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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Casy |
| Aufgabe | Seien [mm] w_1, w_2, w_3 [/mm] Differentialformen gegeben durch
[mm] w_1=\summe_{I\in G^{(k)}}a_Idx_I [/mm] , [mm] w_2=\summe_{J\in G^{(l)}}b_Jdx_J [/mm] , [mm] w_3=\summe_{K\in G^{(m)}}c_Kdx_K
[/mm]
Zeigen Sie durch Nachrechnen:
1) [mm] (w_1+w_2)\wedge w_3 [/mm] = [mm] w_1\wedge w_3+w_2\wedge w_3
[/mm]
2) [mm] w_1\wedge (w_2+w_3) [/mm] = [mm] w_1\wedge w_2+w_1\wedge w_3
[/mm]
3) [mm] (w_1\wedge w_2)\wedge w_3 [/mm] = [mm] w_1\wedge (w_2\wedge w_3) [/mm] |
Hallo,
eigentlich müsste ich das ganz einfch nachrechnen können... aber leider funktioniert das nicht so, wie es soll; das heißt, ich muss irgendwo Denkfehler drin haben.
Zunächst die Definition der Multiplikation von Differentialformen:
[mm] w_1\wedge w_2=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J
[/mm]
Meine Ansätze bis jetzt:
Zu 3):
[mm] (w_1\wedge w_2)\wedge w_3=
[/mm]
[mm] =(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J)\wedge w_3=
[/mm]
[mm] =\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_I\wedge dx_J\wedge dx_K= [/mm] (jetzt vertausche ich, deshalb Vorzeichenwechsel)
[mm] =-(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_I\wedge dx_K)= [/mm] (erneute Vertauschung, also nochmal Vorzeichenwechsel)
[mm] =\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_K\wedge dx_I=
[/mm]
[mm] =(w_2\wedge w_3)\wedge w_1= [/mm] (Vetauschung, Vorzeichenwechsel)
[mm] =-w_1\wedge (w_2 \wedge w_3)
[/mm]
...das ist NICHT das, was dastehen sollte, weil ich ein Minus zuviel habe.... was ist falsch??
1) geht vermutlich genauso wie 2), aber da komme ich gar nicht weiter:
[mm] (w_1+w_2)\wedge w_3=
[/mm]
[mm] =(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}(a_I+b_J)(dx_I+dx_J)\wedge w_3
[/mm]
Und hier liegt das Problem: Habe ich die Addition [mm] (w_1+w_2) [/mm] so richtig ausgeschrieben?
Und wie mache ich mit [mm] \wedge w_{3} [/mm] weiter?
Mein Problem sind die "+" zwischen den [mm] dx_{I} [/mm] (bzw. [mm] dx_{J}) [/mm] und dass ich nicht weiß, wie ich das [mm] \wedge w_{3} [/mm] da einbauen muss.
Es wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, wie das geht und wo in obiger Rechnung mein Fehler liegt!
Danke im Voraus!
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Hallo Casy,
> Seien [mm]w_1, w_2, w_3[/mm] Differentialformen gegeben durch
>
> [mm]w_1=\summe_{I\in G^{(k)}}a_Idx_I[/mm] , [mm]w_2=\summe_{J\in G^{(l)}}b_Jdx_J[/mm]
> , [mm]w_3=\summe_{K\in G^{(m)}}c_Kdx_K[/mm]
>
> Zeigen Sie durch Nachrechnen:
>
> 1) [mm](w_1+w_2)\wedge w_3[/mm] = [mm]w_1\wedge w_3+w_2\wedge w_3[/mm]
> 2)
> [mm]w_1\wedge (w_2+w_3)[/mm] = [mm]w_1\wedge w_2+w_1\wedge w_3[/mm]
> 3)
> [mm](w_1\wedge w_2)\wedge w_3[/mm] = [mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)[/mm]
>
> Hallo,
>
> eigentlich müsste ich das ganz einfch nachrechnen
> können... aber leider funktioniert das nicht so, wie es
> soll; das heißt, ich muss irgendwo Denkfehler drin haben.
