Re, Im, Arg und Betrag < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Chris.K |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil, Argument und Betrag von [mm] z\in\IC\sub
[/mm]
[mm] z=2^-^3^0(i-\wurzel{3})^3^2 [/mm] |
Um die Exponenten muss ich mich erst später kümmern.
Also muss man [mm] (i-\wurzel{3}) [/mm] in Exponentenform bringen um den Winkel und den Betrag zu Bestimmen und danach in Normalform um den Realteil und den Imaginärteil zu Bestimmen.
Laut Lösung ist [mm] (i-\wurzel{3}) [/mm] = [mm] (2*e^\bruch{5\pi}{6}^i)
[/mm]
verstehe diese Umformung überhaupt nicht
Wir dürfen keinen Taschenrechner Benutzen also wie löst man Sowas auf dem Papier ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Chris.K,
> a) Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil, Argument und
> Betrag von [mm]z\in\IC\sub[/mm]
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> [mm]z=2^-^3^0(i-\wurzel{3})^3^2[/mm]
> Um die Exponenten muss ich mich erst später kümmern.
>
> Also muss man [mm](i-\wurzel{3})[/mm] in Exponentenform bringen um
> den Winkel und den Betrag zu Bestimmen und danach in
> Normalform um den Realteil und den Imaginärteil zu
> Bestimmen.
>
> Laut Lösung ist [mm](i-\wurzel{3})[/mm] = [mm](2*e^\bruch{5\pi}{6}^i)[/mm]
>
> verstehe diese Umformung überhaupt nicht
>
> Wir dürfen keinen Taschenrechner Benutzen also wie löst
> man Sowas auf dem Papier ?
Für [mm]z\in\IC[/mm] ist [mm]|z|=\sqrt{(\operatorname{Re}(z))^2+(\operatorname{Im}(z))^2}[/mm]
Weiter ist mit [mm]\varphi=\operatorname{arg}(z)[/mm] doch [mm]z=|z|\cdot{}e^{\varphi\cdot{}i}[/mm] die Darstellung von $z$ in Polarform.
Hier ist dann [mm]|z|=|i-\sqrt{3}|=\sqrt{( \ \sqrt{3} \ )^2+1^2}=\sqrt{4}=2[/mm] , und für die Berechnung des Argumentes gibt es (eine) Formel(n) --> nachschlagen im Skript/deiner Mitschrift/im Netz und mal probieren, [mm]\varphi[/mm] auszurechnen ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Chris.K |
Danke
Hab im eine Formel gefunden die sagt
[mm] a=arctan(\bruch{y}{-x})
[/mm]
[mm] \varphi=180°-a
[/mm]
Bogenmaß [mm] =\bruch{\varphi*\pi}{180} [/mm]
in meinem Fall wären das
[mm] a=arctan(\bruch{1}{+\wurzel{3}}) [/mm] = 30°
[mm] \varphi=180°-30° [/mm] =150° = [mm] \bruch{150*\pi}{180} [/mm] = [mm] \bruch{5}{6}*\pi
[/mm]
Soweit so gut
dan ist z = [mm] \left| z \right|*e^i^\varphi [/mm] = [mm] 2*e^\bruch{5*\pi}{6}
[/mm]
Okay mit deiner Hilfe und den Formeln ist das nun kein Thema mehr
leider dürfen wir keinen Rechner benutzen und so aus dem Kopf den arctan zu berechnen ist für mich nicht so einfach.
Naja egal danke dir
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Hallo Chris.K,
> Danke
>
> Hab im eine Formel gefunden die sagt
>
> [mm]a=arctan(\bruch{y}{-x})[/mm]
> [mm]\varphi=180°-a[/mm]
>
> Bogenmaß [mm]=\bruch{\varphi*\pi}{180}[/mm]
> in meinem Fall wären das
>
> [mm]a=arctan(\bruch{1}{+\wurzel{3}})[/mm] = 30°
> [mm]\varphi=180°-30°[/mm] =150° = [mm]\bruch{150*\pi}{180}[/mm] =
> [mm]\bruch{5}{6}*\pi[/mm]
>
> Soweit so gut
>
> dan ist z = [mm]\left| z \right|*e^i^\varphi[/mm] =
> [mm]2*e^\bruch{5*\pi}{6}[/mm]
>
> Okay mit deiner Hilfe und den Formeln ist das nun kein
> Thema mehr
> leider dürfen wir keinen Rechner benutzen und so aus dem
> Kopf den arctan zu berechnen ist für mich nicht so
> einfach.
Die entsprechenden Sinus. bzw. Cosinuswerte sollten doch bekannt sein.
> Naja egal danke dir
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Chris.K |
Soll mit bekannt gemeint sein das man sowas im Kopf rechnen können sollte, oder das man es in Tabellen in Formelsammlungen bzw Skripten nachlesen kann?
In meiner Formelsammlung steht z.B:
für
[mm] \bruch{5}{6}*\pi [/mm]
150°
[mm] \sin [/mm] x [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \cos [/mm] x [mm] -\bruch{1}{2}*\wurzel{3}
[/mm]
[mm] \tan [/mm] x [mm] -\bruch{1}{3}*\wurzel{3}
[/mm]
so als Tabelle
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Hallo Chris.K,
> Soll mit bekannt gemeint sein das man sowas im Kopf rechnen
> können sollte, oder das man es in Tabellen in
> Formelsammlungen bzw Skripten nachlesen kann?
>
Diese Werte sollte man auswendig wissen.
> In meiner Formelsammlung steht z.B:
> für
> [mm]\bruch{5}{6}*\pi[/mm]
>
> 150°
>
> [mm]\sin[/mm] x [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\cos[/mm] x [mm]-\bruch{1}{2}*\wurzel{3}[/mm]
>
> [mm]\tan[/mm] x [mm]-\bruch{1}{3}*\wurzel{3}[/mm]
>
> so als Tabelle
Wenn die Formelsammlung erlaubt ist, dann ist das auch ok.
Gruss
MathePower
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