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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:59 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo,
Ich beschäftige mich momentan damit, wann ein Rechteck in ein anderes Rechteck "passt". Mit passen meine ich, dass ich es einbeschreiben kann. Wenn beide Seiten des zweiten Rechtecks kleiner sind, als des ersten ist das kein Problem. Daher gehe ich davon aus, dass eine Seite größer ist.
Also wenn ich Rechteck 1 mit Seiten a [mm] \ge [/mm] b und Rechteck zwei mit Seiten d [mm] \ge [/mm] c habe gilt d [mm] \ge [/mm] a und natürlich c [mm] \le [/mm] b sonst würde es ja nicht passen.
Was mich nun interessiert ist, wenn ich gegebene Werte a, b, c, d wie oben habe, wie kann ich entscheiden, ob sie "zulässig" sind, also ob das eine Rechteck in das andere passt?
Ich habe schon einige Bedingungen gefunden, allerdings sind das meiner Meinung nach nur notwendige und keine hinreichenden Bedingungen. Ich möchte sie mal anhand eines Bildes erklären:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Da die beiden Dreiecke AEH und EBF ähnlich sind, muss gelten:
[mm] \bruch{x}{y}=\bruch{b-y}{a-x}
[/mm]
Außerdem gilt Pythargoras:
[mm] x^2+y^2=c^2 [/mm] und
[mm] (a-x)^2+(b-y)^2=d^2
[/mm]
Diese 3 Gleichungen kann ich nach y auflösen und erhalte:
[mm] y_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}b \pm \bruch{1}{2}\wurzel{c^2+d^2-b^2}
[/mm]
Damit so ein y existiert muss [mm] c^2+d^2-b^2 \ge [/mm] 0 gelten.
y soll [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] \le [/mm] b sein. Daraus ergibt sich folgende Bedingung:
[mm] c^2+d^2\le2b^2
[/mm]
Setzt man das nun ein und löst nach x auf erhalte ich:
[mm] x_{2,1}=\bruch{a^2+c^2-d^2\pm b\wurzel{c^2+d^2-b^2}}{2a}
[/mm]
x soll [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] \le \bruch{1}{2}a [/mm] sein. Daraus ergibt sich für [mm] x_1:
[/mm]
[mm] a^2+c^2-d^2\ge b\wurzel{c^2+d^2-b^2} [/mm] und [mm] c^2-d^2\le b\wurzel{c^2+d^2-b^2}
[/mm]
und für [mm] x_2:
[/mm]
[mm] a^2+c^2-d^2\ge -b\wurzel{c^2+d^2-b^2} [/mm] und [mm] c^2-d^2\le -b\wurzel{c^2+d^2-b^2}
[/mm]
Wenn ich das selbe Gleichungssystem zuerst nach x auflöse und dann in y einsetze ergeben sich ähnliche Bedingungen jedoch ist b mit a vertauscht. Meiner Meinung nach, sind beide Bedingungssysteme notwendig jedoch nicht hinreichend für die Zulässigkeit, da ja ein zulässiges Rechteck nicht mal unbedingt mit allen 4 Ecken auf den Kanten des ersten Rechtecks liegen muss oder?
Kann mir irgendjemand hier weiterhelfen? Oder zumindest eine Idee geben?
Vielen lieben Dank,
Chrissi
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=15715
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
So mir ist gerade aufgefallen, dass ich durch die ersten drei Gleichungen natürlich schon hinreichende Bedingungen habe, die mir jedoch nicht gefallen, weil es u.U. keine algebraische Lösung für c gibt, da Gleichungen höherer Ordnung entstehen.
Daher hatte ich die Idee, das ganze irgendwie als Optimierungsaufgabe zu lösen, weiß aber nicht ob ich damit mehr Erfolg habe, bzw. wie ich das am besten ansetze.
Also bin für alle Vorschläge, Ideen und Ratschäge wirklich dankbar!!
Liebe Grüße und vielen Dank,
Chrissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Di 26.04.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Chrissi1,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich beschäftige mich momentan damit, wann ein Rechteck in
> ein anderes Rechteck "passt". Mit passen meine ich, dass
> ich es einbeschreiben kann. Wenn beide Seiten des zweiten
Ich hatte auch die Idee, es als eine Optimierungsaufgabe aufzufassen, und habe es direkt mal gemacht. Leider kann ich nicht erkennen, ob du die Differenzialrechnung bereits kennst?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Diese Bezeichnungen übernehme ich.
