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Re und Im berechnen: so richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 Di 31.10.2006
Autor: Bastiane

Aufgabe
Berechnen Sie Real- und Imaginärteil für die folgenden komplexen Zahlen:
[mm] z=\wurzel{\bruch{-4}{i+7}} [/mm]

Hallo zusammen!

Wahrscheinlich werde ich noch ein zwei mehr von solchen Aufgaben posten, aber jetzt erstmal die eine hier. Hab' hier eine angebliche Lösung stehen, verstehe sie aber nicht so ganz und bin auch nicht sicher, ob sie hundertprozentig richtig ist...

[mm] z=\wurzel{\bruch{-4}{i+7}}=\wurzel{-4}*\bruch{1}{\wurzel{i+7}}=2i(i+7)^{-\bruch{1}{2}} [/mm]

Nun steht am Rand einmal: [mm] z=x+iy=||z||(\cos\varphi+i\sin\varphi) [/mm]
das verstehe bzw. kenne ich ja noch, aber dann steht da noch: [mm] \cos\varphi=\bruch{Re\;z}{||z||} [/mm] - wo kommt das denn her??

Dann steht als nächste Umformung (schätzungsweise irgendwie aus diesen beiden Sachen hervorgegangen):
[mm] =2i(\wurzel{50}(\bruch{7}{\wurzel{50}}+i\bruch{1}{\wurzel{50}}))^{-\bruch{1}{2}} [/mm]

kann das sein, dass statt [mm] \wurzel{50} [/mm] stehen müsste: [mm] \wurzel{48}? [/mm] Denn [mm] ||i+7||=\wurzel{i^2+7^2}=\wurzel{-1+49}=\wurzel{48} [/mm] !? (natürlich gilt die "Umformung" so trotzdem, aber im Hinblick auf den nächsten Schritt sollte das wohl eher [mm] \wurzel{48} [/mm] heißen?)

[mm] $\approx 2i(\wurzel{50}e^{i*0,142})^{-\bruch{1}{2}}$ [/mm]

Kann mir jemand sagen, wie genau man hier drauf kommen soll?

Das Ganze geht noch eine Weile weiter, aber erstmal würde ich gerne das hier verstehen. Wenn jemand allerdings einen einfachereren oder kürzeren Lösungsweg zu der Aufgabe hat --> immer her damit. [grins]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

        
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Re und Im berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:18 Mi 01.11.2006
Autor: leduart

Hallo Bastiane
Kannst du komplexe Zahlen aufzeichnen?
1.Der Betrag ist die Entfernung vom Nullpunkt [mm] |7+i|=\wurzel{7^2+1^2} [/mm]
2. aus dem Bild abzulesen der Winkel [mm] \alpha [/mm] des Pfeils von 0 zur zahl, am besten du stellst dir den Pfeil als die komplexe Zahl vor. dann ist klar [mm] cos\alpha=Re(z)/|z| [/mm]
3. wenn man mit Brüchen von komplexen Zahlen umgeht immer erst  mit dem konjugiert komplexen erweitern  dann wird der Nenner reell denn [mm] z*\overline{z}=|z|^2 [/mm]
potenzieren indem man den Betrag potenziert und die Winkel mit der Potenz multipliziert. dazu am besten [mm] z=|z|*e^{i*\alpha} [/mm] benutzen.
So damit denk ich kommst du jetzt alleine durch.
Gruss leduart
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Re und Im berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Mi 01.11.2006
Autor: Bastiane

Hallo leduart,

>  Kannst du komplexe Zahlen aufzeichnen?

Wenn ich Re und Im kenne, dann schon...

>  1.Der Betrag ist die Entfernung vom Nullpunkt
> [mm]|7+i|=\wurzel{7^2+1^2}[/mm]

Das sind doch aber [mm] \wurzel{7^2+i^2}=\wurzel{7^2-1}!??? [/mm] [kopfkratz]

>  2. aus dem Bild abzulesen der Winkel [mm]\alpha[/mm] des Pfeils von
> 0 zur zahl, am besten du stellst dir den Pfeil als die
> komplexe Zahl vor. dann ist klar [mm]cos\alpha=Re(z)/|z|[/mm]

Okay, das verstehe ich jetzt. :-)

>  3. wenn man mit Brüchen von komplexen Zahlen umgeht immer
> erst  mit dem konjugiert komplexen erweitern  dann wird der
> Nenner reell denn [mm]z*\overline{z}=|z|^2[/mm]
>  potenzieren indem man den Betrag potenziert und die Winkel
> mit der Potenz multipliziert. dazu am besten
> [mm]z=|z|*e^{i*\alpha}[/mm] benutzen.

