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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Do 26.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Man zeige für $ z [mm] \in \IC [/mm] $ mit $ |z|=1 $ gilt:
[mm] $z(z+1)^2 \in \IR [/mm] $ |
Hallo, ich denke der Ansatz ist ok, aber irgendwo habe ich einen Rechenfehler, den ich einfach nicht finde...
[mm] z = a +bi , |z| = 1 \Rightarrow a^2+b^2=1 [/mm]
[mm] z(z+1)^2 = z^3+2z^2+z = (a+bi)^3+2(a+bi)^2+a+bi=a^3+3a^2bi-ab^2-b^3i+2(a^2+2abi-b^2) +a+bi = a^3-ab^2+2a^2-2b^2+a+i(3a^2b-b^3+4ab+b) [/mm]
Zu zeigen:
[mm] i(3a^2b-b^3+4ab+b) = 0 [/mm] für $ [mm] a^2+b^2=1 \gdw [/mm] a= [mm] \wurzel{1-b^2} [/mm] $
Einsetzen:
[mm] 3(1-b^2)b+4b\wurzel{1-b^2} + b - b^3 =0 \gdw 3b-3b^3+b-b^3+4b\wurzel{1-b^2}=0 \gdw 4b-4b^3+4b\wurzel{1-b^2} = 0 \gdw 4b(1-b^2+\wurzel{1-b^2} =0 \gdw \wurzel{1-b^2}=b^2-1 [/mm]
Und dies stimmt leider nicht.
Andere Möglichkeit:
[mm] z = re^{i\varphi}, |z| = 1 =r [/mm]
[mm] z^3 + 2z^2+z = e^{3i\varphi} +2 e^{2i\varphi} +e^{i\varphi} \gdw cos(3\varphi) + i sin(3\varphi) + 2cos(2\varphi) + 2 i sin(2\varphi) +cos(\varphi) + i sin(\varphi) [/mm]
Zu zeigen:
[mm] i(sin(3\varphi)+2sin(2\varphi)+sin(\varphi)) =0 [/mm]
Dass dies = 0 ist, konnte ich mit einem Programm verifizieren indem ich für $ [mm] \varphi [/mm] $ Vielfache von $ pi $ eingesetzt habe. Jedoch weiß ich nicht, wie man das zeigen kann.
Danke für Hilfe :)
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Hallo BarneyS,
ist das wirklich die Aufgabe?
> Man zeige für [mm]z \in \IC[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm] gilt:
>
> [mm]z(z+1)^2 \in \IR[/mm]
Ein Gegenbeispiel würde ja genügen, um zu zeigen, dass die Behauptung nicht stimmt.
Probier doch mal [mm] z=\bruch{1}{2}\wurzel{2}(1+i) [/mm] ...
Grüße
reverend
> Hallo, ich denke der Ansatz ist ok, aber
> irgendwo habe ich einen Rechenfehler, den ich einfach nicht
> finde...
>
> [mm]z = a +bi , |z| = 1 \Rightarrow a^2+b^2=1[/mm]
>
> [mm]z(z+1)^2 = z^3+2z^2+z = (a+bi)^3+2(a+bi)^2+a+bi=a^3+3a^2bi-ab^2-b^3i+2(a^2+2abi-b^2) +a+bi = a^3-ab^2+2a^2-2b^2+a+i(3a^2b-b^3+4ab+b)[/mm]
>
> Zu zeigen:
>
> [mm]i(3a^2b-b^3+4ab+b) = 0[/mm] für [mm]a^2+b^2=1 \gdw a= \wurzel{1-b^2}[/mm]
>
> Einsetzen:
>
> [mm]3(1-b^2)b+4b\wurzel{1-b^2} + b - b^3 =0 \gdw 3b-3b^3+b-b^3+4b\wurzel{1-b^2}=0 \gdw 4b-4b^3+4b\wurzel{1-b^2} = 0 \gdw 4b(1-b^2+\wurzel{1-b^2} =0 \gdw \wurzel{1-b^2}=b^2-1[/mm]
>
> Und dies stimmt leider nicht.
>
> Andere Möglichkeit:
>
> [mm]z = re^{i\varphi}, |z| = 1 =r[/mm]
>
> [mm]z^3 + 2z^2+z = e^{3i\varphi} +2 e^{2i\varphi} +e^{i\varphi} \gdw cos(3\varphi) + i sin(3\varphi) + 2cos(2\varphi) + 2 i sin(2\varphi) +cos(\varphi) + i sin(\varphi)[/mm]
>
> Zu zeigen:
>
> [mm]i(sin(3\varphi)+2sin(2\varphi)+sin(\varphi)) =0[/mm]
>
> Dass dies = 0 ist, konnte ich mit einem Programm
> verifizieren indem ich für [mm]\varphi[/mm] Vielfache von [mm]pi[/mm]
> eingesetzt habe.
Tolle Probe. [mm] \sin{(k\pi)}=0. [/mm] Immer (für [mm] k\in\IZ [/mm] natürlich).
Setz doch mal für [mm] \varphi [/mm] was anderes ein, z.B. 1, oder [mm] \tfrac{\pi}{17} [/mm] oder...
> Jedoch weiß ich nicht, wie man das zeigen
> kann.
Gar nicht.
> Danke für Hilfe :)
Gern doch. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Do 26.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo BarneyS,
>
> ist das wirklich die Aufgabe?
>
> > Man zeige für [mm]z \in \IC[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm] gilt:
> >
> > [mm]z(z+1)^2 \in \IR[/mm]
>
> Ein Gegenbeispiel würde ja genügen, um zu zeigen, dass
> die Behauptung nicht stimmt.
