Rechenregeln für Maximum < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 So 15.09.2013 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | | Beweise $max(M+N) = max(M)+max(N)$. |
Warum schreibt hier fast keiner mehr? Ist dieses Forum tot?
Meine Frage habe ich zwar schon mal hier http://www.gute-mathe-fragen.de/45022/rechenregeln-fur-maximum-reelle-zahlen-beweis gestellt, aber dieses Forum finde ich irgendwie unübersichtlich und ohne latex ist es auch relativ schwer da fragen zu stellen, deshalb noch einmal ausführlich hier.
Definitionen mit denen ich arbeite:
A $ M,N [mm] \subseteq \mathbb{R} [/mm] $
B $ M+N := [mm] \{x+y: x \in M \wedge y \in N\} [/mm] $
C $ x [mm] \le [/mm] M [mm] :\Leftrightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] y $ für alle $y [mm] \in [/mm] M$
D $ x = max(M) [mm] :\Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] M [mm] \le [/mm] x $
Beweis:
Ich habe bereits bewiesen $x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] max(M)$ (E).
Ich nehme zwei beliebige Elemente [mm] $x\in [/mm] M, y [mm] \in [/mm] N$. Nach E bekommt man $x [mm] \le [/mm] max(M)$ und $y [mm] \le [/mm] max(N)$ also $x+y [mm] \le [/mm] max(M) + max(N)$ (eine Regel aus den Anordnungsaxiomen) und dieser Punkt gilt für alle $x+y [mm] \in [/mm] M+N$, d.h. nach C bekommt man $M+N [mm] \le [/mm] max(M) + max(N)$. $max(M+N)$ ist nach D ein Element von $M+N$ also ist auch $max(M+N) [mm] \le [/mm] max(M) + max(N)$ (1).
Nach D hat man $max(M) [mm] \in [/mm] M, max(N) [mm] \in [/mm] N$ und nach B $max(M)+max(N) [mm] \in [/mm] M+N$ und nach E kriegt man $max(M)+max(N) [mm] \le [/mm] max(M+N)$ (2).
Aus (1) und (2) bekommt man zum Schluss $max(M+N) = max(M) + max(N)$.
Ist es formal richtig? Bitte kontrollieren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 So 15.09.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Beweise [mm]max(M+N) = max(M)+max(N)[/mm].
> Warum schreibt hier fast
> keiner mehr? Ist dieses Forum tod?
Deine Anspruchshaltung ist umgekehrt proportional zu Deiner Rechtschreibefähigkeit (tod oder tot). Dein Post ist gerade mal ca. 1/2 Stunde alt, also Ball flach halten.
> Meine Frage habe ich zwar schon mal hier
> http://www.gute-mathe-fragen.de/45022/rechenregeln-fur-maximum-reelle-zahlen-beweis
> gestellt, aber dieses Forum finde ich irgendwie
> unübersichtlich und ohne latex ist es auch relativ schwer
> da fragen zu stellen, deshalb noch einmal ausführlich
> hier.
>
> Definitionen mit denen ich arbeite:
> A [mm]M,N \subseteq \mathbb{R}[/mm]
> B [mm]M+N := \{x+y: x \in M \wedge y \in N\}[/mm]
Sind M und N offene oder abgeschlossene Mengen?
> C [mm]x \le M :\Leftrightarrow x \le y[/mm] für alle [mm]y \in M[/mm]
> D [mm]x = max(M) :\Leftrightarrow x \in M \wedge M \le x[/mm]
Wie sieht den das Maximum der Menge [mm] M=\{x\in\IR | x>0 \wedge x<1 \} [/mm] aus. Kennst Du den Unterschied zwischen Maximum und Supremum?
> Beweis:
> Ich habe bereits bewiesen [mm]x \in M \Rightarrow x \le max(M)[/mm]
> (E).
>
> Ich nehme zwei beliebige Elemente [mm]x\in M, y \in N[/mm]. Nach E
> bekommt man [mm]x \le max(M)[/mm] und [mm]y \le max(N)[/mm] also [mm]x+y \le max(M) + max(N)[/mm]
> (eine Regel aus den Anordnungsaxiomen) und dieser Punkt
> gilt für alle [mm]x+y \in M+N[/mm], d.h. nach C bekommt man [mm]M+N \le max(M) + max(N)[/mm].
> [mm]max(M+N)[/mm] ist nach D ein Element von [mm]M+N[/mm] also ist auch
> [mm]max(M+N) \le max(M) + max(N)[/mm] (1).
>
> Nach D hat man [mm]max(M) \in M, max(N) \in N[/mm] und nach B
> [mm]max(M)+max(N) \in M+N[/mm] und nach E kriegt man [mm]max(M)+max(N) \le max(M+N)[/mm]
> (2).
>
> Aus (1) und (2) bekommt man zum Schluss [mm]max(M+N) = max(M) + max(N)[/mm].
>
> Ist es formal richtig? Bitte kontrollieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 So 15.09.2013 | | Autor: | ne1 |
> Deine Anspruchshaltung ist umgekehrt proportional zu Deiner
> Rechtschreibefähigkeit (tod oder tot). Dein Post ist
> gerade mal ca. 1/2 Stunde alt, also Ball flach halten.
Warum verbindest du die Anzahl der Beiträge in der letzten Zeit mit irgendeiner Anspruchshaltung?