Gegeben: a,b,c
Gesucht: Ein maximales d
Nun gilt:
[mm] $D(x)^2=(a-x)^2+(b-y)^2$ [/mm] und mit [mm] $y^2=c^2-x^2$ [/mm] dann auch
[mm] $D(x)^2=(a-x)^2+\left(b-\wurzel{c^2-x^2}\right)^2$
[/mm]
Wegen der Monotonie der Quadrat-Funktion ermittle ich einfach das Maximum von [mm] D^2 [/mm] anstatt von D, da dies weniger Rechenaufwand bedeutet:
[mm] $(D^2)'(x)=(-1)*2*(a-x)+2*\left(b-\wurzel{c^2-x^2}\right)*\left( -\bruch{1}{2\wurzel{x^2-x^2}} \right)*(-2x)$
[/mm]
[mm] $\ldots=2*\left( \bruch{xb}{\wurzel{c^2-x^2}}-a\right)$
[/mm]
Notwendiges Kriterium für Hochpunkt:
[mm] $(D^2)'(x_e)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\bruch{x_eb}{\wurzel{c^2-x_e^2}}-a=0$
[/mm]
[mm] $\ldots$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $x_e=\bruch{ac}{\wurzel{b^2+a^2}}$
[/mm]
Zu überprüfen bleibt das hinreichende Kriterium für einen Hochpunkt, [mm] $(D^2)''(x_e)<0$, [/mm] sowie die Lage der Lösung im Definitionsbereich. Ich hoffe, das haut hin, überlasse es aber dir 
Für D gilt nun:
[mm] $D(x_e)=D\left(\bruch{ac}{\wurzel{b^2+a^2}}\right)=\wurzel{\left(a-\bruch{ac}{\wurzel{b^2+a^2}}\right)^2+\left(b-\wurzel{c^2-\bruch{a^2c^2}{b^2+a^2}}\right)^2}$
[/mm]
Dieses D ist also das größte, das man bei gegebenem a, b und c in dem Rechteck unterbringen kann. Ein zulässige Lösung müßte sich also ergeben, wenn dein gegebenes d kleiner oder gleich als dieses maximale D ist: [mm] $d\le [/mm] D$.
Mit ziemlicher Sicherheit finden sich hier noch Rechenfehler, also rechne bitte alles selbst nach 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo Marc,
erst mal ganz vielen lieben Dank für Deine Antwort! Auf die Idee mit Ableiten bin ich noch gar nicht gekommen, weil ich immer dachte, da spielen ja so vielen Nebenbedingungen rein, dass das eh nicht klappt.
Leider klappt es wirklich nicht, weil wenn man D''(x) berechnet stellt man fest, dass die zweite Ableitung immer positiv ist, d.h. der gefunde Punkt ist wohl eher ein Minimum und das Maximum wird wohl am Rand des Definitionsbereichs angenommen.
Die einzige Beschränkung für den Def.Bereich von D(x) ist jedoch, dass [mm] x\le [/mm] c sein muss (sonst Wurzel nicht definiert).
Aber es gibt ja noch die anderen Bedingungen meiner ersten Frage, d.h. so wie ich das sehe stehe ich wieder am Anfang oder?
Wäre über weitere Anregungen oder Ratschläge wirklich sehr froh, weil finde es irgendwie extrem ärgerlich, dass das Problem so einfach klingt, ich aber nicht draufkomme wie man es lösen könnte ;)
Vielen Dank und liebe Grüße,
Chrissi
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Hallo Chrissi!
Wie lautet denn Deine 2. Ableitung [mm] $(D^2)''(x)$ [/mm] bzw. der entsprechende Wert für [mm] $x_e$, [/mm] sprich: [mm] $(D^2)''(x_e) [/mm] \ = \ ...$ ??
Nach meiner Rechnung gilt nämlich [mm] $(D^2)''(x_e) [/mm] \ < \ 0$ für [mm] $2*a^2 [/mm] \ > [mm] b^2$, [/mm] was Du aber ganz zu Anfang vorausgesetzt hast.