>
> Zunächst die Definition der Multiplikation von
> Differentialformen:
>
> [mm]w_1\wedge w_2=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J[/mm]
>
> Meine Ansätze bis jetzt:
>
> Zu 3):
> [mm](w_1\wedge w_2)\wedge w_3=[/mm]
>
> [mm]=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J)\wedge w_3=[/mm]
>
> [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_I\wedge dx_J\wedge dx_K=[/mm]
> (jetzt vertausche ich, deshalb Vorzeichenwechsel)
>
> [mm]=-(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_I\wedge dx_K)=[/mm]
> (erneute Vertauschung, also nochmal Vorzeichenwechsel)
>
> [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_K\wedge dx_I=[/mm]
>
> [mm]=(w_2\wedge w_3)\wedge w_1=[/mm] (Vetauschung,
> Vorzeichenwechsel)
>
> [mm]=-w_1\wedge (w_2 \wedge w_3)[/mm]
>
> ...das ist NICHT das, was dastehen sollte, weil ich ein
> Minus zuviel habe.... was ist falsch??
Rechne doch einfach die rechte Seite aus:
[mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)[/mm]
>
> 1) geht vermutlich genauso wie 2), aber da komme ich gar
> nicht weiter:
>
> [mm](w_1+w_2)\wedge w_3=[/mm]
>
> [mm]=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}(a_I+b_J)(dx_I+dx_J)\wedge w_3[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm](\summe_{I\in G^{(k)}}a_I \ dx_I+\summe_{J\in G^{(l)}}b_{J} \ dx_J)\wedge w_3[/mm]
>
> Und hier liegt das Problem: Habe ich die Addition [mm](w_1+w_2)[/mm]
> so richtig ausgeschrieben?
> Und wie mache ich mit [mm]\wedge w_{3}[/mm] weiter?
>
> Mein Problem sind die "+" zwischen den [mm]dx_{I}[/mm] (bzw. [mm]dx_{J})[/mm]
> und dass ich nicht weiß, wie ich das [mm]\wedge w_{3}[/mm] da
> einbauen muss.
>
> Es wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, wie das geht
> und wo in obiger Rechnung mein Fehler liegt!
>
> Danke im Voraus!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Casy |
Hallo und danke erstmal.
>
> > Seien [mm]w_1, w_2, w_3[/mm] Differentialformen gegeben durch
> >
> > [mm]w_1=\summe_{I\in G^{(k)}}a_Idx_I[/mm] , [mm]w_2=\summe_{J\in G^{(l)}}b_Jdx_J[/mm]
> > , [mm]w_3=\summe_{K\in G^{(m)}}c_Kdx_K[/mm]
> >
> > Zeigen Sie durch Nachrechnen:
> >
> > 1) [mm](w_1+w_2)\wedge w_3[/mm] = [mm]w_1\wedge w_3+w_2\wedge w_3[/mm]
> >
> 2)
> > [mm]w_1\wedge (w_2+w_3)[/mm] = [mm]w_1\wedge w_2+w_1\wedge w_3[/mm]
> > 3)
> > [mm](w_1\wedge w_2)\wedge w_3[/mm] = [mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > eigentlich müsste ich das ganz einfch nachrechnen
> > können... aber leider funktioniert das nicht so, wie es
> > soll; das heißt, ich muss irgendwo Denkfehler drin haben.
> >
> > Zunächst die Definition der Multiplikation von
> > Differentialformen:
> >
> > [mm]w_1\wedge w_2=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J[/mm]
>
> >
> > Meine Ansätze bis jetzt:
> >
> > Zu 3):
> > [mm](w_1\wedge w_2)\wedge w_3=[/mm]
> >
> > [mm]=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J)\wedge w_3=[/mm]
>
> >
> > [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_I\wedge dx_J\wedge dx_K=[/mm]
> > (jetzt vertausche ich, deshalb Vorzeichenwechsel)
> >
> > [mm]=-(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_I\wedge dx_K)=[/mm]
> > (erneute Vertauschung, also nochmal Vorzeichenwechsel)
> >
> > [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_K\wedge dx_I=[/mm]
>
> >
> > [mm]=(w_2\wedge w_3)\wedge w_1=[/mm] (Vetauschung,
> > Vorzeichenwechsel)
> >
> > [mm]=-w_1\wedge (w_2 \wedge w_3)[/mm]
> >
> > ...das ist NICHT das, was dastehen sollte, weil ich ein
> > Minus zuviel habe.... was ist falsch??
>
>
> Rechne doch einfach die rechte Seite aus:
>
> [mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)[/mm]
dann kommt raus:
[mm] w_1\wedge (w_2\wedge w_3)=\summe_{I\in G{(k)}}\summe_{J\in G{(l)}}\summe_{K\in G{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_I\wedge dx_J\wedge dx_K
[/mm]
Perfekt, das kann ich umklammern zu
[mm] (\summe_{I\in G{(k)}}\summe_{J\in G{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J)\wedge w_3 [/mm] und bin fertig!