> Sind M und N offene oder abgeschlossene Mengen?
$M$ und $N$ sind Teilmengen der reellen Zahlen, mehr weiss ich nicht und mehr steht nicht in meinem Buch, deshalb gehe ich davon aus, dass es keine Rolle spielt.
> Wie sieht den das Maximum der Menge [mm]M=\{x\in\IR | x>0 \wedge x<1 \}[/mm] aus
Die Menge hat kein Maximum.
> Kennst Du den Unterschied zwischen Maximum und
> Supremum?
Der Begriff Supremum wurde in meinem Buch (noch) nicht eingeführt.
Vielen Dank Thomas.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 So 15.09.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
weil Deine Frage eine 1/2 Stunde alt ist und Du schon Antworten erwartest. Das ist mal gelinde ausgedrückt ambitioniert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 So 15.09.2013 | | Autor: | ne1 |
Aha und wie kommst du drauf das ich schon nach 1/2 Std. Antworten erwarte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 So 15.09.2013 | | Autor: | ullim |
Weil Dein Post von 19:35 ist und ich die Antwort um kurz nach 20:00 erstellt habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 So 15.09.2013 | | Autor: | ne1 |
Deshalb erwarte ich nach 1/2 Std. eine Antwort? Weil du die nach X Minuten erstellt hast?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 So 15.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Nein um Gottes Willen wann macht es denn endlich klick??
Ullim meint wegen: zitiere:" Warum schreibt hier fast keiner mehr? Ist dieses Forum tod? "
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 So 15.09.2013 | | Autor: | ullim |
Vielleicht deswegen,
Zitat von Dir: "Warum schreibt hier fast keiner mehr? Ist dieses Forum tod? "
Tod, töder, am tödesten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 So 15.09.2013 | | Autor: | ullim |
Und noch was, wenn die Menge kein Maximum hat, wie willst Du dann die Behauptung überhaupt beweisen. Eine korrekte Definition wäre wichtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 So 15.09.2013 | | Autor: | ne1 |
In meinem Buch steht
"Immerhin können wir erklären, was das größte Element einer Menge $M [mm] \subseteq \mathbb{R}$ [/mm] sein soll, das Maximum von $M$,ohne die Existenz zu behaupten..."
Ich habe keine Ahnung ob es relevant ist. Ich denke die Regeln gelten einfach für Mengen die Maxima besitzen und der Rest ist egal. Kann das sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 So 15.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo Ullim,
Ich denke dass es so gemeint ist:
Ohne die Existenz des Maximums zu behaupten so soll es (falls es existiert) so definiert sein wie ne1 das getan hat und es soll die Regel , welche er zeigen will, gelten.
Gruß Thomas
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Hallo,
> Beweise [mm]max(M+N) = max(M)+max(N)[/mm].
> Warum schreibt hier fast
> keiner mehr? Ist dieses Forum tod?
>
> Meine Frage habe ich zwar schon mal hier
> http://www.gute-mathe-fragen.de/45022/rechenregeln-fur-maximum-reelle-zahlen-beweis
> gestellt, aber dieses Forum finde ich irgendwie
> unübersichtlich und ohne latex ist es auch relativ schwer
> da fragen zu stellen, deshalb noch einmal ausführlich
> hier.
>
> Definitionen mit denen ich arbeite:
> A [mm]M,N \subseteq \mathbb{R}[/mm]
> B [mm]M+N := \{x+y: x \in M \wedge y \in N\}[/mm]
>
> C [mm]x \le M :\Leftrightarrow x \le y[/mm] für alle [mm]y \in M[/mm]
> D [mm]x = max(M) :\Leftrightarrow x \in M \wedge M \le x[/mm]
>
> Beweis:
> Ich habe bereits bewiesen [mm]x \in M \Rightarrow x \le max(M)[/mm]
> (E).
>
> Ich nehme zwei beliebige Elemente [mm]x\in M, y \in N[/mm]. Nach E
> bekommt man [mm]x \le max(M)[/mm] und [mm]y \le max(N)[/mm] also [mm]x+y \le max(M) + max(N)[/mm]
O.K.
> (eine Regel aus den Anordnungsaxiomen) und dieser Punkt
> gilt für alle [mm]x+y \in M+N[/mm], d.h. nach C bekommt man [mm]M+N \le max(M) + max(N)[/mm].
ja O.K da x,y beliebig aus M,N sind.
> [mm]max(M+N)[/mm] ist nach D ein Element von [mm]M+N[/mm] also ist auch
> [mm]max(M+N) \le max(M) + max(N)[/mm] (1).
O.K.
>
> Nach D hat man [mm]max(M) \in M, max(N) \in N[/mm] und nach B
> [mm]max(M)+max(N) \in M+N[/mm] und nach E kriegt man [mm]max(M)+max(N) \le max(M+N)[/mm]
> (2).
>
> Aus (1) und (2) bekommt man zum Schluss [mm]max(M+N) = max(M) + max(N)[/mm].
>
> Ist es formal richtig? Bitte kontrollieren.
Prinzipiell ist es m.E. formal ok und bedarf keinen weiteren Ausführungen.
Gruß Thomas
Ps: Ob die Mengen offen, abgeschlossen etc. sind wäre noch interessant aber ich nehme an du willst hier die klassischen "Rechenregeln" für das Max. nachweisen.
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