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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Sa 07.10.2006 | | Autor: | MissYumi |
| Aufgabe | Welche der folgenden Kurvenintegrale sind Wegunabhängig?
1. [mm] \integral_k{sin y dx + x*cosy dy}
[/mm]
2. [mm] \integral_k{x*sin² y dx + cos² y dy}
[/mm]
3. [mm] \integral_k{2 xy³ dx + 3y²x² dy}
[/mm]
Berechenen Sie 2.2 und 2.3 für die Kurve x(t) = t, y(t) = t²/2 , 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1, orientiert am wachsenden t. |
Ich habe leider noch nicht verstanden was wegunabhängig bedeutet und was mit Kurve gemeint ist. Könnte mir bitte jmd diese Aufgabe mit kommentaren erläutern? Ich habe zwar Lösungen dazu, dieses sind jedoch zu kurz und unkommentiert so das ich sie nicht verstehe.
MfG Yumi
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Diese Frage ist schwierig zu beantworten, ohne daß man dein Vorwissen hinsichtlich Kurvenintegralen kennt. Je nach Einführung dieses Begriffes in der Vorlesung muß nämlich die Antwort so oder so ausfallen. Sagen dir die Begriffe "Differentialform", "exakte Differentialform", "Stammfunktion", "äußere Ableitung" etwas?
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Naja, stell dir ein Kraftfeld vor.
Wenn du dich da durch bewegst, spührst du Kräfte. Multiplizierst du die Kraft mit einem Stück weg, erhälst du die Energie, die du aufbringst (wenn du dich gegen das Feld bewegst), oder die du gewinnst (weil das Kraftfeld dich anschiebt).
Also, im ersten Fall gilt für die Kraft an einem beliebigen Punkt (x,y):
[mm] \vektor{\sin x\\ x\cos y}
[/mm]
Wenn du dich ein winziges stück bewegst, und zwar um den Vektor [mm] \vektor{dx \\ dy}, [/mm] dann ist die aufgewendete Energie:
[mm] $E=\vektor{\sin x\\ x\cos y}\vektor{dx \\ dy}$
[/mm]
(Das skalarprodukt sorgt automatisch dafür, daß nur die Kraftkomponente parallel zum Wegstück berücksichtigt wird)
Wenn du jetzt von einem Punkt zu einem anderen gehst, mußt du diese winzigen Stücke aufsummieren, sprich integrieren:
[mm] $E_{ges}=\integral \vektor{\sin x\\ x\cos y}\vektor{dx \\ dy}$
[/mm]
Das ist erstmal alles.
Die Frage ist, ist es nun egal, was für einen Weg du gehst?
Also, du willst von Punkt (0;0) zu (1;0.5)
Welche Möglichkeiten gibt es?
Du könntest grade durchlaufen, das hieße entlang des WEges, der durch x(t)=t; y(t)=0.5t beschrieben wird.
Oder du gehst zuerst nach oben, also y=0...0.5 und dann in x-Richtung.
Diesen Weg schaun wir uns genauer an. Zuerst ist x=0, und du gehst nur in y-Richtung. Setze in dem INtegral also x=dx=0, und integriere nur über y von 0 bis 0.5. Das ist die Energie, die du z.B. aufwendest, um von (0;0) nach (0;0.5) zu kommen.
Jetzt mußt du von (0;0.5) nach (1;0.5).
Das heißt, dy=0, weil du nur in x-Richtung gehst. y=0.5, denn du bewegst dich ja in der Höhe über der Achse. Jetzt integrierst du nur noch über x im Bereich von 0 bis 1.
Jetzt bekommst du die Energie, die du für den waagerechten Weg benötigst.
Beide Energien zusammen ergeben deine Gesamtenergie.
Jetzt könntest du mal einen anderen Weg gehen, also erst entlang der x-Achse nach (1;0) und dann nach oben zu (1;0.5).
Kommt hier die gleiche Gesamtenergie raus?
Wenn nein, ist das ganze nicht Wegunabhängig.
Nun gibts noch einen anderen Weg, das ist eine Parabel, entlang derer zu dem zweiten Punkt wanderst.
Setze einfach x=t, dx=dt y=1/2t², dy=t*dt (!!!) Das letzte läuft unter dem Stichwort Substitution!
Das gibt dir auch ein einfaches Integral, das du integrieren kannst. Gibt dir das auch die gleiche Energie?
wohlgemerkt, man so nur rausfinden, daß die Wegunabhängigkeit nicht gilt, indem man ein Gegenbeispiel findet!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Sa 07.10.2006 | | Autor: | MissYumi |
Zur ersten Antwort: Alles bis auf Stammfunktion sagt mir erstma nichts :(.
Zur zweiten Antwort: Suuuper. Das hilft mir schonmal weiter, da ich Physik LK hatte und mir so mehr vorstellen kann. Ich werde mich ran setzen und das mal durchrechnen und dann sicher noch ein paar Fragen stellen. Danke erstmal!!
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