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| Aufgabe | Durch die Punkte P(3,5,-2), Q(1,2,-1) und R(i,3,-3) wird das Dreieck PQR beschrieben.
a) Ermitteln Sie, für welche Werte i das Dreieck PQR am Punkt R rechtwinklig ist.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks PQR wenn i=2.
c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die durch den Punkt R (mit i=2) geht und durch den Mittelpunkt der Seite PQ verläuft. |
Hallo,
zu a) und b) möchte ich erst mal nur gern wissen ob die Lösungen und Gedankengänge stimmen. :)
a)
[mm] \overrightarrow{RP} \* \overrightarrow{RQ}=0
[/mm]
[mm] \vektor{i \\ 3 \\ -3} \vektor{3 \\ 5 \\ -2} \* \vektor{i \\ 3 \\ -3} \vektor{1 \\ 2 \\ -1}=0
[/mm]
[mm] (3i+15+6)\*(i+6+3)=0
[/mm]
Ausmultipliziert:
3i²+48i+189=0 |:3
i²+16i+63=0
i1=-7 und i2=-9
b)
P(3,5,-2) Q(1,2,-1) R(2,3,-3)
[mm] \overrightarrow{PQ}= \vektor{3 \\ 5 \\ -2} \vektor{1 \\ 2 \\ -1}= \vektor{3 \\ 10 \\ 2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PR}= \vektor{3 \\ 5 \\ -2} \vektor{2 \\ 3 \\ -3}= \vektor{6 \\ 15 \\ 6}
[/mm]
cos [mm] \alpha= \bruch{ \overrightarrow{PR} \* \overrightarrow{PQ}}{ \vmat{ \overrightarrow{PR} } \* \vmat{ \overrightarrow{PQ} }}
[/mm]
[mm] \alpha=10,72°
[/mm]
A= [mm] \bruch{1}{2} \* \vmat{ \overrightarrow{PR} } \* \vmat{ \overrightarrow{PQ} } \* [/mm] sin [mm] \alpha
[/mm]
A=17,04 FE
So, meine Lösungsvorschläge für a) und b). :) Stimmen diese?
... und nun meine Frage: Wie mache Aufgabe Nummer c)? In meinem Tafelwerk steht nur eine Formel für den Mittelpunkt für Geraden, nicht für Ebenen. :(
Könnt ihr mir Tipps geben?
Liebe Grüße und vielen Dank im Voraus,
Biene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Janyary |
hallo biene,
> Durch die Punkte P(3,5,-2), Q(1,2,-1) und R(i,3,-3) wird
> das Dreieck PQR beschrieben.
> c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die durch den
> Punkt R (mit i=2) geht und durch den Mittelpunkt der Seite
> PQ verläuft.
> ... und nun meine Frage: Wie mache Aufgabe Nummer c)? In
> meinem Tafelwerk steht nur eine Formel für den Mittelpunkt
> für Geraden, nicht für Ebenen. :(
hallo biene, du sollst doch eine geradengleichung aufstellen, das hat an sich nix mit ebenen zu tun.
ich wuerde also erstmal den mittelpunkt der geraden PQ berechnen.
und dann hast du doch zwei punkte fuer deine geradengleichung gegeben, naemlich den gerade errechneten mittelpunkt und R. damit kannt du dann den richtungsvektor berechnen und die parametergleichung aufstellen.
hoffe das hat dir erstmal geholfen.
LG Jany :)
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Oh, ich hab mich anscheinend falsch ausgedrückt. ;) Ich habe das Problem, dass ich nicht weiß wie man den Mittelpunkt ausrechnet. Im Tafelwerk steht eine Gleichung, diese ist jedoch nur für Punkte ohne z-Koordinate gedacht. Also muss es ja eine andere Lösung geben... nur welche ist mir ein Rätzel. *gg*
Vielleicht kannst du mir da einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Biene!
Bei der Aufgabe a.) hast Du Dich etwas vertan. Der Vektor [mm] $\overrightarrow{RP}$ [/mm] wird ermittelt durch:
[mm] $\overrightarrow{RP} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{3\\5\\-2} [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \vektor{i\\3\\-3} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{3-i\\2\\1}$
[/mm]
Der Vektor [mm] $\overrightarrow{RQ}$ [/mm] dann analog. Der Ansatz mit dem Skalarprodukt gleich Null ist richtig.