Aber das hilft mir leider noch nicht. Mit dem konjugiert komplexen erweitern hatte ich auch schon versucht, aber da ich ja eine "Lösung" hatte, bei der das nicht gemacht wurde, habe ich es dann nicht weiter versucht. Jetzt kam ich bis zu [mm] z=\bruch{\wurzel{2i-14}}{5}, [/mm] falls das soweit richtig ist. Aber was soll ich potenzieren? Mit [mm] \bruch{1}{2}? [/mm] Und woher bekomme ich den Winkel [mm] \alpha? [/mm]
Wäre schön, wenn du noch etwas konkreter werden könntest...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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Re und Im berechnen: NeeNeeNee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Mi 01.11.2006
Autor: statler

Hallo Christiane!

> >  1.Der Betrag ist die Entfernung vom Nullpunkt

> > [mm]|7+i|=\wurzel{7^2+1^2}[/mm]
>  
> Das sind doch aber [mm]\wurzel{7^2+i^2}=\wurzel{7^2-1}!???[/mm]
> [kopfkratz]

Bei 7+i kennst du doch Re und Im und kannst folglich das Ding zeichnen. Mach's einfach und nimmt den zwar alten, aber immer noch richtigen Py=tha=go=ras!

Und [mm] 7^{2}+1^{2} [/mm] ist doch nie im Leben gleich [mm]7^{2}+i^{2}[/mm], biste noch müde?

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


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Re und Im berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:07 Mi 01.11.2006
Autor: Bastiane

Hallo statler,

> > >  1.Der Betrag ist die Entfernung vom Nullpunkt

> > > [mm]|7+i|=\wurzel{7^2+1^2}[/mm]
>  >  
> > Das sind doch aber [mm]\wurzel{7^2+i^2}=\wurzel{7^2-1}!???[/mm]
> > [kopfkratz]
>  
> Bei 7+i kennst du doch Re und Im und kannst folglich das
> Ding zeichnen. Mach's einfach und nimmt den zwar alten,
> aber immer noch richtigen Py=tha=go=ras!

Klar, aber ich wollte ja nicht 7+i haben, sondern [mm] \wurzel{\bruch{-4}{i+7}}! [/mm]
  
> Und [mm]7^{2}+1^{2}[/mm] ist doch nie im Leben gleich [mm]7^{2}+i^{2}[/mm],
> biste noch müde?

Nein, eben nicht. Aber der Betrag von 7+i ist nicht (wie leduart schrieb): [mm] \wurzel{7^2+1^2} [/mm] oder etwa doch!???

Damit ist meine Ausgangsfrage leider immer noch lääängst nicht beantwortet...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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Re und Im berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Mi 01.11.2006
Autor: Herby

Hallo Bastiane,


wie lautet denn der Betrag von 3+4i ???


da hat doch das i auch nix unter der Wurzel verloren ;-)




Liebe Grüße
Herby
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Re und Im berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:27 Mi 01.11.2006
Autor: Bastiane

Hallo Herby,

> wie lautet denn der Betrag von 3+4i ???
>  
>
> da hat doch das i auch nix unter der Wurzel verloren ;-)

Uups. [peinlich] Ok. Aber damit ist meine Ausgangsfrage trotzdem noch läääängst nicht beantwortet...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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Re und Im berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Mi 01.11.2006
Autor: Herby

Hallo Bastiane,

ich komme zu folgendem Ergebnis:



[mm] z²=\bruch{-4}{7+i}*\bruch{7-i}{7-i}=\bruch{-28}{50}-\bruch{-4i}{50}=-0,56+0,08i [/mm]

[mm] tan(\alpha)=\bruch{0,08}{-0,56}\ \rightarrow\ \alpha=-0,14189... [/mm]


[mm] r=\wurzel{0,56²+0,08²}=0,56569 [/mm]


[mm] z²=0,56569*e^{-0,142} [/mm]


Liebe Grüße
Herby
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Re und Im berechnen: fällige Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Mi 01.11.2006
Autor: statler

Also die läääängst fällige Antwort, Christiane:

