Rechenregel Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:53 Di 10.09.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
da ich mir gerne alternative Beweise zur Vorlesung überlege, bitte ich darum folgenden Beweis auf seine Stichhaltigkeit zu prüfen:
Ich möchte für Folgen [mm] $a_n\to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to [/mm] b$ in [mm] \IC [/mm] zg.:
Zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ex. ein $N [mm] \in \IR$, [/mm] s.d. [mm] $|a_n b_n [/mm] - ab|< [mm] \epsilon$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] mit $n>N$. Also [mm] $a_nb_n\to [/mm] ab$ bei [mm] $n\to \infty$.
[/mm]
Beweis:
[mm] $|a_n-b_n|=|a_n(b_n [/mm] - [mm] b)+(a_n [/mm] - a)b|<oder = [mm] |a_n||b_n-b|+|a_n-a||b| [/mm] = (*)$
Hier kommt eine Abschätzung ins Spiel ich habe mir gedacht, dass wir [mm] $|a_n [/mm] - [mm] a|<\epsilon$ [/mm] immer für ganz kleine [mm] \epsilon>0 [/mm] betrachten und wir daher O.B.d.A. annehmen können, dass
[mm] $|a_n [/mm] - [mm] a|<\epsilon<\frac{a}{2}$ [/mm] gewählt werden darf. Daraus folgt aber [mm] $\frac{a}{2} [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] \frac{3a}{2}$. [/mm] Analoges gilt auch für [mm] b_n, [/mm] weshalb ich wie folgt abschätze:
$(*) < [mm] |\frac{3a}{2}||b_n [/mm] - [mm] b|+|a_n [/mm] - a||b| = (**)$
Jetzt die nächste Abschätzung: [mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] |\frac{\epsilon}{2b}|$ [/mm] und [mm] $|b_n [/mm] - [mm] b|<|\frac{2\epsilon}{6a}|$.
[/mm]
[mm] $(**)<|\frac{3a}{2}||\frac{2\epsilon}{6a}|+|\frac{\epsilon}{2b}||b|= \frac{\epsilon}{2} [/mm] + [mm] \frac{\epsilon}{2} [/mm] = [mm] \epsilon$. [/mm] Q.E.D.
Was haltet ihr davon? Ich bin besonders unsicher, ob ich auch wirklich [mm] $|a_n [/mm] - [mm] a|<\epsilon<\frac{a}{2}$ [/mm] und [mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] |\frac{\epsilon}{2b}|$ [/mm] sowie [mm] $|b_n [/mm] - [mm] b|<|\frac{2\epsilon}{6a}|$ [/mm] wählen darf. Im Voraus danke ich für eure Hilfe.
MfG Ladon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Di 10.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> da ich mir gerne alternative Beweise zur Vorlesung
> überlege, bitte ich darum folgenden Beweis auf seine
> Stichhaltigkeit zu prüfen:
>
> Ich möchte für Folgen [mm]a_n\to a[/mm] und [mm]b_n \to b[/mm] in [mm]\IC[/mm] zg.:
> Zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ex. ein [mm]N \in \IR[/mm], s.d. [mm]|a_n b_n - ab|< \epsilon[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]n>N[/mm]. Also [mm]a_nb_n\to ab[/mm] bei [mm]n\to \infty[/mm].
>
> Beweis:
> [mm]|a_n-b_n|=|a_n(b_n - b)+(a_n - a)b|
das Symbol [mm] $\le$ [/mm] bekommst Du so: [mm] [nomm]$\le$[/nomm]
[/mm]
> Hier kommt eine Abschätzung ins Spiel ich habe mir
> gedacht, dass wir [mm]|a_n - a|<\epsilon[/mm] immer für ganz kleine
> [mm]\epsilon>0[/mm] betrachten
Da wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ sicher für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N\,$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle
$n [mm] \ge [/mm] N$ existiert, gilt das natürlich auch für "kleine" [mm] $\epsilon.$
[/mm]
> und wir daher O.B.d.A. annehmen
> können, dass
> [mm]|a_n - a|<\epsilon<\frac{a}{2}[/mm] gewählt werden darf.
