Rechtsseitige Diff'barkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 So 01.01.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es seien $a, [mm] b\in\mathbb{R}$ [/mm] mit $a<b$. Die Funktion [mm] $f\colon \left[a, b\right] \to \mathbb{R}$ [/mm] sei stetig und auf [mm] $\left(a, b\right)$ [/mm] differenzierbar und es existiere [mm] $\textstyle \lim_{x\downarrow a} [/mm] f'(x)=: [mm] \ell$. [/mm] Dann ist $f$ in $a$ rechtsseitig differenzierbar mit [mm] $f_{+}'(a)=\ell$. [/mm]
Hinweis: Betrachten Sie Folgen [mm] $(x_n)$ [/mm] in [mm] $\left(a, b\right)$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infinity} x_n=a$ [/mm] und verwenden Sie den 1. Mittelwertsatz. |
Hallo,
ich wollte euch mal fragen, ob meine Lösung so in Ordnung ist, oder, was wahrscheinlicher ist, ob ihr mir einen Tipp geben könnt, wie die Aufgabe richtig zu lösen ist, weil meine Lösung falsch ist. Meine Lösung bisher:
Es gilt [mm] $f_+'(a):=\lim_{x\downarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. [/mm] (Also wenn $a$ nicht der rechte Randpunkt ist, oder so, glaube ich.)
Sei [mm] $(x_n)$ [/mm] eine beliebige Folge in [mm] $\left(a, b\right)$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] a$ für [mm] $n\to\infty$. [/mm] Dann gilt: [mm] $\lim_{x\downarrow a}f'(x)=\lim_{n\to\infty}f'(x_n)=:\ell$. [/mm]
Nun gilt auch, da $f$ auf [mm] $\left(a, b\right)$ [/mm] differenzierbar ist, dass $f$ auch auf [mm] $\left[a, x_n\right]$ [/mm] stetig, und auf [mm] $\left(a, x_n\right)$ [/mm] differenzierbar ist. Nach dem ersten MWS gilt nun:
[mm] $\exists \xi\in\left(a, x_n\right): f_+'(\xi)=\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}$. [/mm] (Kann ich das so auf die rechtsseitige Ableitung übertragen?)
Für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gilt nun:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left(f_+'(\xi)=\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}\right)=\lim_{x\downarrow a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)=f_+'(a)=\ell$. [/mm]
Da nun [mm] $\xi\in\left(a, x_n\right)$ [/mm] und [mm] $x_n\to [/mm] a$ für [mm] $n\to\infty$, [/mm] gilt [mm] $\lim_{n\to\infty}\xi=a$. [/mm]
Das ist jetzt zwar höchstwahrscheinlich formal eine Katastrophe (vor allem der letzte Satz), aber stimmt zumindest die Grundidee, bzw. kann man das Ganze noch retten?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 So 01.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien [mm]a, b\in\mathbb{R}[/mm] mit [mm]a
> sei stetig und auf [mm]\left(a, b\right)[/mm] differenzierbar und es
> existiere [mm]\textstyle \lim_{x\downarrow a} f'(x)=: \ell[/mm].
> Dann ist [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] rechtsseitig differenzierbar mit
> [mm]f_{+}'(a)=\ell[/mm].
> Hinweis: Betrachten Sie Folgen [mm](x_n)[/mm] in [mm]\left(a, b\right)[/mm]
> mit [mm]\lim_{n\to\infinity} x_n=a[/mm] und verwenden Sie den 1.
> Mittelwertsatz.
>
>
> Hallo,
>
> ich wollte euch mal fragen, ob meine Lösung so in Ordnung
> ist, oder, was wahrscheinlicher ist, ob ihr mir einen Tipp
> geben könnt, wie die Aufgabe richtig zu lösen ist, weil
> meine Lösung falsch ist. Meine Lösung bisher:
>
> Es gilt [mm]f_+'(a):=\lim_{x\downarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/mm].
> (Also wenn [mm]a[/mm] nicht der rechte Randpunkt ist, oder so,
> glaube ich.)
