Rechenregeln für Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Dan86 |
| Aufgabe | 1.) Sei [mm] a_n [/mm] = {0, 1, 0, 2, 0, 3,...} und [mm] b_n [/mm] = {-1, 0, -2, 0, -3,...}
Ermitteln Sie lim [mm] (a_n [/mm] * [mm] b_n).
[/mm]
2.) Für alle Gauchyfolgen gilt lim [mm] |a_{m} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] = 0; m > n und m, n [mm] \in \IN.
[/mm]
Ist lim [mm] |a_{m} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] = 0 eine notwendige oder hinreichende Bedingung für eine Konvergenz? Begründen Sie ihre Anwort. |
Hallo,
Ich versuche grade den Analysis Stoff nochmal nachzuvollziehen und einige Übungsaufgaben zu bearbeiten. Dabei komme aber bei einigen Aufgaben nicht weiter.
Zu 1.)
Sowohl [mm] a_n [/mm] wie [mm] b_n [/mm] haben hier keinen Grenzwert. Also kann ich die Rechenregeln für lim [mm] a_n [/mm] = a und lim [mm] b_n [/mm] = b wohl nicht anwenden.
Ich frage mich jetzt ob lim [mm] (a_n [/mm] * [mm] b_n) [/mm] = {0 * -1, 1 * 0, 0 * -2, 2* 0,...} so gebildet werden. Sprich der erste Wert von [mm] a_n [/mm] * den ersten Wert von [mm] b_n [/mm] usw. Ich habe leider noch ein dutzend dieser Aufgabentypen, weiß aber nicht wie man an die Sache ran geht.
Zu. 2.)
Ich denke, dass es eine hinreichende Bedingung ist, weil alle Folgen, die einen Grenzwert haben dieses Kriterium erfüllen. Aber wie könnte ich es Begründen/Zeigen?
Grüße
Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Schreib mal die ersten Glieder von [mm]a_{n}*b_{n}[/mm] auf. Was ist der Grenzwert dieser Folge?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Dan86 |
Hallo Steppenhahn,
Ich weiß es leider absolut nicht, da uns nie gesagt wurde wie man so etwas bildet. Intuitiv würde ich halt wie oben auch beschrieben:
lim [mm] (a_n [/mm] * [mm] b_n) [/mm] = {0 * -1, 1 * 0, 0 * -2, 2* 0,...}, sprich der erste Wert von [mm] a_n [/mm] * den ersten Wert von [mm] b_n [/mm] usw.
Also würde da lim [mm] (a_n [/mm] * [mm] b_n) [/mm] = 0 rauskommen.
Da ich nicht weiß ob man sowas tun darf bleibt mir nur zu raten oder eben hier nachzufragen. Ich kenne die Rechenregel dafür einfach nicht...
Grüße
Daniel
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> lim [mm](a_n[/mm] * [mm]b_n)[/mm] = {0 * -1, 1 * 0, 0 * -2, 2* 0,...},
> sprich der erste Wert von [mm]a_n[/mm] * den ersten Wert von [mm]b_n[/mm]
> usw.
>
> Also würde da lim [mm](a_n[/mm] * [mm]b_n)[/mm] = 0 rauskommen.
> Da ich nicht weiß ob man sowas tun darf bleibt mir nur zu
> raten oder eben hier nachzufragen. Ich kenne die
> Rechenregel dafür einfach nicht...
Hallo,
es ist, wie Du auch schreibst, [mm] (a_n*b_n)=(0 [/mm] * -1, 1 * 0, 0 * -2, 2* 0,...)=(0,0,0,...),
also ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_nb_n)=0.
[/mm]
An dieser Aufgabe sollst Du etwas lernen:
es wird drangewesen sein, daß für konvergente Folgen [mm] (a_n), (b_n) [/mm] die Folge [mm] (a_nb_n) [/mm] konvergent ist mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_nb_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n)*\limes_{n\rightarrow\infty}(b_n).
[/mm]
In dieser Aufgabe siehst Du, daß auch das Produkt zweier nichtkonvergenter Folgen eine konvergente Folge ergeben kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Dan86 |
Vielen Dank Angela!
Mein Problem war nur, dass die Rechenregel dafür nicht erklärt wurde und wir nie ein Beispiel berechnet hatten.
Mit der Bestätigung fällt mir die Bearbeitung der restlichen Aufgaben dieses Typs nun viel leichter.
Grüße
Daniel
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> 2.) Für alle Gauchyfolgen gilt lim [mm]|a_{m}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] = 0; m >
> n und m, n [mm]\in \IN.[/mm]
> Ist lim [mm]|a_{m}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] = 0 eine
> notwendige oder hinreichende Bedingung für eine
> Gauchyfolge? Begründen Sie ihre Anwort.
> Zu. 2.)
> Ich denke, dass es eine hinreichende Bedingung ist, weil
> alle Folgen, die einen Grenzwert haben dieses Kriterium
> erfüllen. Aber wie könnte ich es Begründen/Zeigen?
Hallo,
Ihr habt sicher gelernt, daß jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist, also Konvergenz ==> Cauchy.
Das bedeutet, daß Cauchy notwendig ist für Konvergenz. Keine Konvergenz ohne Cauchy!
Die umgekehrte Richtung, Cauchy ==> Konvergenz, stimmt im allgemeinen nicht. Cauchy ist nicht hinreichend für Konvergenz.
Metrische Räume, in denen jede Cauchyfolge konvergent ist, heißen "vollständig", und die reellen Zahlen sind ein Beispiel dafür.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Dan86 |
Hallo Angela,
Ich habe unser Skript nochmal ausführlich studiert und wir haben die Metrischen Räume noch nicht durchgenommen.
Muss ich deiner Aussage nach jetzt ein Gegenbeispiel dafür liefern, dass es Gauchyfolgen in [mm] \IQ, \IZ [/mm] oder [mm] \IN [/mm] gibt die nicht konvergieren?
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Angela hat schon gesagt:
Eine Folge muss eine Cauchy-Folge sein, und erst wenn sie das ist, könnte sie konvergieren.
Die Bedingung [mm] \limes |a_{m} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] = 0 (Die Folgenglieder nähern sich für große n und m immer mehr aneinander an) ist also notwendig für Konvergenz, aber es kann auch Folgen geben, die auch mit dieser Eigenschaft noch nicht immer konvergieren (zumindest in Q).
In R (einem vollständigen Raum) ist die Cauchy-Eigenschaft meiner Meinung nach gleichwertig mit der Konvergenz.
Guck dir mal den Wikipedia-Artikel zur Cauchy-Folge an, vielleicht hilft der auch ein wenig weiter:
![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Folge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Dan86 |
Ich danke euch beiden für die sehr hilfreichen Tipps!
Die beiden Aufgaben habe ich nun verstanden und kann mich mit weniger Angst in die nächste Analysis Vorlesung begeben. *gg*
Die Frage ist für mich damit geklärt.
Grüße
Daniel
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> Muss ich deiner Aussage nach jetzt ein Gegenbeispiel dafür
> liefern, dass es Gauchyfolgen in [mm]\IQ, \IZ[/mm] oder [mm]\IN[/mm] gibt die
> nicht konvergieren?
Hallo,
das wäre sicher gut.
Du kannst z.B. eine Folge in [mm] \IQ [/mm] betrachten, die als Folge in [mm] \IR [/mm] gegen [mm] \wurzel{2} [/mm] konvergiert.
In [mm] \IQ [/mm] konvergiert sie nicht, denn [mm] \wurzel{2} [/mm] ist da ja nicht drin, wohl aber wäre sie eine Cauchyfolge.
Gruß v. Angela
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