Es scheint sich also wirklich um ein Maximum zu handeln.
(Den Wert für [mm] $x_e$ [/mm] habe ich jetzt aber nicht nachgerechnet!)
Grüße vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo Roadrunner,
also bei meiner zweiten Ableitung fällt a völlig raus. Schaut so aus:
D''(x) = [mm] \bruch{2bc^2}{(c^2 - x^2)^(3/2)}
[/mm]
das ist bei mir immer positiv, da ich ja alle Werte als positiv vorausgesetzt habe.
Hab ich nen Rechenfehler? Habs nochmal gerechnet, komme aber immer wieder darauf..
Lg,
Chrissi
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Hallo Chrissi!
> D''(x) = [mm]\bruch{2bc^2}{(c^2 - x^2)^{3/2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also ich erhalte jetzt auch genau Dein Ergebnis ...
Das $a$ kommt ja wieder in's Spiel, wenn Du einsetzt: [mm] $x_e=\bruch{ac}{\wurzel{b^2+a^2}}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo Roadrunner,
ich schreib dir hier mal auf wie ich gerechnet habe, bin mir eigentlich relativ sicher, dass es so stimmt:
D'(x) = 2 [mm] (\bruch{xb}{\wurzel{c^2-x^2}}-a) [/mm] = [mm] \bruch{2xb}{\wurzel{c^2-x^2}}-2a
[/mm]
D''(x) = [mm] \bruch{2b\wurzel{c^2-x^2}-\bruch{2xb(-2x)}{2\wurzel{c^2-x^2}}}{c^2-x ^2}=
[/mm]
[mm] \bruch{2b(c^2-x^2)+2x^2b}{(c^2-x^2)^\bruch{3}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{2bc^2}{(c^2-x^2)^\bruch{3}{2}}
[/mm]
Wenn das immer positiv ist, brauche ich ja [mm] x_e [/mm] gar nicht einsetzen, dürfte ja nichts ändern oder ?
Liebe Grüße,
Chrissi
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Hallo Chrissi!
Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil ...
Du hast recht, ich habe micht vorhin etwas dämlich angestellt bei der Ermittlung der 2. Ableitung ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") !
Wenn absehbar ist, daß immer gilt $f''(x) \ > \ 0$, brauchst Du Dein [mm] $x_e$ [/mm] natürlich nicht mehr einsetzen. Die Zeit kann man sinnvoller nutzen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Chrissi!
> erst mal ganz vielen lieben Dank für Deine Antwort! Auf die
> Idee mit Ableiten bin ich noch gar nicht gekommen, weil ich
> immer dachte, da spielen ja so vielen Nebenbedingungen
> rein, dass das eh nicht klappt.
>
> Leider klappt es wirklich nicht, weil wenn man D''(x)
> berechnet stellt man fest, dass die zweite Ableitung immer
> positiv ist, d.h. der gefunde Punkt ist wohl eher ein
> Minimum und das Maximum wird wohl am Rand des
> Definitionsbereichs angenommen.
Stimmt denn eigentlich meine 1. Ableitung? Mit einem (primitiven) CAS habe ich eine andere 1. Ableitung herausbekommen...
Aber ich vermute mittlerweile auch, dass ich ein Minimum ausgerechnet habe. Wenn wir jetzt den Definitionsbereich kennen würden, wären wir aber trotzdem fertig, da entweder links oder recht das absolute Maximum angenommen werden muss.
> Die einzige Beschränkung für den Def.Bereich von D(x) ist
> jedoch, dass [mm]x\le[/mm] c sein muss (sonst Wurzel nicht
> definiert).
Ich denke, es gibt noch mehr Bedingungen. Es muß doch möglich sein, das kleinst- und größtmögliche x zu berechnen. Werde da heute noch drüber nachdenken.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo Marc,
also ich habe diesselbe Ableitung rausbekommen, und auch mit Derive nachrechnen lassen. Denke das stimmt also.
