Rechenregeln lim sup bzw inf < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für beschränkte Folgen [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] gilt:
a) lim [mm] sup_{n \to \infty} (a_{n})= [/mm] -lim [mm] inf_{n \to \infty} (-a_{n})
[/mm]
b) lim [mm] sup_{n \to \infty} (a_{n} [/mm] + [mm] b_{n}) [/mm] = lim [mm] sup_{n \to \infty} (a_{n}) [/mm] + lim [mm] sup_{n \to \infty} (b_{n}) [/mm] |
Hallo!
Zu b) habe ich eine Idee, in der ich aber nicht weiter komme:
Es gilt:
lim [mm] sup_{n \to \infinity} (a_{n}) [/mm] = a [mm] \gdw [/mm] für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0:
1) für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] a_{n} [/mm] > a- [mm] \varepsilon/2
[/mm]
2) für fast alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] a_{n}
wenn ich das für [mm] a_{n}, b_{n} [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] + [mm] b_{n} [/mm] definiere (bei [mm] a_{n} [/mm] + [mm] b_{n} [/mm] statt [mm] \varepsilon/2 [/mm] nur [mm] \varepsilon), [/mm] dann könnte ich doch irgendwie durch umformungen an mein ziel kommen, oder?
aber ich hänge 1. daran, ob ich jetzt unendlich viele n habe, für die das gilt oder nur endlich viele, also ob ich 1) oder 2) benutzen muss, und warum. und 2. daran, dass es an der umsetzung hapert.
vllt könnte mir jemand einen tipp geben?
und zu a)
mache ich das auch so, nur dass ich da noch benutze:
lim [mm] inf_{n \to \infinity} (a_{n}) [/mm] = a [mm] \gdw [/mm] für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0:
1) für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] a_{n} [/mm] < a + [mm] \varepsilon/2
[/mm]
2) für fast alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] a_{n} [/mm] > a - [mm] \varepsilon/2 [/mm] (dh. für alle außer für endlich viele)
?
Und wozu brauche ich die Voraussetzung, dass die beiden Folgen beschränkt sind?
Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!
Grüßle, Lily
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Hallo Mathe-Lily,
mach dir erst mal klar was [mm]\lim\sup\{a_n\}_n[/mm] bzw. [mm]\lim\inf\{a_n\}_n[/mm] bedeutet. Z.B. für Teil a: Sei [mm]M[/mm] die Menge aller Häufungspunkte der Folge [mm]\{a_n\}_n[/mm] und [mm]-M:=\{-m\ | \ m\in M\}[/mm] . Man muss also zeigen, dass für eine beschränkte Menge [mm]M[/mm] gilt:
[mm]\sup (M)=-\inf (-M)[/mm].
Mit der Charakterisierung des Supremums bzw. des Infimums (die du glaube ich kennst, nachdem ich deinen Ansatz gelesen habe) müsste der Beweis kein Problem mehr sein.
Beste Grüße
Der Spunk
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Sa 26.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass für beschränkte Folgen [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> und [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm] gilt:
> a) lim [mm]sup_{n \to \infty} (a_{n})=[/mm] -lim [mm]inf_{n \to \infty} (-a_{n})[/mm]
>
> b) lim [mm]sup_{n \to \infty} (a_{n}[/mm] + [mm]b_{n})[/mm] = lim [mm]sup_{n \to \infty} (a_{n})[/mm]
> + lim [mm]sup_{n \to \infty} (b_{n})[/mm]
Diese Aussage ist falsch !!! [mm] a_n=(-1)^n, b_n=-a_n
[/mm]
FRED
> Hallo!
> Zu b) habe ich eine Idee, in der ich aber nicht weiter
> komme:
> Es gilt:
> lim [mm]sup_{n \to \infinity} (a_{n})[/mm] = a [mm]\gdw[/mm] für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0:
> 1) für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]a_{n}[/mm] > a- [mm]\varepsilon/2[/mm]
> 2) für fast alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]a_{n}
> (dh. für alle außer für endlich viele)
> wenn ich das für [mm]a_{n}, b_{n}[/mm] und [mm]a_{n}[/mm] + [mm]b_{n}[/mm] definiere
> (bei [mm]a_{n}[/mm] + [mm]b_{n}[/mm] statt [mm]\varepsilon/2[/mm] nur [mm]\varepsilon),[/mm]
> dann könnte ich doch irgendwie durch umformungen an mein
> ziel kommen, oder?
> aber ich hänge 1. daran, ob ich jetzt unendlich viele n
> habe, für die das gilt oder nur endlich viele, also ob ich
> 1) oder 2) benutzen muss, und warum. und 2. daran, dass es
> an der umsetzung hapert.
> vllt könnte mir jemand einen tipp geben?
>
> und zu a)
> mache ich das auch so, nur dass ich da noch benutze:
> lim [mm]inf_{n \to \infinity} (a_{n})[/mm] = a [mm]\gdw[/mm] für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0:
> 1) für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]a_{n}[/mm] < a + [mm]\varepsilon/2[/mm]
> 2) für fast alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]a_{n}[/mm] > a -
> [mm]\varepsilon/2[/mm] (dh. für alle außer für endlich viele)
> ?
>
> Und wozu brauche ich die Voraussetzung, dass die beiden
> Folgen beschränkt sind?
>
> Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!
> Grüßle, Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 So 27.11.2011 | | Autor: | Mathe-Lily |
oh nein! wie blöd! ich hab die aufgabe falsch gelesen!
bei b) heißt das [mm] \le [/mm] ! -.-
Tut mir leid!
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