Bring [mm] \bruch{-4}{i+7} [/mm] durch Reellmachen des Nennrs in die Form [mm] \bruch{-28}{50} [/mm] + [mm]\bruch{4}{50}[/mm]i

Bring das in Polarkoordinatenform: [mm] \bruch{2}{5}\wurzel{2}(cos171,87° [/mm] +i*sin171,87°)

Vorne steht der Betrag, hinten taucht der Phasenwinkel auf (wie die E-Techniker sagen)

Jetzt noch die Wurzel daraus: Wurzel aus dem Betrag, Phasenwinkel halbieren, gibt
0,7521(cos85,94° + i*sin85,94°)

Die Probe geht jetzt an dich!

LG
Dieter

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Re und Im berechnen: zwei unterschiedliche Winkel?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Mi 01.11.2006
Autor: Bastiane

Hallo ihr Beiden!

Jetzt komm ich mir fast blöd vor, wo es ja doch eigentlich zumindest vom Prinzip her gar nicht so schwer war. Was haben wir da nur damals gemacht und aufgeschrieben?

Allerdings habe ich jetzt von euch zwei unterschiedliche Ergebnisse...

Herby erhält einen Winkel von [mm] $\approx [/mm] 0,142°$. Das wird wohl im Bogenmaß sein, jedenfalls bekomme ich das so auch raus.

Dieter allerdings erhält:

> Bring das in Polarkoordinatenform:
> [mm]\bruch{2}{5}\wurzel{2}(cos171,87°[/mm] +i*sin171,87°)

Also einen Winkel von 171,87°. In welchem Maß ist das denn? Jedenfalls komme ich nicht auf solch einen Winkel.

Den Rest schaff ich dann mittlerweile auch alleine. ;-)
Als Ergebnis hatte ich allerdings hier stehen: 0,053+0,75i - also ein bisschen was anderes... (nach Herbys Winkelberechnung erhalte ich 0,75-0,053i - also irgendwie fast genau anders herum!?

Ich bin ja eigentlich der Meinung, dass Herbys und mein Winkel richtig sind - den Rest werde ich nochmal nachrechnen.

Aber vielleicht könnte mir auch noch jemand sagen, ob ich hier wirklich im Bogenmaß rechnen muss - irgendwie weiß ich das nie...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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Re und Im berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Mi 01.11.2006
Autor: Herby

Moin,

> Hallo ihr Beiden!
>  
> Jetzt komm ich mir fast blöd vor, wo es ja doch eigentlich
> zumindest vom Prinzip her gar nicht so schwer war. Was
> haben wir da nur damals gemacht und aufgeschrieben?
>  
> Allerdings habe ich jetzt von euch zwei unterschiedliche
> Ergebnisse...
>  
> Herby erhält einen Winkel von [mm]\approx 0,142°[/mm]. Das wird wohl
> im Bogenmaß sein, jedenfalls bekomme ich das so auch raus.

ja, aber mit 'nem "-" davor - hab allerdings das [mm] \pi [/mm] nicht berücksichtigt
  
> Dieter allerdings erhält:
>  
> > Bring das in Polarkoordinatenform:
> > [mm]\bruch{2}{5}\wurzel{2}(cos171,87°[/mm] +i*sin171,87°)

das ist auch schnell erklärt:

[mm] 360°=2*\pi [/mm]   damit ist [mm] 1=\bruch{360°}{2*\pi} [/mm] und die Umrechnung von Rad in ° so:


[mm] 0,142(Rad)=0,142*1=0,142*\bruch{360°}{2*\pi}=8,136° [/mm]


und wenn du das von 180° subtrahierst erhältst du 180°-8,136°=171,864

- schließlich liegt unser Zeiger im zweiten Quadranten und nicht wie bei mir im vierten [kopfschuettel]



zu guter Letzt: ich hätte [mm] \pi-0,142=2,999 [/mm] rechnen sollen und dann hätten wir auch identische Ergebnisse gehabt :-)



Liebe Grüße
Herby
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Re und Im berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Mi 01.11.2006
Autor: Bastiane

Hallo Herby!

Danke für die Antwort, aber irgendwie sehe ich immer noch nicht, was da falsch gewesen sein soll. Wo hättest du ein [mm] \pi [/mm] beachten müssen???

Und mit dem Bogenmaß und so: wann verwende ich denn was? Wenn ich die Zahl nachher zeichnen will (das muss ich nämlich auch noch machen), welches Maß nehme ich dann??

