Rechnen mit k - Formen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf [mm] \IR^4 [/mm] seien die 1-Formen
a(x) = [mm] x_2 dx_1 [/mm] - [mm] x_1 dx_2 +x_4 dx_3 [/mm] - [mm] x_3 dx_4
[/mm]
b(x) [mm] =x_3 dx_1 [/mm] - [mm] x_4 dx_2 -x_1 dx_3 [/mm] + [mm] x_2 dx_4
[/mm]
c(x) = [mm] x_4 dx_1 [/mm] + [mm] x_3 dx_2 -x_2 dx_3 [/mm] - [mm] x_1 dx_4
[/mm]
gegeben. Berechnen SIe:
1) a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \wedge [/mm] c
2) d(a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \wedge [/mm] c) |
Huhu zusammen!
Ich hoffe ich habe imInternet die richtige Formel gefunden, da berechnet man sowas mit einer speziellen Multiplikationen, wo man alles mit allem multipliziert, hoffe habe das richtig gemacht. Ich glaube, dass ich auch zuerst a [mm] \wedge [/mm] b berechnen darf:
a [mm] \wedge [/mm] b := [mm] x_2 x_3 dx_1 \wedge dx_1 -x_2 x_4 dx_1 \wedge dx_2 -x_2 x_1 dx_1 \wedge dx_3 +x_2^2 dx_1 \wedge dx_4
[/mm]
- [mm] x_1 x_3 dx_2 \wedge dx_1 [/mm] + [mm] x_1 x_4 dx_2 \wedge dx_2 +x_1^2 dx_2 \wedge dx_3 [/mm] - [mm] x_1 x_2 dx_2 \wedge dx_4 [/mm] + [mm] x_3 x_4 dx_3 \wedge dx_1 [/mm] - [mm] x_4^2 dx_3 \wedge dx_2 [/mm] - [mm] x_4 x_1 dx_3 \wedge dx_3 [/mm] + [mm] x_4 x_2
[/mm]
[mm] dx_3 \wedge dx_4 -x_3^2 dx_4 \wedge dx_1 +x_3 x_4 dx_4 \wedge dx_2 [/mm] + [mm] x_1 x_3 dx_4 \wedge dx_3 [/mm] - [mm] x_2 x_3 dx_4 \wedge dx_4
[/mm]
Jetzt fallen aufgrund von Rechenregeln alle Termen weg mit [mm] dx_i \wedge dx_i
[/mm]
also
a [mm] \wedge [/mm] b = [mm] -x_2 x_4 dx_1 \wedge dx_2 -x_2 x_1 dx_1 \wedge dx_3 +x_2^2 dx_1 \wedge dx_4
[/mm]
- [mm] x_1 x_3 dx_2 \wedge dx_1 +x_1^2 dx_2 \wedge dx_3 [/mm] - [mm] x_1 x_2 dx_2 \wedge dx_4 [/mm] + [mm] x_3 x_4 dx_3 \wedge dx_1 [/mm] - [mm] x_4^2 dx_3 \wedge dx_2
[/mm]
+ [mm] x_4 x_2
[/mm]
[mm] dx_3 \wedge dx_4 -x_3^2 dx_4 \wedge dx_1 +x_3 x_4 dx_4 \wedge dx_2 [/mm] + [mm] x_1 x_3 dx_4 \wedge dx_3
[/mm]
Ist das soweit richtig und wiederholt man diesen Vorgang nun mit (a [mm] \wedge [/mm] b) [mm] \wedge [/mm] c ? Frage lieber vorher weil das seeeehr viel Fleißarbeit ist :) ?
Liebe Grüße,
Eve
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Hallo,
das Prinzip ist richtig. Es ist nicht nur Fleißarbeit, das ganze zu rechnen, sondern auch viel Arbeit, das ganze zu überprüfen. Daher: Das Prinzip hast du richtig erkannt, ob nun ein Vorzeichenfehler dir passiert ist, oder nicht, konnte ich nun auch nicht feststellen 
Du kannst noch folgendes beachten:
Es gilt:
[mm] dx_1\wedge{dx_2}=-dx_2\wedge{dx_1}
[/mm]
Und zum andern, kannst du auch schreiben:
[mm] adx_1+bdx_1=(a+b)dx_1
[/mm]
Dadurch wird es übersichtlicher. Außerdem wird dann die nächste Multiplikation umso einfacher, weil du sofort erkennst, wo ein paar Terme rausfliegen.