Aber warum hat das mit meiner "Vertauschungstechnik" nicht funktioniert? Müsste doch eigentlich, oder? Das würde mich interessieren.
>
>
> >
> > 1) geht vermutlich genauso wie 2), aber da komme ich gar
> > nicht weiter:
> >
> > [mm](w_1+w_2)\wedge w_3=[/mm]
> >
> > [mm]=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}(a_I+b_J)(dx_I+dx_J)\wedge w_3[/mm]
>
>
> Hier muss doch stehen:
>
> [mm](\summe_{I\in G^{(k)}}a_I \ dx_I+\summe_{J\in G^{(l)}}b_{J} \ dx_J)\wedge w_3[/mm]
Sehe ich auch so, aber ich weiß nicht
1. wie ich die Summen zusammenfasse. Geht das evtl. so:
[mm] (\summe_{I\in G^{(k)}}a_I [/mm] \ [mm] dx_I+\summe_{J\in G^{(l)}}b_{J} [/mm] \ [mm] dx_J)=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}(a_Idx_I+b_Jdx_J)
[/mm]
?
Und 2. weiß ich nicht, wie ich [mm] \wedge w_{3} [/mm] da reinhole. Möglicherweise so:
[mm] \summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I+b_Jdx_J)c_Kdx_K
[/mm]
und dann ausrechnen:
[mm] \summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I)(c_Kdx_K)+(b_Jdx_J)(c_Kdx_K)=
[/mm]
[mm] =\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I)(c_Kdx_K)+\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(b_Jdx_J)(c_Kdx_K)=
[/mm]
[mm] =\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ic_Kdx_I\wedge dx_K+\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}b_Jc_Kdx_J\wedge dx_K
[/mm]
und fertig?
Wär super, wenn du das korrigieren oder kommentieren könntest!
>
> >
> > Und hier liegt das Problem: Habe ich die Addition [mm](w_1+w_2)[/mm]
> > so richtig ausgeschrieben?
> > Und wie mache ich mit [mm]\wedge w_{3}[/mm] weiter?
> >
> > Mein Problem sind die "+" zwischen den [mm]dx_{I}[/mm] (bzw. [mm]dx_{J})[/mm]
> > und dass ich nicht weiß, wie ich das [mm]\wedge w_{3}[/mm] da
> > einbauen muss.
> >
> > Es wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, wie das geht
> > und wo in obiger Rechnung mein Fehler liegt!
> >
> > Danke im Voraus!
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
>
>
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Hallo Casy,
> Hallo und danke erstmal.
> >
> > > Seien [mm]w_1, w_2, w_3[/mm] Differentialformen gegeben durch
> > >
> > > [mm]w_1=\summe_{I\in G^{(k)}}a_Idx_I[/mm] , [mm]w_2=\summe_{J\in G^{(l)}}b_Jdx_J[/mm]
> > > , [mm]w_3=\summe_{K\in G^{(m)}}c_Kdx_K[/mm]
> > >
> > > Zeigen Sie durch Nachrechnen:
> > >
> > > 1) [mm](w_1+w_2)\wedge w_3[/mm] = [mm]w_1\wedge w_3+w_2\wedge w_3[/mm]
>
> > >
> > 2)
> > > [mm]w_1\wedge (w_2+w_3)[/mm] = [mm]w_1\wedge w_2+w_1\wedge w_3[/mm]
> > >
> 3)
> > > [mm](w_1\wedge w_2)\wedge w_3[/mm] = [mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)[/mm]
>
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> > > Hallo,
> > >
> > > eigentlich müsste ich das ganz einfch nachrechnen
> > > können... aber leider funktioniert das nicht so, wie es
> > > soll; das heißt, ich muss irgendwo Denkfehler drin haben.
> > >
> > > Zunächst die Definition der Multiplikation von
> > > Differentialformen:
> > >
> > > [mm]w_1\wedge w_2=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J[/mm]
>
> >
> > >
> > > Meine Ansätze bis jetzt:
> > >
> > > Zu 3):
> > > [mm](w_1\wedge w_2)\wedge w_3=[/mm]
> > >
> > > [mm]=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J)\wedge w_3=[/mm]
>
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> > >
> > > [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_I\wedge dx_J\wedge dx_K=[/mm]
> > > (jetzt vertausche ich, deshalb Vorzeichenwechsel)
> > >
> > > [mm]=-(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_I\wedge dx_K)=[/mm]
> > > (erneute Vertauschung, also nochmal Vorzeichenwechsel)
> > >
> > > [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_J\wedge dx_K\wedge dx_I=[/mm]
>
> >
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> > > [mm]=(w_2\wedge w_3)\wedge w_1=[/mm] (Vetauschung,
> > > Vorzeichenwechsel)
> > >
> > > [mm]=-w_1\wedge (w_2 \wedge w_3)[/mm]
> > >
> > > ...das ist NICHT das, was dastehen sollte, weil ich ein
> > > Minus zuviel habe.... was ist falsch??
