www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenRechenregeln für Ableitungen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Rechenregeln für Ableitungen
Rechenregeln für Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Rechenregeln für Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:25 Sa 02.08.2014
Autor: Trikolon

Aufgabe
Es sei [mm] \IR^n \to \IR [/mm] stetig diffbar mit f(0)=0 und [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_j} [/mm] (0) > 0 für alle j=1,...,n. Zeige, dass es eine Umgebung U von 0 gibt, so dass f(x)>0 für alle [mm] x=(x_1 [/mm] ,..., [mm] x_n) \in [/mm] U mit [mm] x_1 [/mm] >0, ..., [mm] x_n>0 [/mm] gilt

Hallo,

ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie ich obige Aufgabe angehen soll. Mir ist auch nicht klar, in welchen Themenbereich ich sie einordnen soll. Deshalb habe ich das auch so allgemein gehalten.

        
Bezug
Rechenregeln für Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Sa 02.08.2014
Autor: chrisno

Versuch es mal mit einem Widerspruchsbeweis.

Bezug
                
Bezug
Rechenregeln für Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Sa 02.08.2014
Autor: Trikolon

Also soll ich annehmen dass f (x) kleiner gleich 0 ist?

Bezug
                        
Bezug
Rechenregeln für Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:56 Sa 02.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Also soll ich annehmen dass f (x) kleiner gleich 0 ist?

Quatsch. Du sollst

    voraussetzen: Es sei [mm] $f\,$ [/mm] stetig differenzierbar mit [mm] $f(0)=0\,$ [/mm]
    und [mm] $\partial f(0)/\partial x_j [/mm] > 0$ für alle [mm] $j\,;$ [/mm]

und dann

    annehmen: In jeder [mm] $\epsilon\,$-Umgebung [/mm] der [mm] 0($\in \IR^n$) [/mm] gibt es ein Tupel
    [mm] $(x_1,...,x_n)$ [/mm] so, dass [mm] $x_1 [/mm] > [mm] 0,...,x_n [/mm] > 0$ und [mm] $f((x_1,...,x_n)) \le 0\,.$ [/mm]

Ich würde auch sagen, dass Du es Dir "anschaulicher" machen kannst, indem
Du anstatt [mm] $\IR_+ \ni \epsilon \to [/mm] 0$ ein wenig spezieller (aber hier dennoch
hinreichend allgemein) [mm] $\epsilon=\epsilon_m=\frac{1}{m}$ [/mm] benutzt.

Also: In jeder [mm] $1/m\,$-Umgebung [/mm] der $0 [mm] \in \IR^n$ [/mm] finden wir ein [mm] $x^{(m)}=(x^{(m)}_1,...,x^{(m)}_n) [/mm] > (0,...,0)$
(das ist eine Kurznotation dafür, dass alle Einträge des linken Vektors [mm] $>\,0$ [/mm]
sein sollen!) so, dass

    [mm] $f(x^{(m)}) \le 0\,.$ [/mm]

Jetzt musst Du natürlich noch irgendwie

    [mm] "$\partial f(0)/\partial x_j [/mm] > 0$ für alle [mm] $j\,;$ [/mm] und die Stetigkeit der Ableitung (insbesondere in $0 [mm] \in \IR^n$)" [/mm]

*verbraten* und damit dann einen sichtbaren Widerspruch erzeugen.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Rechenregeln für Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:00 Sa 02.08.2014
Autor: Marcel

P.S. Ein weiterer Tipp:
Überlege Dir, dass Du bei der Folge [mm] $(x^{(m)})_{m=1}^\infty$ [/mm] eine Teilfolge [mm] $(x^{(m_k)})_{k=1}^\infty$ [/mm] so finden
kannst, dass diese *Gegenannahme* nur bzgl. einer Koordinate gilt. Wenn
unklar ist, was ich meine, dann formuliere ich das auf Rückfrage auch
genauer und mathematischer aus. Diese kurze Zwischenüberlegung hilft
jedenfalls zur übersichtlicheren Argumentation!