Klar, aber das stimmt nur fast: o.B.d.A. sei $0 < [mm] \epsilon [/mm] < [mm] \red{|}a\red{|}/2\,.$ [/mm] Wir
sind hier in [mm] $\IC$!
[/mm]
> Daraus folgt aber [mm]\frac{a}{2} < a_n < \frac{3a}{2}[/mm].
Auch hier sind (kleine) Korrekturen vorzunehmen: Anstatt [mm] $a\,$ [/mm] gehört da [mm] $|a|\,$ [/mm] hin,
also
$|a|/2 < [mm] a_n [/mm] < [mm] 3a/2\,.$
[/mm]
Allerdings gibt's da 'ne kleine Einschränkung: $|a| [mm] \not=0$ ($\iff [/mm] a [mm] \not=0$) [/mm] sollte gelten!
> Analoges gilt auch für [mm]b_n,[/mm] weshalb ich wie folgt
> abschätze:
> [mm](*) < |\frac{3a}{2}||b_n - b|+|a_n - a||b| = (**)[/mm]
> Jetzt
> die nächste Abschätzung: [mm]|a_n - a| < |\frac{\epsilon}{2b}|[/mm]
Hier brauchst Du $b [mm] \not=0\,$ [/mm] also eine kleine Fallunterscheidung!
> und [mm]|b_n - b|<|\frac{2\epsilon}{6a}|[/mm].
>
> [mm](**)<|\frac{3a}{2}||\frac{2\epsilon}{6a}|+|\frac{\epsilon}{2b}||b|= \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon[/mm].
> Q.E.D.
>
> Was haltet ihr davon? Ich bin besonders unsicher, ob ich
> auch wirklich [mm]|a_n - a|<\epsilon<\frac{a}{2}[/mm] und [mm]|a_n - a| < |\frac{\epsilon}{2b}|[/mm]
> sowie [mm]|b_n - b|<|\frac{2\epsilon}{6a}|[/mm] wählen darf.
Sowas darfst Du durchaus. Du kannst es sauberer aufschreiben: Wir nehmen
ein [mm] $N_1,$ [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge N_1$ [/mm] gilt: $|a|/2 < [mm] a_n [/mm] < [mm] 1,5*|a|\,.$
[/mm]
Ferner existiert ein [mm] $N_2\,,$ [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge N_2$ [/mm] gilt... Am Ende definierst
Du Dir dann halt [mm] $N:=\max\{...\}$; [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt dann: ...
Übrigens würde ich den Beweis anders führen, einfach, damit er
übersichtlicher wird:
1. Zeige: Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Nach 1. gilt dann: Wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ existiert eine Konstante [mm] $C_a [/mm] > 0$ mit
[mm] $|a_n| \le C_a$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
(Ferner existiert eine Konstante [mm] $C_b [/mm] > 0$ mit [mm] $|b_n| \le C_b$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$)
[/mm]
Daher gilt - wenn wir im Folgenden o.E. $b [mm] \not=0$ [/mm] annehmen:
[mm] $|a_nb_n-ab| \le |a_n|\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b| \le C_a\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b|$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Sei nun [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann existiert zu [mm] $\epsilon':=\epsilon/(2C_a) [/mm] > 0$ ein [mm] $N'\,$ [/mm] mit
[mm] $|b_n-b| \le \epsilon'$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N'\,.$
[/mm]
Ferner: Es existiert zu [mm] $\epsilon'':=\epsilon/(2|b|) [/mm] > 0$ ein [mm] $N''\,$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a| \le \epsilon''$ [/mm]
für alle $n [mm] \ge N''\,.$
[/mm]
Was folgt dann für alle $n [mm] \ge N:=\max\{N',N''\}$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Di 10.09.2013 | | Autor: | Ladon |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Dann waren meine Überlegungen mit ein paar kleinen Korrekturen richtig. 
> Übrigens würde ich den Beweis anders führen, einfach,
> damit er
> übersichtlicher wird:
>
> 1. Zeige: Jede konvergente Folge ist beschränkt.
