Re: Extremstellen einer e-Funktion?? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Isoela |
Hallo ihr lieben!
Ich hoffe meine Frage geht hier nicht zu weit.
Die Aufgabenstellung ist:
Bestimmen sie alle relativen Extrema und Sattelpunkte von f.
f:= (x² - y²) exp [-(x+y)]
die partiellen Ableitungen habe ich alle bestimmt, komme aber nun nicht weiter. Die obrige Erklärung hilft zwar zum Verständnis, trotzdem kann ich die Aufgabe nicht lösen.
Bitte helft mir !!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Mo 13.09.2004 | | Autor: | choosy |
du musst eigentlich dann nur den gradienten nullsetzen, und gucken was die hessematrix dazu sagt. d.h. berechne
[mm] \begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f}{\partial x}\\
\frac{\partial f}{\partial y}
\end{array}
\right) = 0
\end{eqnarray*}
[/mm]
berechne dann die hesse matrix an diesen stellen und schau ob sie dort positiv-, bzw negativ definit ist. (alle hauptabschnittsdeterminanten positiv)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:01 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Isoela |
Würde das auch ohne Hesse Matrix gehen? Damit komm ich auch nicht klar.
Der andere Lösungsweg mit dem Logorithmus hörte sich gut an.
Aber trotzdem Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Micha |
> Würde das auch ohne Hesse Matrix gehen? Damit komm ich auch
> nicht klar.
> Der andere Lösungsweg mit dem Logorithmus hörte sich gut
> an.
> Aber trotzdem Danke
>
Da wirst du wohl nicht drum herum kommen... Ist doch aber nicht schwer, einmal nach x und einmal nach y abgeleitet und geguckt, wo beides 0 wird...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Di 14.09.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Isoela,
ich versuche mich mal an dieser Aufgabe, erst mal die Berechnung der stationären Stellen (da, wo die partiellen Ableitungen =0 sind):
1. Ableitung nach x: [mm] (2x-x^2+y^2)
[/mm]
1. Ableitung nach y: [mm] (-2y-x^2+y^2)
[/mm]
Jetzt geht es darum, x und y zu berechnen, dafür setzte ich beide Ableitungen =0 und subtrahiere jeweils [mm] -y^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2x-x^2=-2y-x^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x=-y [/mm]
Das setze ich jetzt in die erste Ableitung nach y ein:
[mm] -2y-y^2+y^2=0\gdw[/mm] [mm]-2y=0[/mm][mm] \gdw[/mm] [mm]y=0[/mm]
[mm]y=0[/mm] setze ich nun ein in [mm]x=-y [/mm] und so ergibt sich auch [mm]x=0[/mm]
Die einzige stationäre Stelle liegt also bei P(0/0)
So für das weitere vorgehen brauchen wir die zweiten Ableitungen nach x und y und die gemischte Ableitung:
2. Ableitung nach x: [mm] (-4x+x^2-y^2+2)e^{-x-y}
[/mm]
2. Ableitung nach y: [mm] (4y+x^2-y^2-2)e^{-x-y}
[/mm]
Gemischte Ableitung: [mm] (-2x+x^2-y^2+2y)e^{-x-y}
[/mm]
In folgende Formel werden diese Ableitungen jetzt eingesetzt (entspricht der Hesse-Matrix):
[mm] fxx*fyy-(fxy)^2
[/mm]
für x und y setzt du jetzt die errechneten Punkte, also x=0 und y=0 ein
daraus ergibt sich: [mm] 2*(-2)-0=-4<0\Rightarrow [/mm] Sattelpunkt
So würde ich das machen, aber ohne Gewähr, vielleicht bemühst Du dich noch um eine zweite Meinung 
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