Habe mir auch noch ein wenig weitere Gedanken gemacht: es gibt ja noch die Bedingung [mm] ax-x^2=by-y^2
[/mm]
hier kann man ja das y = [mm] \wurzel{c^2-x^2} [/mm] einsetzen und kommt dann zu:
[mm] ax-2x^2-b\wurzel{c^2-x^2}+c^2= [/mm] 0
Will ich das allerdings nach x auflösen komme ich auf eine ziemlich unschöne Gleichung 4. Grades und da nicht weiter :(
Aber vielleicht hast du ja mehr Glück!! Vielen Dank auf jeden Fall fürs Mitdenken :)
Liebe Grüße,
Chrissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Fr 29.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Chrissi
Deine frage ist glaub ich nicht wohldefiniert.
1. Das einbeschriebene Rechteck hat 4 Eckpunkte auf den Seiten. Dabei kann man nur das kleinstmögliche suchen. Oder welche Richtungen die Seiten haben können.(Ich glaube von 0° bis zur Diagonalen) Das größtmögliche ist das äußere Rechteck selbst.
2. das einb. hat nur 3 Ecken auf den Seiten. Gesucht das maximale einb. Rechteck, dessen Seite eine feste Richtung hat.
Ich habe maximal dabei auf die Fläche bezogen.
3. alle möglichen c,d :aus Vorgabe von c< [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm] folgt das zugehörige d nach 1. oder 2.
4. Möglicherweise hab ich deine Frage misinterpretiert, dann verbesser mich bitte!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 So 01.05.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo Leduart,
also eigentlich wuerde ich meine Frage am ehersten unter 3.) einordnen. Ich habe vier Werte a,b,c,d gegeben und will entscheiden ob diese "zulässig" sind, d.h. ich kann das Rechteck mit Seiten c und d in das Rechteck mit Seiten a,b einbeschreiben. Da mich aber nur die schrägen Lösungen interessieren, bin ich davon ausgegangen, dass für a [mm] \ge [/mm] b und [mm] d\ge [/mm] c gilt: d > a und c < b
und natürlich d [mm] \le \wurzel{a^2+b^2} [/mm] sonst gehts ja gar nicht.
Ich hoffe, es ist klar geworden, was ich meine, bin echt dankbar für eure Hilfe!!
Liebe Grüße,
Chrissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 So 01.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Chrissy
Dein Problem hat mich ne Weile beschäftigt und ich find es amüsant.
Nun zu meinen Lösungsvorschlägen.
1. Wenn alle 4 Ecken des innenliegenden Rechtecks auf den Seiten liegen sollen folgt c [mm] \le [/mm] a und d [mm] \le [/mm] b. mit dem trivialen Grenzwertc=a und d=b.
Beweis: Damit alle 4 Ecken auf den Seiten liegen muss der Umkreis des Innenrechtecks beide Seiten schneiden bzw. berühren. Damit ist der Radius r' kleiner als die halbe Diagonale r des Aussenrechtecks und größer als a/2. Mit [mm] r'^{2}=r^{2}-\varepsilon^{2} [/mm] folgt dann [mm] (\varepsilon [/mm] klein)
[mm] c^{2}\approx a^{2}-2*\varepsilon^{2} [/mm] d <b entsprechend. das kleinstmögliche c erhält man, wenn r'=a/2 mit [mm] c^{2}=a^{2}/2+b^{2}/4 [/mm] +a/2* [mm] \wurzel{a^{2}-b^{2}} [/mm] Das ist auch das Rechteck mit kleinstem Flächeninhalt, das alle 4 Seiten aneckt!
2. Wenn nur 3 Ecken auf den Seiten liegen sollen kann man [mm] c\le \wurzel{a^{2}+b^{2}}erreichen [/mm] aber d wird beliebig klein, wenn c gegen die Grenze geht. In diesem Fall find ich nur noch sinnvoll eine Seitenrichtung vorzugeben und dazu d(c) auszurechnen, oder das maximale mit dieser Seitenrichtung.
Ein Viereck c,d kann dann auch mehrere Lagen haben, so dass es nicht mehr sehr spannend ist.
Vielleicht fällt dir für den Fall 2. noch was besseres ein.
Weiter viel Spass mit Rechtecken
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 Di 03.05.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo Leduart,
> Dein Problem hat mich ne Weile beschäftigt und ich find es
> amüsant.
so ging es mir am Anfang auch, aber langsam macht es mich schon ärgerlich ;)
Kurz eine generelle Frage: ist bei dir c oder d die längere Seite des inneren Rechtecks?
Wenn ich deine Erklärungen so weit verstanden habe, müsste es c sein oder?