>
> 2. Nach 1. gilt dann: Wegen [mm]a_n \to a[/mm] existiert eine
> Konstante [mm]C_a > 0[/mm] mit
> [mm]|a_n| \le C_a[/mm] für alle [mm]n\,.[/mm]
> (Ferner existiert eine Konstante [mm]C_b > 0[/mm] mit [mm]|b_n| \le C_b[/mm]
> für alle [mm]n\,.[/mm])
>
> Daher gilt - wenn wir im Folgenden o.E. [mm]b \not=0[/mm] annehmen:
>
> [mm]|a_nb_n-ab| \le |a_n|\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b| \le C_a\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b|[/mm]
> für alle [mm]n\,.[/mm]
>
> Sei nun [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Dann existiert zu
> [mm]\epsilon':=\epsilon/(2C_a) > 0[/mm] ein [mm]N'\,[/mm] mit
> [mm]|b_n-b| \le \epsilon'[/mm] für alle [mm]n \ge N'\,.[/mm]
> Ferner: Es
> existiert zu [mm]\epsilon'':=\epsilon/(2|b|) > 0[/mm] ein [mm]N''\,[/mm] mit
> [mm]|a_n-a| \le \epsilon''[/mm]
> für alle [mm]n \ge N''\,.[/mm]
>
> Was folgt dann für alle [mm]n \ge N:=\max\{N',N''\}[/mm]?
Es folgt:
[mm] $C_a\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b|
In der Tat ein sehr schöner, einfacher Beweis. Danke nochmals.
MfG Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Di 10.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ladon,
> Vielen Dank für deine Hilfe!
> Dann waren meine Überlegungen mit ein paar kleinen
> Korrekturen richtig.
> > Übrigens würde ich den Beweis anders führen, einfach,
> > damit er
> > übersichtlicher wird:
> >
> > 1. Zeige: Jede konvergente Folge ist beschränkt.
> >
> > 2. Nach 1. gilt dann: Wegen [mm]a_n \to a[/mm] existiert eine
> > Konstante [mm]C_a > 0[/mm] mit
> > [mm]|a_n| \le C_a[/mm] für alle [mm]n\,.[/mm]
> > (Ferner existiert eine Konstante [mm]C_b > 0[/mm] mit [mm]|b_n| \le C_b[/mm]
> > für alle [mm]n\,.[/mm])
> >
> > Daher gilt - wenn wir im Folgenden o.E. [mm]b \not=0[/mm] annehmen:
> >
> > [mm]|a_nb_n-ab| \le |a_n|\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b| \le C_a\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b|[/mm]
> > für alle [mm]n\,.[/mm]
> >
> > Sei nun [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Dann existiert zu
> > [mm]\epsilon':=\epsilon/(2C_a) > 0[/mm] ein [mm]N'\,[/mm] mit
> > [mm]|b_n-b| \le \epsilon'[/mm] für alle [mm]n \ge N'\,.[/mm]
> > Ferner:
> Es
> > existiert zu [mm]\epsilon'':=\epsilon/(2|b|) > 0[/mm] ein [mm]N''\,[/mm] mit
> > [mm]|a_n-a| \le \epsilon''[/mm]
> > für alle [mm]n \ge N''\,.[/mm]
> >
> > Was folgt dann für alle [mm]n \ge N:=\max\{N',N''\}[/mm]?
>
> Es folgt:
>
> [mm]C_a\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b|
"eigentlich" müßte da [mm] $\le$ [/mm] stehen - aber das Ganze ist nur "Kosmetik" (warum
eigentlich?).
> In der Tat ein sehr schöner, einfacher Beweis. Danke
> nochmals.
Gerne - aber willst Du nicht auch mal versuchen, die Aussage
konvergente Folgen sind beschränkt
zu beweisen? (Das ist nicht so schwer - wenn Du willst, so kannst Du die
Aussage auch so zerlegen, dass Du zunächst beweist, dass Nullfolgen
beschränkt sind.)
Gruß,
Marcel
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