>
> Probier doch mal [mm]z=\bruch{1}{2}\wurzel{2}(1+i)[/mm] ...
>
> Grüße
> reverend
>
> > Hallo, ich denke der Ansatz ist ok, aber
> > irgendwo habe ich einen Rechenfehler, den ich einfach nicht
> > finde...
> >
> > [mm]z = a +bi , |z| = 1 \Rightarrow a^2+b^2=1[/mm]
> >
> > [mm]z(z+1)^2 = z^3+2z^2+z = (a+bi)^3+2(a+bi)^2+a+bi=a^3+3a^2bi-ab^2-b^3i+2(a^2+2abi-b^2) +a+bi = a^3-ab^2+2a^2-2b^2+a+i(3a^2b-b^3+4ab+b)[/mm]
>
> >
> > Zu zeigen:
> >
> > [mm]i(3a^2b-b^3+4ab+b) = 0[/mm] für [mm]a^2+b^2=1 \gdw a= \wurzel{1-b^2}[/mm]
>
> >
> > Einsetzen:
> >
> > [mm]3(1-b^2)b+4b\wurzel{1-b^2} + b - b^3 =0 \gdw 3b-3b^3+b-b^3+4b\wurzel{1-b^2}=0 \gdw 4b-4b^3+4b\wurzel{1-b^2} = 0 \gdw 4b(1-b^2+\wurzel{1-b^2} =0 \gdw \wurzel{1-b^2}=b^2-1[/mm]
>
> >
> > Und dies stimmt leider nicht.
> >
> > Andere Möglichkeit:
> >
> > [mm]z = re^{i\varphi}, |z| = 1 =r[/mm]
> >
> > [mm]z^3 + 2z^2+z = e^{3i\varphi} +2 e^{2i\varphi} +e^{i\varphi} \gdw cos(3\varphi) + i sin(3\varphi) + 2cos(2\varphi) + 2 i sin(2\varphi) +cos(\varphi) + i sin(\varphi)[/mm]
>
> >
> > Zu zeigen:
> >
> > [mm]i(sin(3\varphi)+2sin(2\varphi)+sin(\varphi)) =0[/mm]
> >
> > Dass dies = 0 ist, konnte ich mit einem Programm
> > verifizieren indem ich für [mm]\varphi[/mm] Vielfache von [mm]pi[/mm]
> > eingesetzt habe.
>
> Tolle Probe. [mm]\sin{(k\pi)}=0.[/mm] Immer (für [mm]k\in\IZ[/mm]
> natürlich).
lol Ich bin echt ein Mathegenie ;)))) hahaha
> Setz doch mal für [mm]\varphi[/mm] was anderes ein, z.B. 1, oder
> [mm]\tfrac{\pi}{17}[/mm] oder...
>
> > Jedoch weiß ich nicht, wie man das zeigen
> > kann.
>
> Gar nicht.
>
> > Danke für Hilfe :)
>
> Gern doch.
>
Danke :)
Toll, dass wir solche Aufgaben bekommen!! Damit verschwende ich so viel Zeit, die ich sinnvoller nutzen könnte. Ich muss mich einfach mal von der Vorstellung befreien, dass wenn dort steht "zeigen Sie", dass dies dann auch wirklich möglich ist....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Do 26.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Man zeige, dass für $z [mm] \in \IC [/mm] $ mit $|z|=1$ (Nicht |z| = 0, dies war ein Tippfehler) gilt:
[mm](z-1)(z+1) [/mm] ist rein imaginär |
Hallo, ist dies dann vielleicht auch Unsinn?
Ich habe die Aufgabe ganz exakt abgeschrieben.
[mm] z^2-1 = (a+bi)(a+bi)-1 = a^2+2abi -b^2 -1 [/mm]
[mm] a^2 + b^2 = 1 \gdw a^2 = 1-b^2 [/mm]
Jetzt nur der Realteil von oben, muss = 0 sein:
[mm] a^2-b^2-1 = 0 \gdw 1-b^2-b^2-1 = 0 \gdw -2b^2 = 0 [/mm]
Widerspruch!
Ist das so richtig?
Thx :)
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Hallo,
an der Aufgabe kann meines Erachtens etwas nicht stimmen. Für |z|=0 ist es unmittelbar ersichtlich. Du hast wohl mit |z|=1 gerechnet. Hier kann man sich bspw. schon durch geometrische Überlegungen klarmachen, dass die Behauptung i.A. nicht stimmen kann.
Wie lautet denn die Aufgabe genau?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 26.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo,
>
> an der Aufgabe kann meines Erachtens etwas nicht stimmen.
> Für |z|=0 ist es unmittelbar ersichtlich. Du hast wohl mit
> |z|=1 gerechnet. Hier kann man sich bspw. schon durch
> geometrische Überlegungen klarmachen, dass die Behauptung
> i.A. nicht stimmen kann.
>
> Wie lautet denn die Aufgabe genau?
>
> Gruß, Diophant
>
>
Hey,
dies war natürlich ein Tippfehler von mir... Und ich sag auch noch, dass ich die Aufgabe ganz genau abgeschrieben habe...
Nun stimmt es aber wirklich!
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Hallo BarneyS,
bevor man allzuviel Gehirnschmalz auf eine Aufgabe verschwendet, sind ein paar Kopfrechenübungen immer hilfreich.
Man sollte z.B. [mm] z=\pm1 [/mm] und [mm] z=\pm{i} [/mm] erstmal durchprobieren. Und das reicht hier auch schon.
Grüße
reverend
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