Rechtwinkliges Dreieck < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen einen ganzzahligen Flächeninhalt hat. |
Hallo Leute,
die Aufgabe ist in meiner Übungsserie zur Vorlesung Lineare Algebra 1 dabei und ich verzweifel gerade etwas daran. Ich habe schon mehrere Ansätze ausprobiert, bin aber bisher noch auf keinen grünen Zweig gekommen.
Ich hoffe, ihr könnt mir da weiterhelfen.
VG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo schmidti91,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Zeigen Sie, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit
> ganzzahligen Seitenlängen einen ganzzahligen
> Flächeninhalt hat.
> Hallo Leute,
>
> die Aufgabe ist in meiner Übungsserie zur Vorlesung
> Lineare Algebra 1 dabei und ich verzweifel gerade etwas
> daran. Ich habe schon mehrere Ansätze ausprobiert, bin
> aber bisher noch auf keinen grünen Zweig gekommen.
Nimm die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck (a und b sind die am rechten Winkel anliegenden Seiten):
[mm] F=\frac{1}{2}*a*b.
[/mm]
Ist entweder a oder b gerade, so sieht man die Aussage sofort. Seien also a und b ungerade. Im rechtwinkligen Dreieck gilt [mm] a^2+b^2=c^2. [/mm] Betrachte diese Gleichung modulo 4. Was stellst du fest?
LG
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Was heißt modulo 4? Ich bin gerade in der 2. Woche meines Studiums. ;)
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Hallo schmidti,
> Was heißt modulo 4? Ich bin gerade in der 2. Woche meines
> Studiums. ;)
Ah, ok. Dann wollen wir Dir mal noch 'ne Woche Zeit lassen. 
modulo 4 (ein Begriff aus der Restklassenrechnung) heißt: bezüglich der Teilbarkeit durch 4 und der anfallenden Reste betrachtet.
Das geht hier aber auch zu Fuß.
kamaleonti betrachtet ja den Fall, dass a und b ungerade sind.
Nehmen wir das als gegeben an.
Es sei also a=2m-1 und b=2n-1 mit [mm] a,b,m,n\in\IN.
[/mm]
Dann ist [mm] c^2=(2m-1)^2+(2n-1)^2=4m^2-4m+1+4n^2-4n+1=4(m^2-m+n^2-n)+2=4k+2
[/mm]
Das sieht noch unverdächtig aus, aber leider gibt es keine ganzzahlige Lösung. Das Quadrat einer geraden Zahl s=2t ist [mm] s^2=4t^2, [/mm] und das einer ungeraden Zahl s=2t-1 ist [mm] s^2=4t^2-4t+1, [/mm] was in ganzen Zahlen beides nicht als 4k+2 darstellbar ist.
Wenn es aber kein ganzzahliges c gibt, muss die Annahme falsch sein: a und b können nicht beide ungerade sein.
Grüße
reverend
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Vielen Dank für die Antwort.
Ich hatte für a=2m+1 und b=2n+1 gesetzt und bin auf eine ähnliche Lösung gekommen. Reicht das also, zu schreiben [mm] c^{2}=4k+2? [/mm] (Muss man da noch einen Satz dazu schreiben? Ich bin noch nicht in der mathematischen Schreibweise drin und weiß nicht so wirklich, was gefordert wird. ;)) Oder muss ich, um die Aufgabe vollständig zu lösen auch die Fälle a=2m, b=2n und a=2m, b=2n+1 durchgehen? Reicht da immer die Umstellung vom Satz des Pythagoras nach c? Die Flächenformel [mm] A=\bruch{1}{2}a*b [/mm] brauche ich für die Aufgabe dann gar nicht?
Und was ist z.B. mit dem rechtwinkligen Dreieck 3,4,5? Für das z.B. gilt die Aufgabenstellung ja.
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Guten Morgen,
> Ich hatte für a=2m+1 und b=2n+1 gesetzt und bin auf eine
> ähnliche Lösung gekommen. Reicht das also, zu schreiben
> [mm]c^{2}=4k+2?[/mm] (Muss man da noch einen Satz dazu schreiben?
Na, ich würde wenigstens noch schreiben: unmöglich.
Evtl. auch noch, dass alle Quadrate entweder die Form 4k oder 4k+1 haben.
> Ich bin noch nicht in der mathematischen Schreibweise drin
> und weiß nicht so wirklich, was gefordert wird. ;)) Oder
> muss ich, um die Aufgabe vollständig zu lösen auch die
> Fälle a=2m, b=2n und a=2m, b=2n+1 durchgehen?
Das hatte kamaleonti doch schon erledigt. Sobald a oder b gerade ist, ist die Behauptung ja offensichtlich erfüllt.
> Reicht da
> immer die Umstellung vom Satz des Pythagoras nach c? Die
> Flächenformel [mm]A=\bruch{1}{2}a*b[/mm] brauche ich für die
> Aufgabe dann gar nicht?
Doch, natürlich, nämlich für alle anderen Fälle, also die mit mindestens einer "geraden Kathete".
> Und was ist z.B. mit dem rechtwinkligen Dreieck 3,4,5? Für
> das z.B. gilt die Aufgabenstellung ja.
Da ist ja auch eine Kathete gerade: 4.
Grüße
reverend
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