>
> Sei [mm](x_n)[/mm] eine beliebige Folge in [mm]\left(a, b\right)[/mm] mit [mm]x_n \to a[/mm]
> für [mm]n\to\infty[/mm]. Dann gilt: [mm]\lim_{x\downarrow a}f'(x)=\lim_{n\to\infty}f'(x_n)=:\ell[/mm].
>
> Nun gilt auch, da [mm]f[/mm] auf [mm]\left(a, b\right)[/mm] differenzierbar
> ist, dass [mm]f[/mm] auch auf [mm]\left[a, x_n\right][/mm] stetig
die Stetigkeit an der Stelle [mm] $a\,$ [/mm] folgt so nicht, sondern sie war auch gegeben [mm] ($f\,$ [/mm] war stetig als Abbildung $[a,b] [mm] \to \IR\,,$ [/mm] dann ist [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $a\,$ [/mm] insbesondere stetig (was hier das gleiche ist wie rechtsstetig an [mm] $a\,,$ [/mm] weil [mm] $f\,$ [/mm] "links von [mm] $a\,$ [/mm] nirgends definiert ist")). Also die Stetigkeit auf (jedem Intervall) [mm] $(a,x_n]$ [/mm] folgt so, wie Du es sagst (man beachte, dass [mm] $f\,$ [/mm] an jeder Stelle [mm] $x_n \in [/mm] (a,b)$ (rechts- und linksseitig) differenzierbar ist). Und weil die (rechtsseitige) Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $a\,$ [/mm] mitvorausgesetzt wurde, hast Du in der Tat die Stetigkeit auf [mm] $[a,x_n]\,.$ [/mm]
> , und auf
> [mm]\left(a, x_n\right)[/mm] differenzierbar ist. Nach dem ersten
> MWS gilt nun:
>
> [mm]\exists \xi\in\left(a, x_n\right): f_+'(\xi)=\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}[/mm].
> (Kann ich das so auf die rechtsseitige Ableitung
> übertragen?)
Ja und nein. So, wie Du es schreibst, meint man, dass es ein FESTES [mm] $\xi$ [/mm] für jedes [mm] $n\,$ [/mm] geben würde. In Wahrheit gibt es aber für jedes [mm] $n\,$ [/mm] ein [mm] $\xi=\xi_n\,.$ [/mm] Schreibe also lieber
[mm] $$\exists \xi_n \in (a,x_n):\ldots$$
[/mm]
Weiterhin weiß ich nicht, warum Du dann nur die rechtsseitige Ableitung an [mm] $\xi_n$ [/mm] hinschreibst. Schreib' doch direkt [mm] $f'(\xi_n)=\ldots$
[/mm]
(Beachte: Alle [mm] $\xi_n$ [/mm] liegen in [mm] $(a,b)\,,$ [/mm] und damit ist [mm] $f\,$ [/mm] an allen [mm] $\xi_n$ [/mm] nach Voraussetzung insbesondere diff'bar...)
> Für [mm]n\to\infty[/mm] gilt nun:
>
> [mm]\red{\lim_{n\to\infty}\left(f_+'(\xi)=\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}\right)}=\lim_{x\downarrow a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)=f_+'(a)=\ell[/mm].
>
> Da nun [mm]\xi\in\left(a, x_n\right)[/mm] und [mm]x_n\to a[/mm] für
> [mm]n\to\infty[/mm], gilt [mm]\lim_{n\to\infty}\xi=a[/mm].
> Das ist jetzt zwar höchstwahrscheinlich formal eine
> Katastrophe (vor allem der letzte Satz), aber stimmt
> zumindest die Grundidee, bzw. kann man das Ganze noch
> retten?
Das ganze ist doch so ziemlich korrekt. Unsauber ist das rotmarkierte: Man schreibt normalerweise nicht einen Limes vor eine Gleichung, wenn der sich auf jede Seite der Gleichung beziehen sollte, sondern halt, weil es so logisch und definiert ist, vor den entsprechenden Term/die entsprechende Folge ... Siehe unten den blaumarkierten Teil...