Für mich ist ansich der 2. Fall interessanter, weil es bei 2 allgemeinen Rechtecken eher selten der Fall ist, dass wirklich alle 4 Ecken auf den Seiten liegen. Ich habe auch ein Gleichungssystem gefunden, nur leider komme ich dann immer auf Gleichungen höheren Grades, die nicht so einfach lösbar sind (außer numerisch, das würde ich aber gerne umgehen).
Bin mittlerweile aber schon fast der Ansicht, dass es keine andere Möglichkeit gibt das irgendwie zu umgehen.
Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe und falls Du noch einen Geistesblitz hast lass es mich wissen ! :)
Liebe Grüße,
Chrissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Di 03.05.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo,
ich habe nun beschlossen, erstmal zu versuchen hinreichende Bedingungen für die Zulässigkeit der zwei REchtecke zu suchen. Dabei habe ich in der de.sci.mathematik Newsgroup den Hinweis bekommen, dass für die beiden Rechtecke folgende Ungleichungen gelten müssen:
[mm] d*\cos\alpha+c*\sin\alpha \le [/mm] a
[mm] d*\sin\alpha+c*\cos\alpha \le [/mm] b
Wobei [mm] \alpha [/mm] der Winkel zwischen d und a ist.
So weit ist mir das ganz auch einigermaßen klar, aber leider komme ich nicht weiter. Mir wurde gesagt, man kann [mm] \alpha [/mm] daraus eliminieren, so dass man zu
[mm] a*d-c*\wurzel{c^2+d^2-a^2}\geb*c+d*\wurzel{c^2+d^2-b^2} [/mm]
kommt. Kann mir hier evtl. jemand weiterhelfen, ob das stimmt und wenn ja warum?
Leider kann ich in der Newsgroup nur beschränkt schreiben und bekomme daher keine Antwort.
Vielen Dank und liebe Grüße,
Chrissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Di 03.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Chrissy
> Hallo,
> [mm]d*\cos\alpha+c*\sin\alpha \le[/mm] a
> [mm]d*\sin\alpha+c*\cos\alpha \le[/mm] b
Die Ungleichungen gelten NUR, wenn alle 4 Ecken auf dem Rechteck liegen,
da hatte ich aber schon in dem "Umkreis" Artikel genauer.
> Wobei [mm]\alpha[/mm] der Winkel zwischen d und a ist.
> So weit ist mir das ganz auch einigermaßen klar, aber
> leider komme ich nicht weiter. Mir wurde gesagt, man kann
> [mm]\alpha[/mm] daraus eliminieren, so dass man zu
>
> [mm]a*d-c*\wurzel{c^2+d^2-a^2}\geb*c+d*\wurzel{c^2+d^2-b^2}[/mm]
das ist keine Gleichung , und der 2. Term muss falsch sein. Man kann [mm] \alpha [/mm] eliminieren indem man 1. die 2 Ungleichungen multipliziert, und 2. Quadriert und dann addiert.
Falls dich immer noch die 4 Ecken auf dem Rand inteessieren, du meinem Umkreisartikel nicht folgen kannst ,frag nach!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo Leduart!
> > [mm]d*\cos\alpha+c*\sin\alpha \le[/mm] a
> > [mm]d*\sin\alpha+c*\cos\alpha \le[/mm] b
> Die Ungleichungen gelten NUR, wenn alle 4 Ecken auf dem
> Rechteck liegen,
Bist du dir da sicher? Ich dachte, alle 4 Ecken liegen auf dem Rechteck, wenn die Ungleichungen als Gleichungen gelten. Bin mir da aber auch nicht ganz sicher.
>[mm]a*d-c*\wurzel{c^2+d^2-a^2}\geb*c+d*\wurzel{c^2+d^2-b^2}[/mm]
> das ist keine Gleichung , und der 2. Term muss falsch sein.
Da hast du natürlich recht, da hat hier die Formelanzeige mir irgendwie einen Streich gespielt. Sollte eigentlich so ausschaun:
[mm] a\cdot{}d-c\cdot{}\wurzel{c^2+d^2-a^2}\ge b\cdot{}c+d\cdot{}\wurzel{c^2+d^2-b^2}
[/mm]
> Falls dich immer noch die 4 Ecken auf dem Rand
> inteessieren, du meinem Umkreisartikel nicht folgen kannst
> ,frag nach!