Bezug
                                        
Bezug
Rechenregeln für Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 So 03.08.2014
Autor: Trikolon

Es wäre gut, wenn du das ausführen könntest. Das Problem bei der Aufgabe ist , dass ich auch gar nicht erkenne, was dahintersteckt, und welche Sätze ich hier anwenden soll..

Bezug
                                                
Bezug
Rechenregeln für Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:04 So 03.08.2014
Autor: hippias

Eine eindimensionale Veranschaulichung des Problems koennte so lauten: Du hast eine Funktion $f$, die im Koordinatenursprung startet ($f(0)=0$) und positive Steigung hat. Dann verlaeuft die Funktion nach rechts ersteinmal oberhalb der $x$-Achse.  

Bezug
                                                        
Bezug
Rechenregeln für Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 So 03.08.2014
Autor: Marcel

Hallo Hippias,

> Eine eindimensionale Veranschaulichung des Problems koennte
> so lauten: Du hast eine Funktion [mm]f[/mm], die im
> Koordinatenursprung startet ([mm]f(0)=0[/mm]) und positive Steigung
> hat. Dann verlaeuft die Funktion nach rechts ersteinmal
> oberhalb der [mm]x[/mm]-Achse.  

in Deiner Beschreibung findet die Stetigkeit der Ableitung keine Verwendung.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Rechenregeln für Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 So 03.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Es wäre gut, wenn du das ausführen könntest. Das Problem
> bei der Aufgabe ist , dass ich auch gar nicht erkenne, was
> dahintersteckt, und welche Sätze ich hier anwenden soll..

ja, das was ich machen wollte, ist vermutlich doch nicht so ganz klar. Das war
gestern ein gedanklicher Schnellschuss, der noch Tücken hat. Die muss ich
erst mal schließen (ist vermutlich machbar), aber ich werde erst spät oder
auch erst morgen dazu kommen, mehr dazu zu sagen.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Rechenregeln für Ableitungen: Alternativ
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 So 03.08.2014
Autor: Marcel

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,

> Es wäre gut, wenn du das ausführen könntest. Das Problem
> bei der Aufgabe ist , dass ich auch gar nicht erkenne, was
> dahintersteckt, und welche Sätze ich hier anwenden soll..

vielleicht machen wir es auch anders:
Es war $f(0)=0\,,$ $f\,$ war stetig diff'bar und es war $\partial f(0)/\partial x_j > 0$ für
$j=1,\ldots,n.$
Was gilt denn per Definitionem der Ableitung dann:

    $f(x)=f(0)+(\nabla f(x^{(0)}=0))' \cdot x+\varepsilon_{x^{(0)}=0}(x)*\|x-0\|=(\nabla f(0))' \cdot x+\varepsilon_{x^{(0)}=0}(x)*\|x-0\|$
    $=\{(\nabla f(0))'*\tfrac{x}{\|x\|}+\varepsilon_{x^{(0)}=0}(x)}\}*\|x\|$

mit ... (siehe []Definition 19.6Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

).

Ich sehe jetzt gar nicht, wieso man die Stetigkeit der partiellen Ableitung
brauchen sollte:

    $\IR^n \supseteqq \partial K_1(0):=\{y \in \IR^n:\;\,\|y\|=1\}$ ist kompakt und dann auch $D:=\partial K_1(0) \cap \{r \in \IR^n:\;\; (r_1,...,r_n) \ge (0,...,0)\}$

und

    $g \colon D  \ni y \mapsto (\nabla f(0))'*y$ nimmt als stetige Funktion auf einer kompakten
    Menge ihr Infimum/Minimum an.

Zu zeigen: Dieses ist $> 0\,.$ Das ist aber klar. (Oder? Ich meine, $y \in \IR^n$ mit
$y > 0 \in \IR^n$ und $\|y\|=1$ muss wenigstens einen Eintrag haben, der
$> 0\,$ ist. Sei dieser Eintrag an der Stelle $j\,\,.$ Dann ist

    $(\nabla f(0))'*y \ge \frac{\partial f(0)}{\partial x_j}*y_j > 0\,.$

Und wenn $y \in D$ so ist, dass $g(y)\,$ minimal, dann stellst Du genau diese
Überlegung an.)

