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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mo 29.10.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | a) Beweise mit Wahrheitswertetabelle [mm] A\wedge (A\vee [/mm] B)=A
b)A,B seien Teilmengen der Grundmenge X und [mm] M^c:=X\M [/mm] das Komplement der Teilmenge [mm] M\subset [/mm] X in X.
Zeige mit Hilfe von Teil a), dass [mm] A\cap (A\cup [/mm] B)=A |
a) ist logisch
Nur verstehe ich nicht wie ich b) mit a) beweisen soll. Ich hätte es bewiesen nach der Art: [mm] x\in [/mm] A .....
soll ich einfach annehmen, dass [mm] \cup [/mm] entspricht [mm] \vee [/mm] ?
Oder wie beweise ich das mit a)?
LG
heinze
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Hallo heinze,
> a) Beweise mit Wahrheitswertetabelle [mm]A\wedge (A\vee[/mm] B)=A
Hier sollen [mm]A,B[/mm] Aussagen sein!
Das ist etwas "unglücklich", da in b) [mm]A,B[/mm] für Mengen stehen ...
Aber naja
>
> b)A,B seien Teilmengen der Grundmenge X und [mm]M^c:=X\M[/mm] das
> Komplement der Teilmenge [mm]M\subset[/mm] X in X.
>
> Zeige mit Hilfe von Teil a), dass [mm]A\cap (A\cup[/mm] B)=A
> a) ist logisch
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> Nur verstehe ich nicht wie ich b) mit a) beweisen soll. Ich
> hätte es bewiesen nach der Art: [mm]x\in[/mm] A .....
>
> soll ich einfach annehmen, dass [mm]\cup[/mm] entspricht [mm]\vee[/mm] ?
Jo, du musst die Mengengleichheit auf eine Aussage zurückführen:
[mm]A\cap(A\cup B)=A \ \gdw \ \forall x\in X:(x\in A\cap(A\cup B) \ \gdw \ x\in A)[/mm]
Und letzteres hast du in a) mit einer WWT gezeigt, wobei die Aussage [mm]A[/mm] aus a) hier der Aussage [mm]x\in A\cap(A\cup B)[/mm] entspricht und die Aussage [mm]B[/mm] aus a) hier [mm]x\in A[/mm] ist.
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> Oder wie beweise ich das mit a)?
>
>
> LG
> heinze
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Mo 29.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo heinze,
nennen wir die Aussagen in a) mal lieber A' und B' statt A und B.
Sei in der Situation von b) [mm] $x\in [/mm] X$. Dann bezeichne A' die Aussage [mm] $x\in [/mm] A$ und B' die Aussage [mm] $x\in [/mm] B$. Es gelten folgende Äquivalenzen:
[mm] $x\in A\cap(A\cup [/mm] B)$
[mm] $\gdw x\in A\wedge x\in(A\cup [/mm] B)$ (Definition [mm] $\cap$)
[/mm]
[mm] $\gdw x\in A\wedge (x\in A\vee x\in [/mm] B)$ (Definition [mm] $\cup$)
[/mm]
[mm] $\gdw A'\wedge (A'\vee [/mm] B')$ (Definitionen $A'$ und $B'$)
[mm] $\gdw [/mm] A'$ (Teil a) )
[mm] $\gdw x\in [/mm] A$ (Definition $A'$).
Somit gilt tatsächlich [mm] $A\cap(A\cup [/mm] B)=A$.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Mi 31.10.2012 | | Autor: | heinze |
Danke, so habe ich mir das auch gedacht, allerdings wäre das auch logisch gewesen ohne den Verweis auf Teil a)
LG
heinze
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