Weiterhin:
Setze doch zunächst für die Übersicht: [mm] a:=x_1, b:=x_2, [/mm] usw.
Dadruch ersparst du dir Tipparbeit und die Übersicht leidet nicht ganz so stark. So muss man nämlich im moment noch stark auf die Indizes schauen und das strengt an. Nur ein Tipp - musst du ja nicht umsetzen.
Aber etwas zu meckern habe ich doch noch. Du schreibst nämlich:
[mm] a\wedge{b}:=\ldots
[/mm]
Warum := ???
Du definierst ja nix, sondern berechnest es also. Von daher schreibe einfach nur das Gleichheitszeichen.
Schönen Sonntag!
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> Hallo,
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> das Prinzip ist richtig. Es ist nicht nur Fleißarbeit, das
> ganze zu rechnen, sondern auch viel Arbeit, das ganze zu
> überprüfen. Daher: Das Prinzip hast du richtig erkannt,
> ob nun ein Vorzeichenfehler dir passiert ist, oder nicht,
> konnte ich nun auch nicht feststellen
>
> Du kannst noch folgendes beachten:
> Es gilt:
>
> [mm]dx_1\wedge{dx_2}=-dx_2\wedge{dx_1}[/mm]
>
> Und zum andern, kannst du auch schreiben:
>
> [mm]adx_1+bdx_1=(a+b)dx_1[/mm]
>
> Dadurch wird es übersichtlicher. Außerdem wird dann die
> nächste Multiplikation umso einfacher, weil du sofort
> erkennst, wo ein paar Terme rausfliegen.
>
>
> Weiterhin:
> Setze doch zunächst für die Übersicht: [mm]a:=x_1, b:=x_2,[/mm]
> usw.
> Dadruch ersparst du dir Tipparbeit und die Übersicht
> leidet nicht ganz so stark. So muss man nämlich im moment
> noch stark auf die Indizes schauen und das strengt an. Nur
> ein Tipp - musst du ja nicht umsetzen.
>
>
> Aber etwas zu meckern habe ich doch noch. Du schreibst
> nämlich:
> [mm]a\wedge{b}:=\ldots[/mm]
>
> Warum := ???
> Du definierst ja nix, sondern berechnest es also. Von
> daher schreibe einfach nur das Gleichheitszeichen.
>
> Schönen Sonntag!
Hallo Richie!
Da bin ich froh dass ich das Grundprinzip verstanden habe. Vielleicht zu den Rechenregeln ein paar Fragen^^
1. Wenn a [mm] dx_1 [/mm] + b [mm] dx_1 [/mm] = (a+b) [mm] dx_1 [/mm] ist, gilt das danna uch mit dem Dachprodukt? dass zum Beispiel
a [mm] dx_1 \wedge dx_2 [/mm] + b [mm] dx_1 \wedge dx_2 [/mm] = (a+b) [mm] dx_1 \wedge dx_2 [/mm] ?
2. du sagst es gilt [mm] dx_1 \wedge dx_2 [/mm] = - [mm] dx_2 \wedge dx_1
[/mm]
Gilt daraus dann, dass ich so rechnen kann:
a [mm] dx_1 \wedge dx_2 [/mm] + b [mm] dx_2 \wedge dx_1
[/mm]
=
a [mm] dx_1 \wedge dx_2 [/mm] + b [mm] -dx_1 \wedge dx_2 [/mm]
=
a [mm] dx_1 \wedge dx_2 [/mm] + (-b) [mm] dx_1 \wedge dx_2
[/mm]
=
(a-b) [mm] dx_1 \wedge dx_2
[/mm]
Und zum letzten:
Es gilt ... [mm] dx_1 \wedge dx_1 [/mm] = 0, gilt dies auch bei [mm] dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_1 [/mm] ? Oder müssten alle [mm] dx_i [/mm] dafür gleich sein?