Also, ohne das von Dir bisher geschrieben nochmal zu wiederholen, nur das wichtige nochmal sauber(er) hingeschrieben:
[mm] $$(\star)\;\;\;\forall [/mm] n [mm] \exists \xi_n \text{ mit }f'(\xi_n)=(f(x_n)-f(a))/(x_n-a)$$
[/mm]
nach dem MWS angewendet auf die Einschränkung [mm] $f_{|[a,x_n]}\,.$
[/mm]
Nach Voraussetzung folgt insbesondere
[mm] $$\ell=\lim_{n \to \infty}f'(\xi_n)\,,$$
[/mm]
wobei man $a < [mm] \xi_n [/mm] < [mm] x_n \to [/mm] a$ beachten sollte. (Das begründet nämlich, warum [mm] $\xi_n \to [/mm] a$ gilt.)
Weil [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine beliebige Folge in $(a,b)$ war mit [mm] $x_n \to a\,,$ [/mm] folgt aus [mm] $(\star)$ [/mm] somit
[mm] $$f'_{+}(a)=\blue{\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}=\lim_{n \to \infty}f'(\xi_n)}=\ell\,.$$
[/mm]
Also:
Die einzigen Sachen, die bei Dir "logisch unsauber" waren, waren, dass Du die [mm] $\xi_n$ [/mm] als "ein [mm] $\xi$ [/mm] notiert" hattest - wobei ich mir sicher bin, dass Du sie eh als von [mm] $n\,-$ [/mm] (oder meinetwegen auch von [mm] $x_n-$) [/mm] abhängig aufgefasst hast. Jedenfalls entnehme ich das der Zeile, wo Du schreibst
> [mm] $$\lim_{n\to\infty}f_+'(\xi)\,,$$
[/mm]
denn warum steht sonst unter dem Limes ein $n [mm] \to \infty$? [/mm] Ich gehe also davon aus: Du hast's gewußt, hast da aber formal ein wenig geschlampt 
Und nach wie vor Frage ich mich, warum Du da nur (in ergänzter Fassung) [mm] $f'_+(\xi_n)$ [/mm] hinschreibst. Aber das sollte damit auch genauso gehen. Im Endeffekt würde ich sagen: Das sieht doch ziemlich gut aus!
Zusammenfassend: Was man höchstens bemängeln könnte:
Das [mm] $n\,$ [/mm] bei [mm] $\xi$ [/mm] ist zu ergänzen (also, wie oben bei mir geschehen, [mm] $\xi_n$ [/mm] schreiben) und erwähne zusätzlich die (rechtsseitige) Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $a\,.$ [/mm] Und dann halt der rotmarkierte Teil. Mehr sehe ich auf die Schnelle jedenfalls nicht!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 So 08.01.2012 | | Autor: | Lustique |
Danke für deine Hilfe!
Ja, das mit den [mm] $\xi_n$ [/mm] hätte ich eigentlich wissen müssen. Ich bin ja sogar tatsächlich von verschiedenen [mm] $\xi$ [/mm] ausgegangen...
> Weiterhin weiß ich nicht, warum Du dann nur die
> rechtsseitige Ableitung an [mm]\xi_n[/mm] hinschreibst. Schreib'
> doch direkt [mm]f'(\xi_n)=\ldots[/mm]
> (Beachte: Alle [mm]\xi_n[/mm] liegen in [mm](a,b)\,,[/mm] und damit ist [mm]f\,[/mm]
> an allen [mm]\xi_n[/mm] nach Voraussetzung insbesondere
> diff'bar...)
Das weiß ich ehrlich gesagt auch nicht mehr so genau. Ich glaube, ich habe gedacht, das wäre "sicherer", weil ja [mm] $\xi_n\to [/mm] a$ gelten sollte und $f$ ja in $a$ nur rechtsseitig diff'bar ist. Aber das ändert natürlich nichts daran, dass $f$ ja gerade in $(a,b)$ diff'bar ist und ja [mm] $\xi_n\in(a,b)$ [/mm] gelten sollte...
|
|
|
|
