Rechnen in Restklassenringen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Maceo |
Buenos días!
Da wir dazu nichts in der Vorlesung hatten und ich bisher in keinem meiner Bücher dazu fündig geworden bin, wollte ich fragen, ob mir hier jemand einen Tipp zu folgenden Aufgaben geben könnte:
1.) Wie lautet die letzte Dezimalziffer von [mm] 3^{120409} [/mm] ?
2.) Gegeben sei [mm] \IZ \backslash1023\IZ [/mm] . Dann ist [mm] [2]^{2005} [/mm] gleich....
Gibt es irgendwelche Regeln für das Rechnen mit Potenzen in Restklassenringen? Für eine Hilfe vielleicht mit einer kurzen Erläuterung wäre ich sehr dankbar!
Gruß,
Maceo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Da wir dazu nichts in der Vorlesung hatten
Hallo,
ich glaube schon, daß dazu etwas in der Vorlesung kam: Ihr hattet bestimmt, daß in endl. Gruppen für jedes g [mm] \in [/mm] G gilt [mm] g^{|G|}=1. [/mm] (kl.Fermat)
Dies angewendet auf die prime Restklassengruppe modulo n (die ist zyklisch mit wievielen Elementen?) ergibt für teilerfremde k,n:
[mm] k^{t(n)}=1 [/mm] mod n, wobei t(n)=Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen m, [mm] 1\le [/mm] m <n.
und ich bisher
> in keinem meiner Bücher dazu fündig geworden bin,
Nein? Der kleinen Fermatsatz müßte in jedem Algebrabuch stehen.
wollte
> ich fragen, ob mir hier jemand einen Tipp zu folgenden
> Aufgaben geben könnte:
Ja.
>
> 1.) Wie lautet die letzte Dezimalziffer von [mm]3^{120409}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
t(10)=4, also ist 3^{120409}=3^{120408)*3= 3 mod 10.
>
> 2.) Gegeben sei [mm]\IZ \backslash1023\IZ[/mm] . Dann ist
> [mm][2]^{2005}[/mm] gleich....
Die wahre Aufgabe ist hier, die Anzahl der Teiler von 1023 zu bestimmen, dann hat man's schnell.
Gruß v. Angela
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