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| Aufgabe | Entwickeln Sie in eine Fourierreihe:
a) symmetrisch
[mm] f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [0, \bruch{\pi}{2} )\\ -1, & \mbox{für } x \in [\bruch{\pi}{2}, \bruch{3 \pi }{2} )\\ 1, &\mbox{für } x \in [\bruch{3 \pi}{2}, 2 \pi ) \end{cases} [/mm] |
Da die Funktion symmetrisch ist: [mm] b_k [/mm] = 0
[mm] a_0 [/mm] = 0
[mm] a_k=\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2 \pi}{f(x)*\cos{kx} dx}=\bruch{1}{\pi} (\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cos{kx} dx} -\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{3 \pi}{2}}{\cos{kx} dx}+\integral_{\bruch{3 \pi}{2}}^{2 \pi}{\cos{kx} dx})
[/mm]
Nun habe ich versuch das erste Integral auszuwerten:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cos{kx} dx}=\bruch{1}{k}*\sin{kx} |_{0}^{\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
Für gerade k ist dies Null.
Aber für ungerade k wechselt der Wert zw. 1 und -1... Wie gehe ich damit um?
Danke für eure Hilfe.
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Hi,
> Entwickeln Sie in eine Fourierreihe:
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> a) symmetrisch
> [mm]f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [0, \bruch{\pi}{2} )\\ -1, & \mbox{für } x \in [\bruch{\pi}{2}, \bruch{3 \pi }{2} )\\ 1, &\mbox{für } x \in [\bruch{3 \pi}{2}, 2 \pi ) \end{cases}[/mm]
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> Da die Funktion symmetrisch ist: [mm]b_k[/mm] = 0
>
> [mm]a_0[/mm] = 0
>
> [mm]a_k=\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2 \pi}{f(x)*\cos{kx} dx}=\bruch{1}{\pi} (\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cos{kx} dx} -\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{3 \pi}{2}}{\cos{kx} dx}+\integral_{\bruch{3 \pi}{2}}^{2 \pi}{\cos{kx} dx})[/mm]
>
> Nun habe ich versuch das erste Integral auszuwerten:
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cos{kx} dx}=\bruch{1}{k}*\sin{kx} |_{0}^{\bruch{\pi}{2}}[/mm]
Mit periodischer Fortsetzung von f wirds (im Hinblick auf das spätere Zusammenfassen) einfacher, wenn du von [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] 3\pi/2 [/mm] integrierst
[mm] a_k=\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi/2}^{3 \pi/2}{f(x)*\cos{kx} dx}=\frac{1}{\pi}\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\cos{kx} dx}+\frac{1}{\pi}\integral_{\pi/2}^{3\pi/2}{-\cos{kx} dx}
[/mm]
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> Für gerade k ist dies Null.
> Aber für ungerade k wechselt der Wert zw. 1 und -1... Wie
> gehe ich damit um?
Wenn sowas auftritt, schreibe sowas in der Art wie [mm] (-1)^{k} [/mm] in den Fourierkoeffizienten.
LF
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Aber wenn k nur ungerade ist, nützt es ja auch nichts [mm] (-1)^k [/mm] zu schreiben, da dies für ungerade k ja immer -1 ist...
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> Aber wenn k nur ungerade ist, nützt es ja auch nichts
> [mm](-1)^k[/mm] zu schreiben, da dies für ungerade k ja immer -1 ist...
Sehr gut erkannt. Ich schrieb "so etwas in der Art" um dir den Hinweis zu geben, dir selbst noch einmal Gedanken zu machen.
Nun poste bitte nicht wieder so schnell, lies den kompletten Artikel und hole das nach.
LG
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Warum darf man da einfach den Integrationsbereich "verschieben"?
In der Vorlesung haben wir das so noch nie gemacht...
Und natürlich habe ich mir bzgl. der Darstellung von [mm] sin(\bruch{\pi}{2}*k) [/mm] auch schon vor Erstellen dieser Diskussion Gedanken gemacht, und nicht nur in der Zeitdifferenz zwischen deiner Antwort und meiner Reaktion...
Wie gesagt für gerade k, wirds ja null, und für ungerade wechselt es zwischen 1 und -1. Da aber k immer ungerade ist funktionieren herkömmliche "Tricks" wie [mm] (-1)^{2k+1}, [/mm] o.ä. nicht...
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> Warum darf man da einfach den Integrationsbereich
> "verschieben"?
> In der Vorlesung haben wir das so noch nie gemacht...
Wenn die Funktion [mm] 2\pi- [/mm] periodisch ist, ändert sich dann das Integral nicht.
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> Wie gesagt für gerade k, wirds ja null, und für ungerade
> wechselt es zwischen 1 und -1. Da aber k immer ungerade ist
> funktionieren herkömmliche "Tricks" wie [mm](-1)^{2k+1},[/mm] o.ä. nicht...
Man kann es schon aufschreiben, z. B.
$ [mm] \frac{1}{\pi}\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\cos{kx} dx}=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cos{kx} dx}=\bruch{1}{k}\cdot{}\sin{kx} |_{-\pi/2}^{\pi/2}=\begin{cases}0, & k \text{ gerade} \\ 2(-1)^{(k-1)/2}, & k \text{ ungerade}\end{cases}$
[/mm]
LG
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