Wollte da nur wissen, ob c oder d die größere Seite bei dir ist, oder ist das eigentlich egal?
Also nochmals vielen Dank und liebe Grüße,
Chrissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Mi 04.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Chrissy
> Hallo Leduart!
>
> > > [mm]d*\cos\alpha+c*\sin\alpha \le[/mm] a
> > > [mm]d*\sin\alpha+c*\cos\alpha \le[/mm] b
> > Die Ungleichungen gelten NUR, wenn alle 4 Ecken auf dem
> > Rechteck liegen,
>
> Bist du dir da sicher? Ich dachte, alle 4 Ecken liegen auf
> dem Rechteck, wenn die Ungleichungen als Gleichungen
> gelten. Bin mir da aber auch nicht ganz sicher.
Du hast recht!! Ich hab mich geirrt. (Gleichheit gilt zusätzlich [mm] für\alpha [/mm] =0)
Die Ungleichung muss so falsch sein, denn sie ergibt für d=a und c=b [mm] :a^{2}-b^{2} \ge a^{2}+b^{2}
[/mm]
Und in meinem Artikel war c die größere Seite
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo leduart,
ja, stimmt, die Ungleichung haette man ganz einfach widerlegen können, statt dessen habe ich ewig versucht sie zu beweisen ;) Wäre ja auch zu schön gewesen.
ich habe aber zumindest eine schlechtere Abschätzung für den Fall mit 3 Ecken gefunden und zwar komme ich, wenn ich die beiden ursprünglichen Ungleichungen addiere auf
[mm] \cos\alpha+\sin\alpha \le \bruch{a+b}{c+d}
[/mm]
nach dem die l.S. für [mm] 0\le \alpha \le 0,5\pi [/mm] immer [mm] \le 0,5\wurzel{0,5} [/mm] ist erhalte ich also immer ein zulässiges [mm] \alpha [/mm] wenn [mm] \die [/mm] r.S. kleiner diesem Wert ist.
Leider ist das halt nur ne recht grobe Abschätzung und war bei meinem ersten Beispiel gleich falsch, aber besser als gar nichts :)
Liebe Grüße,
Chrissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Mi 04.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Chrissy
>
> ich habe aber zumindest eine schlechtere Abschätzung für
> den Fall mit 3 Ecken gefunden und zwar komme ich, wenn ich
> die beiden ursprünglichen Ungleichungen addiere auf
> [mm]\cos\alpha+\sin\alpha \le \bruch{a+b}{c+d}[/mm]
[mm] \wurzel{2}*0,5<\cos\alpha+\sin\alpha =\wurzel{2}*sin(\alpha [/mm] +45°) [mm] <\wurzel{2}*1 [/mm]
> nach dem die l.S. für [mm]0\le \alpha \le 0,5\pi[/mm] immer [mm]\le 0,5\wurzel{0,5}[/mm]
> ist erhalte ich also immer ein zulässiges [mm]\alpha[/mm] wenn [mm]\die[/mm]
> r.S. kleiner diesem Wert ist.
Versteh ich nicht! es sind doch alle [mm] \alpha<90° [/mm] zulässig? und aus [mm] \alpha [/mm] erhältst du eine Abschätzung für c+d
Übrigens: Wenn das äußere Rechteck ein Quadrat ist, sind die Rechnungen alle viel einfacher. Man kann z. Bsp. alle Quadrate mit [mm] a/\wurzel{2}
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Do 05.05.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo leduart,
ja, Zweifel sind berechtigt, weil ich mal wieder nicht sorgfältig gearbeitet habe. Es gilt:
[mm] \cos\alpha +\sin\alpha\le 2*\wurzel{0,5}
[/mm]
kann man einfach durch Ableiten und Maximum berechnen rausbekommen.
Also erhalte ich immer dann ein gültiges [mm] \alpha [/mm] wenn
[mm] \bruch{a+b}{c+d}\le 2*\wurzel{0,5}
[/mm]
ist. Und damit dann auch eine zulässige Lösung.
Leider ist diese Abschätzung wie gesagt nicht so toll.
