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| Aufgabe | Sie möchten einen Geldbetrag von 10000 Euro anlegen und Ihre Bank biete Ihnen einen Jahreszins von 5% jährlich an.
a) Um Ihre Konditionen zu verbessern, handeln Sie aus, daß (anstelle der jährlichen Zinsgutschrift) am Ende jedes Monats ein Zwölftel des Jahreszins gutgeschrieben und ab da mitverzinst wird. Wie groß ist nun Ihr Gutahben am Jahresende ?
b) Zeigen Sie, daß eine Verkürzung des Zeitraumes zwischen den Zinsgutschriften zu einer Erhöhung des Kapitals am Jahresende führt.
c)Was ergäbe sich bei täglicher, stündlicher, minütlicher Verzinsung ? Könnte man durch weitere Verkürzung der Verzinsungsintervalle erreichen, ßda sich das Kapital bis Jahresendeum mindestens 6% erhöht ? |
Hallo zusammen !
Hab mich an dieser Aufgabe versucht, und würde trotzdem ganz gerne ein paar Lösungstipps bekommen wollen, wenn sich da jemand auskennt *g* !
zu a) bei jährlicher Verzinsung bekommt man am Jahresende 10.500 !
jetzt bekommt man am Ende eines Monats [mm] \bruch{1}{12} [/mm] des Jahreszinses, also [mm] \bruch{1}{12} [/mm] * 0,05 = [mm] 4,167*10^{3}.
[/mm]
Jetzt hab ich im Internet ne Zinsformel gefunden, mit der ich das Guthaben nach 12 Montane errechne: [mm] K_{n} [/mm] = [mm] K_{0} [/mm] * ( 1 + p [mm] )^{n} [/mm] ! Stimmt diese Formel ?
Also setz ich hier ein, und bekomm dann nach 12 Monaten 10.511,62 raus. Stimmt das ?
zu b) Hier bräuchte ich eure Hilfe. Wie beweist man denn sowas ? Wie setz ich denn da überhaupt an ?
zu c) Hab hier wieder diesselbe Formel wie oben verwendet, ist das richtig ?
Dann krieg ich bei täglicher Verzinsung (hab mit 360 Tagen/Jahr gerechnet) 10.512,67 raus
stündlich: 10.512,71
minütlich: 10.512,71
Stimmen die Ergebnisse, oder hab ich mich irgendwo vertan ?
Und da sich ja bei der Verkürzung von stündlich zu minütlich nichts mehr ändert, kann man nicht mehr erreichen, daß sich das Kapital weiter erhöht ?
Wärte nett, wenn mir einer hierbei unter die Arme greifen würde ! Vielen lieben Dank schon mal jetzt !
Viele Grüße !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Julchen,
> zu a) bei jährlicher Verzinsung bekommt man am Jahresende
> 10.500 !
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt bekommt man am Ende eines Monats [mm]\bruch{1}{12}[/mm] des
> Jahreszinses, also [mm]\bruch{1}{12}[/mm] * 0,05 = [mm]4,167*10^{3}.[/mm]
> Jetzt hab ich im Internet ne Zinsformel gefunden, mit der
> ich das Guthaben nach 12 Montane errechne: [mm]K_{n}[/mm] = [mm]K_{0}[/mm] *
> ( 1 + p [mm])^{n}[/mm] ! Stimmt diese Formel ?
> Also setz ich hier ein, und bekomm dann nach 12 Monaten
> 10.511,62 raus. Stimmt das ?
Ja um bei b) weiterzukommen würde ich aber die Formel anders aufschreiben.
n="Anzahl der Zinsauszahlungen"
p=0,05
Dann ist [mm]K_n=10000*\left(1+\bruch{0,05}{n}\right)^n[/mm] also
[mm] K_{12}=10000*\left(1+\bruch{0,05}{12}\right)^{12}= [/mm] 10.511,62
Das ändert erstmal nichts.
> zu b) Hier bräuchte ich eure Hilfe. Wie beweist man denn
> sowas ? Wie setz ich denn da überhaupt an ?
Das bedeutet immer wenn ich das Jahr öfter aufteile erhöht sich [mm] K_n [/mm] Formal mußt Du also zeigen:
[mm] K_{n+1}>K_n
[/mm]
> zu c) Hab hier wieder diesselbe Formel wie oben verwendet,
> ist das richtig ?
