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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Eine Raumsonde bewegt sich auf einer parabelförmigen Bahn [mm] (y=\bruch{1}{4}x^{2}),In [/mm] welchem Punkt der Bahnkurve der Sonde wird der geringste Abstand zum Punkt B(3/0) erreicht? |
hallo^^
Ich hab mal versucht die Aufgabe zu lösen,weiß nicht ob das so stimmt.
Abstand zum Punkt=d [mm] y=\bruch{1}{4}x^{2}
[/mm]
[mm] d=\wurzel{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
[mm] d^{2}=x^{2}+\bruch{1}{4}x^{2}
[/mm]
[mm] d^{2}'=2x+\bruch{1}{2}x=0
[/mm]
2.5x=0
Mein Problem ist,dass jetzt für x=0 rauskommt,ich weiß aber nicht wo mein Fehler liegt?
Eigentlich könnt ich doch auch den Punkt B in [mm] d=\wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] einsetzen,dann kommt für d=3 raus,aber ich weiß trotzdem nicht in welchem Punkt dieser Abstand vorliegt.
kann mir jemand helfen?
lg
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Der Ausdruck [mm] $\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] gibt den Abstand von [mm] $(x,y)_{}$ [/mm] zum Ursprung [mm] $O(0,0)_{}$ [/mm] an.
Den Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten [mm] $(x,y)_{}$ [/mm] und [mm] $(b_1, b_2)$ [/mm] kannst Du mit dem Ausdruck [mm] $\sqrt{(x-b_1)^2 + (y-b_2)^2}$ [/mm] berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,aber was ist denn [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2}?
[/mm]
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Ich habe die Formel möglichst allgemein geschrieben.
In deiner Aufgabe geht es um den Abstand vom gesuchten Punkt (x,y) zu einem Punkt B. Du kannst also für [mm] $(b_1, b_2)$ [/mm] die Koordinaten von B einsetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 04.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,ich setze dann ein [mm] d^{2}=(x-3)^{2}+(\bruch{1}{4}x^{2})^{2}
[/mm]
[mm] d^{2}=x^{2}-6x+9+\bruch{1}{16}x^{4}
[/mm]
[mm] d^{2}'(x)=2x-6+\bruch{1}{4}x^{3}=0
[/mm]
[mm] 2x+\bruch{1}{4}x^{3}=6
[/mm]
Irgendwie kann man das nicht nach x auflösen ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 So 04.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ok,ich setze dann ein
> [mm]d^{2}=(x-3)^{2}+(\bruch{1}{4}x^{2})^{2}[/mm]
>
> [mm]d^{2}=x^{2}-6x+9+\bruch{1}{16}x^{4}[/mm]
>
> [mm]d^{2}'(x)=2x-6+\bruch{1}{4}x^{3}=0[/mm]
>
> [mm]2x+\bruch{1}{4}x^{3}=6[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Irgendwie kann man das nicht nach x auflösen
Doch, das kann man. Es ist eine Gleichung dritten Grades:
[mm] x^3 + 8x -24 = 0 [/mm]
Dafür gibt es eine allgemeine Formel. Falls du die nicht kennst, so gibt es mehrere Möglichkeiten, an die Lösung zu kommen.
1. Raten. Dabei hilft die Aussage, dass der konstante Term $-24$ das Produkt aller Lösungen der Gleichung ist. Daher probiert man erst einmal die Teiler von 24 durch: [mm] $\pm [/mm] 1$, [mm] $\pm2$, $\pm [/mm] 3$, [mm] $\pm4$, $\pm [/mm] 6$. Da wirst du schnell fündig.
2. Grafisch. Mal dir die Funktion $ [mm] x^3 [/mm] + 8x -24 $ auf und schau, wo sie die x-Achse schneidet.
3. Numerisch. So eine Gleichung kann man immer näherungsweise lösen, zum Beispiel mit dem Newtonverfahren. Das ist allerdings hier nicht nötig, weil Methode 1 oder 2 dir schon eine Lösung liefern.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 04.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ach stimmt ja,das Raten gibts auch noch,man könnte doch dann auch noch Polynomdivision machen oder???
Aber wie kommst du auf die Gleichung [mm] x^{3}+8x-24??Ich [/mm] hatte doch ne ganz andere Gleichung ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 So 04.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ach stimmt ja,das Raten gibts auch noch,man könnte doch
> dann auch noch Polynomdivision machen oder???
Genau, nur wirst du damit keine weiteren reellen Lösungen finden - deswegen auch der Hinweis mit dem Aufmalen: es gibt nur eine reelle Lösung.
> Aber wie kommst du auf die Gleichung [mm]x^{3}+8x-24??Ich[/mm] hatte
> doch ne ganz andere Gleichung ?
Ich habe deine Gleichung mit 4 malgenommen und alle Terme auf eine Seite gebracht.
Viele Grüße
Rainer
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