Gruß
Loddar
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Hallo,
okay danke für den Hinweis. Ich habe jetzt folgende Lösung rausbekommen:
[mm] \overrightarrow{RP}= \vektor{3-i \\ 2 \\ 1} [/mm] und [mm] \overrightarrow{RQ}= \vektor{1-i \\ -1 \\ 2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{RP} \* \overrightarrow{RQ} [/mm] = [mm] \vektor{3-i \\ 2 \\ 1} \* \vektor{1-i \\ -1 \\ 2} [/mm] = i²-4i+3
i1=3 und i2=1
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 So 21.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich habs jetzt im Kopf nachgerechnet (also ohne Gewähr^^)
es sieht alles richtig aus - beim Skalarprodukt heben sich ja die beiden letzten Summanden weg, deshalb hätte man das quadratische Polynom nicht so ausmultiplizieren müssen, denn an (3-i)*(1-i) sieht man beide Nullstellen sofort.
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Sa 20.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
die Vektoren [mm] $\overrightarrow{PQ}$ [/mm] und $ [mm] \overrightarrow{PR}$ [/mm] sehen falsch berechnet aus - siehe Loddar's Antwort hierfür.
Allerdings sieht der Rest recht vernünftig aus !
Man kann es auch als einfache Formel ausdrücken:
[mm] $A=\bruch{1}{2}*\left| \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR} \right|$
[/mm]
also zuerste das Kreuzprodukt berechnen, von diesem Vektor dann die Länge - dies ergibt den Flächeninhalt des Parallelogramms, das aufgespannt wird und deshalb noch durch 2 teilen.
Aber deine Endformel stimmt auch, vergleiche ruhig mit ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia(Kreuzprodukt)
viele Grüße
DaMenge
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Vielen Dank für den Tipp, jedoch finde ich die Art und Weise wie ich sie gewählt habe verständlicher für mich. ;) Mir liegt leider Vektorrechnung nicht wirklich, ich hoffe das ändert sich noch vor den Prüfungen im Sommer. *g*
Okay, ich habe die Vektoren korrigiert und hier meine Lösung. Ich hoffe diesmal ist sie richtig. :)
[mm] \overrightarrow{PQ}= \vektor{-2 \\ -3 \\ 1} [/mm] und [mm] \overrightarrow{PR}= \vektor{-1 \\ -2 \\ -1} [/mm]
cos [mm] \alpha= \bruch{ \overrightarrow{PR} \* \overrightarrow{PQ}}{ \vmat{ \overrightarrow{PR} } \* \vmat{ \overrightarrow{PQ} }}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = 40,20°
A= [mm] \bruch{1}{2} \* \vmat{ \overrightarrow{PR} } \* \vmat{ \overrightarrow{PQ} } \* [/mm] sin [mm] \alpha
[/mm]
A=2,95 FE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Sa 20.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo biene
Das mit dem Kreuzprodukt solltest du trotzdem auch mit den Koordinaten lernen!
Aber so scheint alles richtig.
zu a) die Mitte zwischen P und Q ist einfach 1/2*(P+Q) .
Gruss leduart
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Okay vielen Dank.
Hier noch mal meine Lösung für c):
R(2,3,-3) P(3,5,-2) Q(1,2,-1)
M= [mm] \bruch{1}{2}\*(P+Q)= \bruch{1}{2}\* \vektor{3 \\ 5 \\ -2}+ \vektor{1 \\ 2 \\ -1}=\bruch{1}{2}\* \vektor{4 \\ 7 \\ -3}= \vektor{2 \\ 3,5 \\ -1,5}
[/mm]
[mm] \vec{x}= \vektor{2 \\ 3 \\ -3}+t \vektor{0 \\ 0,5 \\ 1,5}
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 So 21.05.2006 | | Autor: | Janyary |
hi biene :)
ja das schaut richtig aus. wuensch dir noch nen schoenen tag.
LG Jany :)
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