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Real- Imaginärteil, Betrag: Hausarbeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Mo 08.05.2006
Autor: Towelie

Aufgabe
[mm] (1+2i)^{-1}\*(2-i) [/mm]

hallo erstmal,

ich bin heute durch google auf das forum gestoßten, da ich ein problem mit der mathevorlesung habe.

obige aufgabe ist eine der übungsaufgaben, wir haben auch noch als hausarbeit aufgaben erhalten die ich allesamt nicht lösen kann.

uns wurde sogar eine lösung der beispiele gegeben die ich aber einfach nicht verstehe --> []http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/lehrmaterial/SS2006/MatheII_Ch/loesungen/lv_p01.pdf

ich habe versucht mit logik und wikipedia eine lösung zu bekommen, leider ohne erfolg.

ich wäre euch sehr verbunden wenn mir irgendjemand weiterhelfen könnte.

hier nochmal das arbeitsblatt, unten sind die eigentlichen hausaufgaben (h1-h3) --> []http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/lehrmaterial/SS2006/MatheII_Ch/uebungen/uebung01.pdf

vielen dank schonmal,
mfg,
andi

ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Real- Imaginärteil, Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Mo 08.05.2006
Autor: baskolii

Zuerst: [mm] (1+2i)^{-1}=\frac{1}{1+2i} [/mm]
[mm] \Rightarrow z_1=(1+2i)^{-1}(2-i)=\frac{2-i}{1+2i} [/mm]
Hat man einen Bruch zweier komplexer Zahlen, so möchte man den Nenner real machen. Das erreicht man, indem man den Bruch mit der komplex konjugierten des Nenners erweitert.
[mm] \Rightarrow \frac{2-i}{1+2i}=\frac{2-i}{1+2i}*\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{(2-i)*(1-2i)}{5}=\frac{-5i}{5}=-i=0+(-1)*i [/mm]
Für eine komplexe Zahl mit z:=a+b*i gilt: Re(z)=a, Im(z)=b, [mm] |z|=\sqrt{a^2+b^2} [/mm]
[mm] \Rightarrow Re(z_1)=0, Im(z_1)=-1, |z_1|=1 [/mm]

Hoffe das hilft.

Bezug
                
Bezug
Real- Imaginärteil, Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Mo 08.05.2006
Autor: Towelie

Aufgabe
[mm] (e^{ \bruch{1}{2}\pi i})^{3}*(2e^{- \bruch{1}{4}\pi i})^{2} [/mm]

erstmal vielen dank, durch deine rechnung hab ich zumindest das prinzip verstanden.
was mir noch fehlt ist das argument, leider keine ahnung wo das errechnet wird.

die aufgabe oben ist für mich komplett verwirrend :/

und bei der auflösung imaginär-gleichungen komm ich auch auf keine richtigen ergebnisse.

es wäre unglaublich nett, wenn du dir mal die aufgabe oben, h2 und h3 auf http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/lehrmaterial/SS2006/MatheII_Ch/uebungen/uebung01.pdf anschauen würdest.

vielen dank
andi

Bezug
                        
Bezug
Real- Imaginärteil, Betrag: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:50 Mo 08.05.2006
Autor: baskolii

Poste doch mal deine Rechnung und sag an welcher Stelle du nicht weiterkommst.

Bezug
                        
Bezug
Real- Imaginärteil, Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:23 Di 09.05.2006
Autor: leduart

Hallo Towelie
1. die meisten aufgaben kann man einfach wie klammeraufgaben lösen, wobei man dran denken muss dass i*i=-1
2. mit e- fkt. die komplex sind, geht man wie mit reellen e fkt, um:

> [mm](e^{ \bruch{1}{2}\pi i})^{3}*(2e^{- \bruch{1}{4}\pi i})^{2}[/mm]

also: [mm] $(e^a)^b=e^{a*b}$ [/mm]
[mm][mm] (e^{ \bruch{1}{2}\pi i})^{3}=(e^{ \bruch{3}{2}\pi i}) [/mm]

3. eine Komplexe Zahl kann man schreiben als a+ib a heisst Realteil, b Imaginärteil
oder als [mm] rcos\phi [/mm] + [mm] i*rsin\phi [/mm] wobei r der Betrag, also [mm] $\wurzel{a^2+b^2}$ [/mm]
und [mm] \phi [/mm] der Winkel zur reellen Achse, also [mm] tan\phi=b/a [/mm]
oder als [mm] r*e^{i*\phi} [/mm]  letzes besonders geeignt zum Wurzelziehen und potenzieren!
lineare Gleichungsysteme löst du einfach ganz normal wie andere Gleichungssysteme auch. Quadratische Gleichungen am besten mit quadratischer Ergänzung, pq Formel tuts auch. Wurzel ziehen, indem man in die  [mm] r*e^{i*\phi} [/mm] Schreibweise geht.
Und jetzt rechne mal los, dann können wir vielleicht  korrigieren.
Gruss leduart

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