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Hallo EvelynSnowley2311,
> > Hallo,
> >
> > das Prinzip ist richtig. Es ist nicht nur Fleißarbeit, das
> > ganze zu rechnen, sondern auch viel Arbeit, das ganze zu
> > überprüfen. Daher: Das Prinzip hast du richtig erkannt,
> > ob nun ein Vorzeichenfehler dir passiert ist, oder nicht,
> > konnte ich nun auch nicht feststellen
> >
> > Du kannst noch folgendes beachten:
> > Es gilt:
> >
> > [mm]dx_1\wedge{dx_2}=-dx_2\wedge{dx_1}[/mm]
> >
> > Und zum andern, kannst du auch schreiben:
> >
> > [mm]adx_1+bdx_1=(a+b)dx_1[/mm]
> >
> > Dadurch wird es übersichtlicher. Außerdem wird dann die
> > nächste Multiplikation umso einfacher, weil du sofort
> > erkennst, wo ein paar Terme rausfliegen.
> >
> >
> > Weiterhin:
> > Setze doch zunächst für die Übersicht: [mm]a:=x_1, b:=x_2,[/mm]
> > usw.
> > Dadruch ersparst du dir Tipparbeit und die Übersicht
> > leidet nicht ganz so stark. So muss man nämlich im moment
> > noch stark auf die Indizes schauen und das strengt an. Nur
> > ein Tipp - musst du ja nicht umsetzen.
> >
> >
> > Aber etwas zu meckern habe ich doch noch. Du schreibst
> > nämlich:
> > [mm]a\wedge{b}:=\ldots[/mm]
> >
> > Warum := ???
> > Du definierst ja nix, sondern berechnest es also. Von
> > daher schreibe einfach nur das Gleichheitszeichen.
> >
> > Schönen Sonntag!
>
>
> Hallo Richie!
>
> Da bin ich froh dass ich das Grundprinzip verstanden habe.
> Vielleicht zu den Rechenregeln ein paar Fragen^^
>
>
> 1. Wenn a [mm]dx_1[/mm] + b [mm]dx_1[/mm] = (a+b) [mm]dx_1[/mm] ist, gilt das danna
> uch mit dem Dachprodukt? dass zum Beispiel
>
> a [mm]dx_1 \wedge dx_2[/mm] + b [mm]dx_1 \wedge dx_2[/mm] = (a+b) [mm]dx_1 \wedge dx_2[/mm]
> ?
>
Ja, das gilt auch für das Dachprodukt.
> 2. du sagst es gilt [mm]dx_1 \wedge dx_2[/mm] = - [mm]dx_2 \wedge dx_1[/mm]
>
> Gilt daraus dann, dass ich so rechnen kann:
>
> a [mm]dx_1 \wedge dx_2[/mm] + b [mm]dx_2 \wedge dx_1[/mm]
>
> =
>
> a [mm]dx_1 \wedge dx_2[/mm] + b [mm]-dx_1 \wedge dx_2[/mm]
>
> =
>
> a [mm]dx_1 \wedge dx_2[/mm] + (-b) [mm]dx_1 \wedge dx_2[/mm]
>
> =
>
> (a-b) [mm]dx_1 \wedge dx_2[/mm]
>
Ja, das kannst Du so rechnen.
>
> Und zum letzten:
>
> Es gilt ... [mm]dx_1 \wedge dx_1[/mm] = 0, gilt dies auch bei [mm]dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_1[/mm]
> ? Oder müssten alle [mm]dx_i[/mm] dafür gleich sein?
Es reicht bei [mm]dx_{i} \wedge \ dx_{j} \wedge \ dx_{k}[/mm],
wenn entweder i=j, i=k oder j=k ist, dann ist
[mm]dx_{i} \wedge \ dx_{j} \wedge \ dx_{k}=0[/mm]
Gruss
MathePower
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Wunderbar, dann hab ich schon Vieles verstanden :) Vielen Dank Mathepower!
Nun hab ich eine letzte Frage, und zwar bezüglich dem zweiten Teil meiner Aufgabe, da soll ich ja d(a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \wedge [/mm] c) berechnen.
Es geht für mich nur ums verstehen wie man das generell macht, also beispielsweise müsste man Folgendes wie folgt ableiten?
