Rechteck in Halbkreis < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Einem Halbkreis mit dem Radius r soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Wie groß sind die Seiten des Rechtecks? |
Es ist ziemlich lange her, dass ich mit Extremwertaufgeben hantiert habe und entsprechend hab ich auch (fast) keine Ahnung mehr wie das funktionierte.
Ich bin das mal wie folgt angegangen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] A_{\Box}\to [/mm] max
[mm] A_{\Box}=2*s*t
[/mm]
[mm] s^{2}=r^{2}-t^{2} \Rightarrow A_{\Box}=2*(r^{2}-t^{2})*t
[/mm]
[mm] A_{\Box}^{'}(t) [/mm] ist dann aber [mm] (2r^{2} [/mm] - [mm] 6t^{2}) [/mm] und ich frage mich wie ich weiter vorgehen kann. r ist hier ja als Konstante Größe zu betrachten und ich weiß nun, dass die Gleichung [mm] A_{\Box}=2*(r^{2}-t^{2})*t [/mm] bei [mm] (2r^{2} [/mm] - [mm] 6t^{2}) [/mm] eine waagerechte Tangente hat. [mm] A_{\Box}^{''} [/mm] ist dann aber -12t, ist also immernoch von t abhängig. Das Krümmungsverhalten lässt sich so doch nicht eindeutig festlegen. Erst [mm] A_{\Box}^{'''} [/mm] schließlich liefert -12 als Wert, der auf ein Maximum schließen ließe.
...ich wäre sehr verbunden, wenn mir wer weiterhelfen könnte, hab ich was grundlegend falsch gemacht? Oder fehlt was in meiner Erinnerung an diese Extremwertaufgaben (könnte leicht möglich sein  )?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo EdmondDantes!
> [mm]s^{2}=r^{2}-t^{2} \Rightarrow A_{\Box}=2*(r^{2}-t^{2})*t[/mm]
Hier hast Du eine Wurzel unterschlagen, da in der Flächenformel nur $s_$ steht und nicht [mm] $s^2$ [/mm] :
[mm] $A_{\Box} [/mm] \ = \ [mm] 2*\wurzel{r^{2}-t^{2}}*t$
[/mm]
> r ist hier ja als Konstante Größe zu betrachten
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und ich weiß nun, dass die Gleichung [mm]A_{\Box}=2*(r^{2}-t^{2})*t[/mm]
> bei [mm](2r^{2}[/mm] - [mm]6t^{2})[/mm] eine waagerechte Tangente hat.
Du musst aber die Gleichung (ich bleibe mal bei dieser falschen Ableitung) [mm] $2r^2-6t^2 [/mm] \ [mm] \red{= \ 0}$ [/mm] auch noch nach $t \ = \ ...$ umstellen...
> [mm]A_{\Box}^{''}[/mm] ist dann aber -12t, ist also immernoch von t abhängig.
... und dann hier in die 2. Ableitung einsetzen. Damit es sich um ein Maximum handelt, muss gelten: [mm] $A''(t_e) [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ (hinreichendes Kriterium).
Gruß vom
Roadrunner
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Ok, ich hab mich wie befürchtet einfach nur dumm angestellt, gepaart mit derben Erinnerungslücken und müdigkeitsbedingten Fehlzündungen kam das dann dabei raus danke Roadrunner
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