Bekommst Du das zu Ende überlegt?

(Sei nun $p > 0\,$ mit

    $(\nabla f(0))'*\tfrac{x}{\|x\|} \ge p$

für alle $x > 0$ nahe der $0 \in \IR^n\,.$ Wegen $\varepsilon_{x^{(0)}=0}(x) \to 0$ bei $x \to 0$ folgt...

"Grobgesagt": Für $x > 0 \in \IR^n\,$ - egal, wie klein, sofern *genügend* klein - wird

    $\{(\nabla f(0))'*\tfrac{x}{\|x\|}+\varepsilon_{x^{(0)}=0}(x)}\}$

immer $\ge$ einer (echt) positiven Zahl bleiben. Wenn ich die dann nochmal
mit $\|x\| > 0$ multipliziere, ist das Produkt eine untere Grenze für $f(x)\,,$ und
diese ist (echt) positiv. Also muss es dann auch $f(x)\,$ sein.)

P.S. Wenn ich das richtig sehe, sehen wir oben eigentlich:
Ist $f \colon \IR^n \to \IR$ mit $f(0)=0\,$ und differenzierbar in $0 \in \IR^n$ und
$\partial f(0)/\partial x_j > 0$ für alle $j\,,$ dann folgt schon:
Es gibt eine Nullumgebung so, dass in dieser für alle $x=(x_1,...,x_n)$ mit $x > 0 \in \IR^n$ auch

    $f(x) > 0\,$

gilt. Wozu die Stetigkeit der partiellen Ableitungen (insbesondere in $0\,$?) bei
Euch benötigt wird, vermag' ich nicht zu sagen. Eventuell, weil der
vorgeschlagene Beweis auf einen Satz zurückgreift, wo man dieses
benötigen würde. Ich sehe dafür aber momentan keine Notwendigkeit.
(Vielleicht habe ich ja was übersehen?)

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Rechenregeln für Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:40 Mo 04.08.2014
Autor: fred97


> Es sei [mm]\IR^n \to \IR[/mm] stetig diffbar mit f(0)=0 und
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_j}[/mm] (0) > 0 für alle
> j=1,...,n. Zeige, dass es eine Umgebung U von 0 gibt, so
> dass f(x)>0 für alle [mm]x=(x_1[/mm] ,..., [mm]x_n) \in[/mm] U mit [mm]x_1[/mm] >0,
> ..., [mm]x_n>0[/mm] gilt
>  Hallo,
>  
> ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie ich obige
> Aufgabe angehen soll. Mir ist auch nicht klar, in welchen
> Themenbereich ich sie einordnen soll. Deshalb habe ich das
> auch so allgemein gehalten.

Aus  [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_j}[/mm] (0) > 0 für alle
j=1,...,n und der Stetigkeit der partiellen Ableitungen folgt:

Es gibt eine konvexe Umgebung U von 0 mit:

  [mm] f_{x_j}(s)>0 [/mm]  für j=1,...,n und alle s [mm] \in [/mm] U.

Sei [mm] x=(x_1,...,x_n) \in [/mm] U mit [mm] x_j [/mm] >0 (j=1,...,n).

Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein s auf der Verbindungsstrecke von 0 und x (aalso auch s [mm] \in [/mm] U) mit:

[mm] f(x)=f(x)-f(0)=\summe_{j=1}^{n}f_{x_j}(s)*x_j [/mm] >0

FRED


Bezug
                
Bezug
Rechenregeln für Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Mo 04.08.2014
Autor: Trikolon

Und das wars schon? Wenn man mal darauf kommt ists gar nicht so schwer. ..

Bezug
                        
Bezug
Rechenregeln für Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Mo 04.08.2014
Autor: fred97


> Und das wars schon?


Ja.

> Wenn man mal darauf kommt ists gar
> nicht so schwer. ..

Das ist meist so ....

Hast Du Dir die Lösung von Marcel auch angesehen, die mit weniger Vor. auskommt ?

FRED


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]