Rechenregeln für Logarithmen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \ln(x)+ \ln(y)= ln(e^\ln(x)+ln(y) [/mm] ) |
Kann mir bitte jemand erklären wie das Zusammenhängt? In meinem Buch steht nur, dass das halt der Logarithmus und die e-Funktion, bzw. die Funktion und die zugehörige Umkehrfunktion sind. Aber ich verstehe die Zwischenschritte nicht. Bzw. ich weiß nicht wie das ln vor der klammer auf der rechten Seite dahin kommt. Ich weiß dass [mm] \ln [/mm] = [mm] log_e [/mm] ist und auch wie ich einen Logarithmus bilde. Allerdings habe ich Probleme mit der e-Funktion. Nach langem Suchen habe ich jetzt auch rausgefunden, dass [mm] \ln(e)^a=a [/mm] ist. Aber so richtig durchschaubar ist das ganze für mich leider trotzdem noch nicht. Ich würde gerne an den Kern des ganzen gehen. Mir fehlen ( wie wahrscheinlich sehr offensichtlich) einige basics.
Es wäre toll wenn jemand mir die Zugehörigen Zwischenschritte zeigen könnte.
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
IIch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:39 Di 11.09.2012 | | Autor: | UserK |
Hallo
Wie Du ja weisst, ist der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Das bedeutet: [mm] e^{ln(z)}=z [/mm] (für z>0) und [mm] ln(e^z)=z
[/mm]
Mit diesem Wissen folgt deine Gleichung sofort:
Schaue Dir die rechte Seite deiner Gleichung an " [mm] ln(e^{ln(x)+ln(y)}) [/mm] ".
Sie ist von der Struktur " [mm] ln(e^z) [/mm] " (wobei anstatt "z" hier "ln(x)+ln(y)" steht).
Wie schon erwähnt, gilt [mm] ln(e^z)=z
[/mm]
Dies ist wirklich die einfachste Art und Weise, diese Gleichung zu verstehen!
Es gibt noch einige weitere wichtige Regeln zu Exponential- und Logarithmusfunktion. Diese findest Du bestimmt in deinem Buch. Auch unter Verwendung dieser Regeln lässt sich die Gleichung (umständlicher und auf unterschiedliche Arten) zeigen. Z.B. So:
[mm] ln(e^{ln(x)+ln(y)})=ln(e^{ln(x)}*e^{ln(y)})=ln(e^{ln(x)})+ln(e^{ln(y)})=ln(x)+ln(y)
[/mm]
oder so:
[mm] ln(e^{ln(x)+ln(y)})=ln(e^{ln(x*y)})=ln(x*y)=ln(x)+ln(y)
[/mm]
oder so:
[mm] ln(e^{ln(x)+ln(y)})=ln(e^{ln(x)}*e^{ln(y)})=ln(e^{ln(x)})+ln(e^{ln(y)})=ln(x)*ln(e)+ln(y)*ln(e)=ln(x)*1+ln(y)*1=ln(x)+ln(y)
[/mm]
oder...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:58 Di 11.09.2012 | | Autor: | LuckyLucas |
Es ergibt alles Sinn!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort so früh am Morgen!
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| Aufgabe | | [mm]ln(e^{ln(x*y)})=ln(x*y)=ln(x)+ln(y)[/mm] |
Hier verstehe ich doch noch nicht so ganz was da passiert. Kannst du mir das vielleicht noch mal genauer erklären?
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> [mm]ln(e^{ln(x*y)})=ln(x*y)=ln(x)+ln(y)[/mm]
> Hier verstehe ich doch noch nicht so ganz was da passiert.
> Kannst du mir das vielleicht noch mal genauer erklären?
Hallo,
der ln ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, es ist also [mm] ln(e^a)=a.
[/mm]
Das erklärt das erste Gleichheitzeichen.
Weiter gelten die  Logarithmusgesetze. Es ist ln(ab)=ln(a)+ln(b), was die zweite Gleichheit erklärt.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:52 Di 11.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]ln(e^{ln(x*y)})=ln(x*y)=ln(x)+ln(y)[/mm]
> Hier verstehe ich doch noch nicht so ganz was da passiert.
> Kannst du mir das vielleicht noch mal genauer erklären?
na, warum man das so schreibt, weiß ich auch nicht - auch, wenn es natürlich
absolut korrekt ist: Angela hat's ja erklärt.
Aber zu dem "Rechengesetz für den Logarithmus rechterhand":
Es gilt [mm] $x*y=e^{\ln(x)}*e^{\ln(y)}\,.$ [/mm] Wegen [mm] $e^{r+s}=e^r*e^s$ [/mm] folgt
[mm] $$x*y=e^{\ln(x)+\ln(y)}\,.$$
[/mm]
Andererseits ist aber auch
[mm] $$x*y=e^{\ln(x*y)}\,.$$
[/mm]
Weil die [mm] $e\,$-Funktion [/mm] injektiv ist, folgt aus [mm] $e^{\ln(x*y)}=e^{\ln(x)+\ln(y)}$ [/mm] dann
[mm] $$\ln(x*y)=\ln(x)+\ln(y)\,.$$
[/mm]
Aber Warnung:
Die Gleichung [mm] $\ln(x+y)=\ln(x)*\ln(y)$ [/mm] ist (i.a.) falsch!!
Gruß,
Marcel
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