Ja das mit dem Quadrat ist wirklich viel einfacher, weil man da sicher sagen kann, dass [mm] \alpha [/mm] = 45° ist. Aber leider habe ich kein Quadrat :(
Liebe Grüße,
Chrissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:54 So 08.05.2005 | | Autor: | leduart |
> Hallo leduart,
>
> ja, Zweifel sind berechtigt, weil ich mal wieder nicht
> sorgfältig gearbeitet habe. Es gilt:
> [mm]\cos\alpha +\sin\alpha\le 2*\wurzel{0,5}[/mm]
>
> kann man einfach durch Ableiten und Maximum berechnen
> rausbekommen.
Um Maximum von sin auszurechnen ist aber differenzieren ein Hammer!
> Also erhalte ich immer dann ein gültiges [mm]\alpha[/mm] wenn
> [mm]\bruch{a+b}{c+d}\le 2*\wurzel{0,5}[/mm]
daraus folgt doch c+d>1,4(a+b)
und es folgt auch nicht aus [mm] cos\alpha+\sin\alpha \le \bruch{a+b}{c+d}
[/mm]
glaubst du wirklich, dass c und d so gross sein müssen?
> ist. Und damit dann
> auch eine zulässige Lösung.
> Leider ist diese Abschätzung wie gesagt nicht so toll.
>
> Ja das mit dem Quadrat ist wirklich viel einfacher, weil
> man da sicher sagen kann, dass [mm]\alpha[/mm] = 45° ist.
Wieso das? versteh ich nicht :?|
Liebe Grüße, leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo leduart,
> > kann man einfach durch Ableiten und Maximum berechnen
> > rausbekommen.
> Um Maximum von sin auszurechnen ist aber differenzieren
> ein Hammer!
Naja, aber nicht wenn man sich nur den Bereich von [mm] 0\le \alpha \le 0.5\pi [/mm] anschaut. Habs mir auch mal zeichnen lassen, das passt schon.
> > Also erhalte ich immer dann ein gültiges [mm]\alpha[/mm] wenn
> > [mm]\bruch{a+b}{c+d}\le 2*\wurzel{0,5}[/mm]
> daraus folgt doch
> c+d>1,4(a+b)
eher andersrum oder?
also
a+b [mm] \le [/mm] 1,4 (c+d)
> und es folgt auch nicht aus [mm]cos\alpha+\sin\alpha \le \bruch{a+b}{c+d}[/mm]
>
nein, das folgt nicht, aber wieder andersrum, bin ja auf der suche nach hinreichenden Bedingungen. Also wenn obige Ungleichung erfüllt ist, finde ich auch ein [mm] \alpha [/mm] so dass die andere erfüllt ist, und damit ist mein Rechteck zulässig. Wenn die Ungleichung nicht erfüllt ist, heißt das natürlich lange noch nicht, dass mein Rechteck nicht zulässig ist.
Stimmt doch so weit, oder hab ich da nen Denkfehler?
> > Ja das mit dem Quadrat ist wirklich viel einfacher, weil
> > man da sicher sagen kann, dass [mm]\alpha[/mm] = 45° ist.
> Wieso das? versteh ich nicht :?|
Ganz berechtigt, war auch mal wieder nur für den Fall mit 4 Ecken auf dem äußeren Rechteck, kann man also verwerfen!
Liebe Grüße, und nochmal vielen Dank fürs mitdenken!! :)
Chrissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Do 12.05.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo,
so ich hatte jetzt gerade eine neue Idee, die mir auch ganz sinnvoll erscheint, aber irgendwo steckt noch ein Fehler drin, und ich kann ihn nicht finden. evtl. kann mir ja jemand hier weiterhelfen:
Ich gehe davon aus, dass wenn ein Rechteck in ein anderes Rechteck passt, immer mindestens 3 Ecken des inneren Rechtecks auf den Seiten des anderen liegen und es gibt meiner Meinung nach auch nur genau eine Position (bis auf Spiegelungen). Wenn ich mir nun nochmal die Ungleichungen mit den Winkeln anschaue:
[mm] d\cos\alpha +c\sin\alpha\leq [/mm] a
[mm] c\cos\alpha +d\sin\alpha\leq [/mm] b
Dann muss eine ja als Gleichung gelten, da die zwei gegenüberliegenden Ecken beide auf den Seiten liegen. Also:
[mm] d\cos\alpha +c\sin\alpha=a
[/mm]
Wenn ich nun für [mm] \sin\alpha [/mm] = [mm] \wurzel{1-\cos^2\alpha} [/mm] setze erhalte ich eine quadratische Gleichung für [mm] \cos\alpha.