Z.B. bei [mm] x_i [/mm] , i = 1,2,3,4
[mm] d(3x_2 dx_1) [/mm] ?= 3 [mm] dx_2 \wedge dx_1 [/mm] + 0 [mm] dx_3 \wedge dx_2 [/mm] + 0 [mm] dx_4 \wedge dx_1
[/mm]
und wie ist das mit dem Dachprodukt?
was ist
z.b. [mm] d(3x_2 dx_1 \wedge dx_2) [/mm] Nach welcher Variablen müsste man da ableiten?
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Hallo EvelynSnowley2311,
> Wunderbar, dann hab ich schon Vieles verstanden :) Vielen
> Dank Mathepower!
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> Nun hab ich eine letzte Frage, und zwar bezüglich dem
> zweiten Teil meiner Aufgabe, da soll ich ja d(a [mm]\wedge[/mm] b
> [mm]\wedge[/mm] c) berechnen.
>
> Es geht für mich nur ums verstehen wie man das generell
> macht, also beispielsweise müsste man Folgendes wie folgt
> ableiten?
>
> Z.B. bei [mm]x_i[/mm] , i = 1,2,3,4
>
> [mm]d(3x_2 dx_1)[/mm] ?= 3 [mm]dx_2 \wedge dx_1[/mm] + 0 [mm]dx_3 \wedge dx_2[/mm]
> + 0 [mm]dx_4 \wedge dx_1[/mm]
>
Das ist richtig.
>
> und wie ist das mit dem Dachprodukt?
> was ist
> z.b. [mm]d(3x_2 dx_1 \wedge dx_2)[/mm] Nach welcher Variablen
> müsste man da ableiten?
Im Grunde nach allen 4 Variablen:
[mm]d(3x_2 dx_1 \wedge dx_2)=\bruch{\partial 3x_{2}
}{\partial x_{1}} dx_{1} \wedge dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm]
[mm]+\bruch{\partial 3x_{2}
}{\partial x_{2}} dx_{2} \wedge dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm]
[mm] + \bruch{\partial 3x_{2}
}{\partial x_{3}} dx_{3} \wedge dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm]
[mm] + \bruch{\partial 3x_{2}
}{\partial x_{4}} dx_{4} \wedge dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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> Hallo EvelynSnowley2311,
>
> > Wunderbar, dann hab ich schon Vieles verstanden :) Vielen
> > Dank Mathepower!
> >
> > Nun hab ich eine letzte Frage, und zwar bezüglich dem
> > zweiten Teil meiner Aufgabe, da soll ich ja d(a [mm]\wedge[/mm] b
> > [mm]\wedge[/mm] c) berechnen.
> >
> > Es geht für mich nur ums verstehen wie man das generell
> > macht, also beispielsweise müsste man Folgendes wie folgt
> > ableiten?
> >
> > Z.B. bei [mm]x_i[/mm] , i = 1,2,3,4
> >
> > [mm]d(3x_2 dx_1)[/mm] ?= 3 [mm]dx_2 \wedge dx_1[/mm] + 0 [mm]dx_3 \wedge dx_2[/mm]
> > + 0 [mm]dx_4 \wedge dx_1[/mm]
> >
>
>
> Das ist richtig.
>
>
> >
> > und wie ist das mit dem Dachprodukt?
> > was ist
> > z.b. [mm]d(3x_2 dx_1 \wedge dx_2)[/mm] Nach welcher Variablen
> > müsste man da ableiten?
>
>
> Im Grunde nach allen 4 Variablen:
>
> [mm]d(3x_2 dx_1 \wedge dx_2)=\bruch{\partial 3x_{2}
}{\partial x_{1}} dx_{1} \wedge dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm]
>
> [mm]+\bruch{\partial 3x_{2}
}{\partial x_{2}} dx_{2} \wedge dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm]
>
> [mm]+ \bruch{\partial 3x_{2}
}{\partial x_{3}} dx_{3} \wedge dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm]
>
> [mm]+ \bruch{\partial 3x_{2}
}{\partial x_{4}} dx_{4} \wedge dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm]
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> Gruss
> MathePower
Supi, dann hab ich soweit alles begriffen :) Vielen lieben Dank nochmal!
Liebe Grüße und einen schönen Sonntag noch :)
Evelyn
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