> >
> >
> > Rechne doch einfach die rechte Seite aus:
> >
> > [mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)[/mm]
>
> dann kommt raus:
>
> [mm]w_1\wedge (w_2\wedge w_3)=\summe_{I\in G{(k)}}\summe_{J\in G{(l)}}\summe_{K\in G{(m)}}a_Ib_Jc_Kdx_I\wedge dx_J\wedge dx_K[/mm]
>
> Perfekt, das kann ich umklammern zu
> [mm](\summe_{I\in G{(k)}}\summe_{J\in G{(l)}}a_Ib_Jdx_I\wedge dx_J)\wedge w_3[/mm]
> und bin fertig!
>
> Aber warum hat das mit meiner "Vertauschungstechnik" nicht
> funktioniert? Müsste doch eigentlich, oder? Das würde
> mich interessieren.
Nun, weil hier die Reihenfolge immer dieselbe ist.
> >
> >
> > >
> > > 1) geht vermutlich genauso wie 2), aber da komme ich gar
> > > nicht weiter:
> > >
> > > [mm](w_1+w_2)\wedge w_3=[/mm]
> > >
> > > [mm]=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}(a_I+b_J)(dx_I+dx_J)\wedge w_3[/mm]
>
> >
> >
> > Hier muss doch stehen:
> >
> > [mm](\summe_{I\in G^{(k)}}a_I \ dx_I+\summe_{J\in G^{(l)}}b_{J} \ dx_J)\wedge w_3[/mm]
>
> Sehe ich auch so, aber ich weiß nicht
> 1. wie ich die Summen zusammenfasse. Geht das evtl. so:
>
> [mm](\summe_{I\in G^{(k)}}a_I[/mm] \ [mm]dx_I+\summe_{J\in G^{(l)}}b_{J}[/mm]
> \ [mm]dx_J)=(\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}(a_Idx_I+b_Jdx_J)[/mm]
>
> ?
Ja, das kannst Du so machen.
>
> Und 2. weiß ich nicht, wie ich [mm]\wedge w_{3}[/mm] da reinhole.
> Möglicherweise so:
>
> [mm]\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I+b_Jdx_J)c_Kdx_K[/mm]
Hier fehlt das "[mm]\wedge[/mm]":
[mm]\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I+b_Jdx_J) \blue{\wedge}c_Kdx_K[/mm]
>
> und dann ausrechnen:
>
> [mm]\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I)(c_Kdx_K)+(b_Jdx_J)(c_Kdx_K)=[/mm]
>
[mm]\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I)\blue{\wedge}(c_Kdx_K)+(b_Jdx_J)\blue{\wedge}(c_Kdx_K)=[/mm]
> [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I)(c_Kdx_K)+\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(b_Jdx_J)(c_Kdx_K)=[/mm]
>
[mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(a_Idx_I)\blue{\wedge}(c_Kdx_K)+\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}(b_Jdx_J)\blue{\wedge}(c_Kdx_K)=[/mm]
Jetzt die Summen hereinziehen:
[mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}(a_Idx_I)\blue{\wedge}(\summe_{K\in G^{(m)}}c_Kdx_K)+\summe_{J\in G^{(l)}}(b_Jdx_J)\blue{\wedge}(\summe_{K\in G^{(m)}}c_Kdx_K)[/mm]
Dann noch die Definitionen anwenden, und Du bist fertig.
> [mm]=\summe_{I\in G^{(k)}}\summe_{K\in G^{(m)}}a_Ic_Kdx_I\wedge dx_K+\summe_{J\in G^{(l)}}\summe_{K\in G^{(m)}}b_Jc_Kdx_J\wedge dx_K[/mm]
>
> und fertig?
> Wär super, wenn du das korrigieren oder kommentieren
> könntest!
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Do 23.06.2011 | | Autor: | Casy |
Gut, jetzt ist es klar. Die Rechenregeln muss ich mir dann nochmal verinnerlichen.
Vielen Dank für deine Geduld und Hilfe!!
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