | loudy |
Kannst du mir vll mal die ganze Textaufgabe vorrechnen, ich stehe momentan irgendwie aufen Schlauch und blicke nicht durch
Wäre echt super von dir!:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mi 23.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Ich geb dir mal die Nebenbedingung.
Nach Strahlensatz gilt:
[mm] \underbrace{\bruch{4,8-y}{4,8}}_{senkrechter Strahl} [/mm] = [mm] \underbrace{\bruch{x}{4}}_{Boden und Decke als Parallelen}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{4 * 4,8}{4,8-y}
[/mm]
Das jetzt mal in A(x,y) = xy einsetzen führt zu:
A(y) = y * EDIT 2 [mm] \bruch{4 * 4,8}{4,8-y}.
[/mm]
Das ganze ist die Zielfunktion, von der du jetzt den Hochpunkt berechnen musst.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Mi 23.08.2006 | | Autor: | loudy |
Wenn du nach x auflöst, wieso hast du den Nenner und Zähler vorher vertauscht? Irgend eine Faktorregel die ich vergessen habe?:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mi 23.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hast recht. Es muss gelten:
x = [mm] \bruch{4*(4,8-y)}{4,8} [/mm] = [mm] \bruch{4,8-y}{1,2}
[/mm]
Also gilt A(y) = y * [mm] \bruch{4,8-y}{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{4,8y - y²}{1,2}.
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mi 23.08.2006 | | Autor: | loudy |
letzte Frage: Welcher von den beiden Strahlensätzen wird angewand?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mi 23.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Der zweite.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mi 23.08.2006 | | Autor: | loudy |
du schreibst hinter dem gleichzeichen x geteilt durch 4, muss das nicht eigentl x geteilt durch 8 sein weil der dachboden doch 8 meter breit ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mi 23.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Im Prinzip ja, aber ich habe als Strahl die Mitte des Dreiecks genommen.
Dann musst du für die Fläche des gesamten Rechtecks aber 2x * y nehmen. Sorry, das hab ich übersehen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mi 23.08.2006 | | Autor: | loudy |
So jetzt habe ich alle Schritte durchgerechnet und habe sie soweit verstanden
jetzt habe ich die gleichung
A(y)=9,6y-2y² geteilt durch 1,2
Wie bilde ich denn jetzt davon die Ableitung und wie rechne ich dann weiter das Maximum aus, weil pq wird dann ja wohl schlecht gehen?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mi 23.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> So jetzt habe ich alle Schritte durchgerechnet und habe sie
> soweit verstanden
>
> jetzt habe ich die gleichung
>
> A(y)=9,6y-2y² geteilt durch 1,2
A(y) = [mm] \bruch{9,6y - 2y²}{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{9,6y}{1,2} [/mm] - [mm] \bruch{2y²}{1,2} [/mm] = 8y - [mm] \bruch{5}{3} [/mm] y²
[mm] \Rightarrow [/mm] A´(y) = [mm] -\bruch{10}{3}y [/mm] + 8
[mm] \Rightarrow [/mm] A´´(y) = [mm] -\bruch{10}{3}
[/mm]
Um den Hochpunkt zu berechnen, brauchst du die Nullstelle der ersten Ableitung. Also gilt 0 = [mm] -\bruch{10}{3}y [/mm] + 8 [mm] \gdw y_{max} [/mm] = [mm] \bruch{24}{10} [/mm] = [mm] \bruch{12}{5}.
[/mm]
Um zu zeigen, dass es ein Hochpunkt ist, muss [mm] A''(y_{max}) [/mm] < 0 sein, was hier offensichtlich der Fall ist.
Jetzt musst du nur noch x bestimmen. Das sollte aber kein Problem mehr sein.
Marius
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