> Dann krieg ich bei täglicher Verzinsung (hab mit 360
> Tagen/Jahr gerechnet) 10.512,67 raus
> stündlich: 10.512,71
> minütlich: 10.512,71
> Stimmen die Ergebnisse, oder hab ich mich irgendwo vertan
> ?
>
> Und da sich ja bei der Verkürzung von stündlich zu
> minütlich nichts mehr ändert, kann man nicht mehr
> erreichen, daß sich das Kapital weiter erhöht ?
Dieser Schluß stimmt allerdings nicht sonst wäre auch die Aussage aus b falsch. Formal muß man sich den Grenzwert [mm] \limes_{n \to \infty}{\left(1+\bruch{0,05}{n}\right)^n} [/mm] anschauen. der sollte kleiner als 1,06 sein das dies 6% Verzinsung entspricht.
viele Grüße
mathemaduenn
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Danke für die schnelle Antwort !
bei der b) hab ich glaub ich leider meine kleineren Schwierigkeiten!
Also habe zu zeigen, daß [mm] K_{n+1}>K_n
[/mm]
Setz jetzt da ein:
[mm] $K_{0}\cdot{}\left(1+\bruch{p}{n+1}\right)^{n+1} [/mm] > [mm] $K_{0}\cdot{}\left(1+\bruch{p}{n}\right)^n [/mm]
Da [mm] K_{0} [/mm] kürzt sich raus !
[mm] (1+\bruch{p}{n+1})^{n+1} [/mm] > [mm] (1+\bruch{p}{n})^{n} [/mm] ;
[mm] (1+\bruch{p}{n+1})^{n}*(1+\bruch{p}{n+1}) [/mm] > [mm] (1+\bruch{p}{n})^{n} [/mm] ;
Aber wie gehts jetzt hier dann weiter ? Wäre nett, wenn mir das dann noch sagen würde ! Komme mit dem n+1 nicht ganz klar !
Danke !
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Hallo Julchen01,
> Also habe zu zeigen, daß [mm]K_{n+1}>K_n[/mm]
>
> Setz jetzt da ein:
>
> [mm]K_{0}\cdot{}\left(1+\bruch{p}{n+1}\right)^{n+1} > [/mm][mm] K_{0}\cdot{}\left(1+\bruch{p}{n}\right)^n[/mm]
>
> Da [mm]K_{0}[/mm] kürzt sich raus !
> [mm](1+\bruch{p}{n+1})^{n+1}> (1+\bruch{p}{n})^{n}[/mm] ;
> [mm](1+\bruch{p}{n+1})^{n}*(1+\bruch{p}{n+1})>(1+\bruch{p}{n})^{n}[/mm] ;
[mm](1+\bruch{p}{n+1})^{n}*(1+\bruch{p}{n+1})>\red{1}*(1+\bruch{p}{n})^{n}[/mm]
Und jetzt kürzt sich [mm](1+\bruch{p}{n+1})^{n}[/mm] raus.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hi !
Also ich weiß ja nicht, aber vielleicht steh ich ja jetzt aufm Schlauch ...
Wieso kann man denn [mm] (1+\bruch{p}{n+1})^{n} [/mm] rauskürzen ? Auf der einen Seite steht doch [mm] (1+\bruch{p}{n+1})^{n} [/mm] , auf der anderen [mm] (1+\bruch{p}{n})^{n} [/mm] ?
Also einmal n und einmal n+1, und das kann ich dann trotzdem kürzen ?
Bitte um Aufklärung !? Irgendwie bin ich zu doof ...
Liebe Grüße !
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Hallo Julchen01,
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Da hab ich doch nicht so genau hingeschaut und wollte zu sehr vereinfachen. Da kann man(nat.) nichts kürzen.
Du kannst Dir folgende Funktion anschauen:
[mm] f(x)=(1+\bruch{p}{x})^x
[/mm]
Wenn die Ableitung immer größer Null ist dann ist diese Funktion monoton wachsend. Daraus folgt dann das f(n+1)>f(n) sein muß weil n+1 ja größer als n ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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