Rechteck Integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Di 11.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Gegeben ist das rechteck R: |x| +|y| <1
Skizziere R und berechne [mm] \int_R e^{x+y} [/mm] dx dy
als iteriertes Integral. |
Hallo,
R ist eine Art Raute mit Eckpunkten (-1,0), (1,0),(0,1), (0,-1)
Ich dachte als erstes daran, dass Rechteck einfach zu verschieben auf das Rechteck [mm] [0,1]^2 [/mm] aber ich glaub nicht dass dies so gewollt ist..(bzw. darf man da denke ich gar nicht)
Meine nächste Idee:
Mittels Skizze:
[mm] \int_R e^{x+y} [/mm] dx dy = 2* [mm] \int_{x=-1}^0 \int_{y=0}^{x+1} e^{x+y} [/mm] dy dx + 2* [mm] \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{-x+1} e^{x+y} [/mm] dy dx
Es ist jeweils *2 da es ja einen oberen und einen unteren teil gibt.
Ich weiß nicht ob das stimmt..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Di 11.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
im oberen und unteren Teil ist doch [mm] e^{x+y} [/mm] verschieden. also musst du 4 Teilintegrale ausrechnen, oder die Grenzen von y anders setzen, denn das geht doch von der unteren zur oberen Strecke und nicht von 0 zur oberen Strecke.
die oberen Teile (ohne 2 sind richtig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Di 11.12.2012 | | Autor: | sissile |
Achja.
Ich hätte dann:
[mm] \int_R e^{x+y} [/mm] dx dy = [mm] \int_{x=-1}^0 \int_{y=0}^{x+1} e^{x+y} [/mm] dy dx + [mm] \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{-x+1} e^{x+y} [/mm] dy dx + [mm] \int_{x=-1}^0 \int_{y=0}^{-x-1} e^{x+y} [/mm] dy dx + [mm] \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{x-1} e^{x+y} [/mm] dy dx
STimmt das?
Oder:
[mm] \int_{x=-1}^0 \int_{-x-1}^{x+1} e^{x+y} [/mm] dy dx + [mm] \int_{x=0}^1 \int_{x-1}^{-x+1} e^{x+y} [/mm] dy dx
Wenn beides stimmen sollte, was ist einfacher auszurechnen?
Oder ist es einfacher zuerst nach x zu integrieren und das ganze umzudrehen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Di 11.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist beides derselbe Aufwand, ich würde die 2 te Version wählen. es ist ein Schritt (y=0 einsetzen ) weniger
und das ganze ist in x und y völlig symetrisch, also das gleiche in grün.
die Integrale sind doch leicht zu berechnen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Mi 12.12.2012 | | Autor: | sissile |
Jap danke. Ich erspare mir nur gerne jeden Rechenaufwand .
Ich komme auf das Ergebnis -1/e + e= [mm] \frac{-1 + e^2}{e}
[/mm]
Kann ist dass bei WOlfram irgendwie überprüfen? ich weiß nicht, wie man da eingibt.
Es gibt noch einen Punkt b) & c)
b) Gib eine Koordiantentransformation [mm] \phi: \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] an für die [mm] \phi(R)= [/mm] [- [mm] \sqrt{2}/2 [/mm] , [mm] \sqrt{2}/2] \times [/mm] [- [mm] \sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2 [/mm] ] ist.
c)Werte das Integral mit Hilfe dieser Koordiantentransformation und Substitutionsregel erneut aus.
Die Raute soll also mit [mm] \phi [/mm] angebildet ein Quadrat ergeben.
Die kann mittels einer Rotation des Koordiantensystems erreicht werden.
Ein Punkt P, der im Koordinatensystem vom Anfang die Koordinaten p=(x, y) hat, besitzt dann im neuen Koordinatensystem die Koordinaten:
[mm] x'=x\cos \phi [/mm] + [mm] y\sin \phi
[/mm]
y'= [mm] -x\sin \phi+ y\cos \phi
[/mm]
Es ist eine drehumg um 90°: x'=-x , y'= - y
oder sind da Polarkoordianten gemeint?
Ich glaube nicht dass ich das richtig verstanden habe..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Mi 12.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mein Ergebnis ist 1/e+e
2. das ist keine 90° drehung, dabei ginge ja die Raute in sich über, du willst ein achsenparalles Quadrat.
welcher Punkt auf der Raute hat denn die entfernung [mm] 1/2*\wurzel{2} [/mm] von 0?
Mit Drehung hast du Recht aber nimm den richtigen Winkel.
und keine polarkoordinaten sondern x',y'
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Mi 12.12.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo
> Mein Ergebnis ist 1/e+e
Wieso?
$ [mm] \int_{x=-1}^0 \int_{-x-1}^{x+1} e^{x+y} [/mm] $ dy dx + $ [mm] \int_{x=0}^1 \int_{x-1}^{-x+1} e^{x+y} [/mm] $ dy dx = [mm] \int_{x=-1}^0 e^x [/mm] *( [mm] e^{x+1} [/mm] - [mm] e^{-x-1}) [/mm] dx + [mm] \int_{x=0}^1 e^x [/mm] * [mm] (e^{-x+1} [/mm] - [mm] e^{x-1})=
[/mm]
= [mm] \int_{x=-1}^0 e^{2x+1} [/mm] - [mm] e^{-1} [/mm] dx [mm] \int_{x=0}^1 e^1 [/mm] - [mm] e^{2x-1} [/mm] = e/2 - 1/(2e) - 1/2 + e - e/2 + 1/(2e)= -1/e +e
Teil 2:
P=(x,y) ->
$ [mm] x'=x\cos \pi [/mm] /4$ + $ [mm] y\sin \pi/4 [/mm] $
y'= $ [mm] -x\sin \pi/4+ y\cos \pi/4 [/mm] $
[mm] \phi(\vektor{x \\ y}) =\vektor{x* \frac{\sqrt{2}}{2} +y *\frac{\sqrt{2}}{2}
\\ - x* \frac{\sqrt{2}}{2} +y *\frac{\sqrt{2}}{2}
} [/mm]
Teil 3: Integral mit Hilfe dieser koordinatentransformation und substitutionsrgel auswerten.
[mm] \int_{\phi(R)} e^{x+y} [/mm] dx dy =?
$ [mm] x'=x\cos \pi [/mm] /4$ + $ [mm] y\sin \pi/4 [/mm] $
y'= $ [mm] -x\sin \pi/4+ y\cos \pi/4 [/mm] $
und
det(D [mm] \phi) [/mm] = 1
=> d(x,y) = d(x', y')
[mm] \int_{\phi(R)} e^{x+y} [/mm] dx dy = [mm] \int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} e^{y \sqrt{2}} [/mm] dy dx = [mm] \sqrt{2}* \int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} e^{y \sqrt{2}} [/mm] dy = e - 1/e
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Mi 12.12.2012 | | Autor: | sissile |
Supa ich danke dir.
Liebe Grüße
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
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![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