[/mm]
Bei mir kommt dann raus
[mm] \cos\alpha_1=\bruch{ad+c\wurzel{c^2+d^2-a^2}}{c^2+d^2}
[/mm]
[mm] \cos\alpha_2=\bruch{ad-c\wurzel{c^2+d^2-a^2}}{c^2+d^2}
[/mm]
Jetzt kann ich das in die Ungleichung einsetzen und wenn es [mm] \leq [/mm] b ist, passt mein Rechteck.
Stimmt das so weit?
Jetzt, warum ich denke, dass da noch irgendein Fehler drin ist:
Wenn ich z.B. ein Rechteck der Größe a=12, b=8 aufzeichne und versuche ein Rechteck mit c=1, d=13 reinzupacken, geht das schon. Ich bekomme aber mit den zwei verschiedene zulässige Werte für [mm] \alpha [/mm] raus, von denen der eine rein vom hinsehen her stimmt, der andere aber nicht. Mir ist aber nicht klar wieso.
schonmal vielen lieben Dank fürs Helfen!
Liebe Grüße,
Chrissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Fr 13.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo.
ich mal wieder!> Hallo,
> [mm]d\cos\alpha +c\sin\alpha\leq[/mm] a
> [mm]c\cos\alpha +d\sin\alpha\leq[/mm] b
>
> Dann muss eine ja als Gleichung gelten, da die zwei
> gegenüberliegenden Ecken beide auf den Seiten liegen.
> Also:
Wenn du nicht darauf festgelegt bist, dass a immer die größere Seite ist.
snst sind die Gleichungen ja in a,b,c,d, symetrisch
> [mm]d\cos\alpha +c\sin\alpha=a[/mm]
> Wenn ich nun für [mm]\sin\alpha[/mm] = [mm]\wurzel{1-\cos^2\alpha}[/mm] setze
> erhalte ich eine quadratische Gleichung für [mm]\cos\alpha.[/mm]
> Bei mir kommt dann raus
> [mm]\cos\alpha_1=\bruch{ad+c\wurzel{c^2+d^2-a^2}}{c^2+d^2}[/mm]
> [mm]\cos\alpha_2=\bruch{ad-c\wurzel{c^2+d^2-a^2}}{c^2+d^2}[/mm]
>
> Jetzt kann ich das in die Ungleichung einsetzen und wenn es
> [mm]\leq[/mm] b ist, passt mein Rechteck.
> Stimmt das so weit?
ja
>
> Jetzt, warum ich denke, dass da noch irgendein Fehler drin
> ist:
> Wenn ich z.B. ein Rechteck der Größe a=12, b=8 aufzeichne
> und versuche ein Rechteck mit c=1, d=13 reinzupacken, geht
> das schon. Ich bekomme aber mit den zwei verschiedene
> zulässige Werte für [mm]\alpha[/mm] raus, von denen der eine rein
> vom hinsehen her stimmt, der andere aber nicht. Mir ist
> aber nicht klar wieso.
ich hab keine Lust, das mit den Formeln auszurechnen, aber wenn du aus einer Wurzelgl. eine Quadratische machst "gewinnst" du immer ne falsche Lösung dazu. (wo die Wurzel neg wäre)
x-1=2 daraus [mm] (x-1)^{2}=4 [/mm] daraus x1=3, x2=-1 sind das jetzt die Lösungen der 1. Gleichung?
Also musst du deine errechneten Werte noch in die Ursprungsgl. einsetzen, welcher gilt!
oderquäl dich durch die Formeln durch!
Liebe Grüße,
Traudel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Di 17.05.2005 | | Autor: | Chrissi1 |
Hallo Traudl,
ja, auf das mit den zwei Gleichungen hätte ich ja auch kommen können, d.h. wenn ich die Richtige Lösung nehme und einsetze, dann müsste ich eigentlich auf meine Bedingungen kommen oder ?
Nochmals liebsten Dank an Dich!
Liebe Grüße,
Chrissi
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