Viele Grüße
Bastiane
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Bezug
                                        
Bezug
Re und Im berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Mi 01.11.2006
Autor: Herby

Hi,

> Hallo Herby!
>  
> Danke für die Antwort, aber irgendwie sehe ich immer noch
> nicht, was da falsch gewesen sein soll. Wo hättest du ein
> [mm]\pi[/mm] beachten müssen???

weil mein (dein) a<0 war :-)

schau mal hier unter:  []Umrechnungsformeln

  
> Und mit dem Bogenmaß und so: wann verwende ich denn was?
> Wenn ich die Zahl nachher zeichnen will (das muss ich
> nämlich auch noch machen), welches Maß nehme ich dann??

beim Zeichnen ist sicherlich die [mm] \text{Gradeinteilung} [/mm] hilfreicher, schon wegen des Geodreiecks :-)

aber beim Rechnen ist es die Macht der Gewohnheit - ich rechne lieber mit Bogenmaß



Liebe Grüße
Herby
Bezug
                                        
Bezug
Re und Im berechnen: Nachtrag: Def. Tangens
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:35 Do 02.11.2006
Autor: Herby

Hi,


noch ein kleiner Nachtrag von gestern, da ich mich aus dem Staub machen musste [mussweg]


Schau dir mal den Definitionsbereich vom Tangens an; wenn du über die Grenze [mm] \pm\bruch{\pi}{2} [/mm] hinaus willst, dann musst du [mm] \pi [/mm] addieren oder subtrahieren (kann natürlich auch jeder andere Wert sein ;-) ).

Ich wollte über die Im-Achse, also [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] hinaus vom 1.Quadranten in den zweiten, da ja dort unser Zeiger lag, und hätte eigentlich daher den Wert [mm] \pi [/mm] addieren müssen :-)




Liebe Grüße
Herby

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Re und Im berechnen: Danke, vielen Dank. :-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:18 Do 02.11.2006
Autor: Bastiane

Hallo Herby,

hätte ich beinahe vergessen, wollte mich doch noch ganz dolle für die ganze Hilfe bedanken! Und ich habe wieder mal etwas gelernt. :-)

Nachdem du mir den Link zu Wikipedia gegeben hast, hatte ich da mal ein bisschen genauer nach den Formeln nachgeschaut. Vorher hatte ich nämlich nur in meine Formelsammlung geguckt, und da stand nur die eine Formel ohne das [mm] \pi. [/mm]

Hab's dann glaube ich irgendwie gestern noch irgendwann hinbekommen, jedenfalls habe ich die Aufgabe jetzt fertig aufgeschrieben und da wird bis zur Abgabe nichts mehr geändert...

Übrigens auch danke für deine PN - ist schon ganz gut, wenn man weiß, dass der Hauptantwortgeber erstmal nicht mehr da ist. Wer weiß, was ich sonst noch für Fragen gestellt hätte. ;-)

Viele Grüße und nochmal herzlichen Dank (der geht natürlich auch noch an Dieter und Traudel) [applaus]
Bastiane
[cap]

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Bezug
Re und Im berechnen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:39 So 05.11.2006
Autor: aljose

gehe ich recht in der annahme, dass die antwort dann z=0,75+2,9997i sein müsste?
Allerdings verstehe ich den Schritt nicht, wo man die 8,136° von 180° abzieht, um 171,87° zu erhalten...

Gruß, Alex
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Bezug
Re und Im berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:04 Mo 06.11.2006
Autor: Herby

Guten Morgen Alex,

und zunächst ein herzliches [willkommenmr]


> gehe ich recht in der annahme, dass die antwort dann
> z=0,75+2,9997i sein müsste?

wie kommst du auf dein Ergebnis, kannst du die Rechenschritte mal posten?

das Ergebnis ist nicht korrekt - aber auf Fehler können wir halt erst reagieren, wenn wir den Rechenweg sehen :-)


>  Allerdings verstehe ich den Schritt nicht, wo man die
> 8,136° von 180° abzieht, um 171,87° zu erhalten...
>  

hast du dir die anderen Mitteilungen und Antworten durchgelesen und bist auch dem Link gefolgt?

Falls du damit absolut nicht zurecht kommst, versuche ich es nochmal etwas anders zu formulieren :-)



Liebe Grüße
Herby
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