Redukte, Isomorph < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:42 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die vier Redukte von [mm] \mathcal{N}=(\IN, [/mm] 0,1,+,x,<) die isomorph zu Redukten von [mm] \mathcal{Q}=(\IQ, [/mm] 0,1,-,+,x) sind
(- 1stellig) |
Redukt: Struktur durch Weglassen von einigen der benannten Operationssymbolen.
.) [mm] \mathcal{N} |{_\{0,1\}} [/mm] , [mm] \mathcal{Q} |{_\{0,1\}}
[/mm]
Selbe signatur, sowie H : [mm] \mathcal{N} |{_\{0,1\}} [/mm] -> [mm] \mathcal{Q} |{_\{0,1\}}
[/mm]
definiere ich durch H( [mm] 0_{\mathcal{N} |{_\{0,1\}}} [/mm] ) [mm] =0_{\mathcal{Q} |{_\{0,1\}}} [/mm] und H( [mm] 1_{\mathcal{N} |{_\{0,1\}}} [/mm] ) [mm] =1_{\mathcal{Q} |{_\{0,1\}}} [/mm]
.) [mm] \mathcal{N} |{_\{0,1, + ,x\}} [/mm] , [mm] \mathcal{Q} |{_\{0,1\},+,x}
[/mm]
Selbe signatur, sowie H : [mm] \mathcal{N} |{_\{0,1,+,x\}} [/mm] -> [mm] \mathcal{Q} |{_\{0,1,+,x\}}
[/mm]
[mm] \forall (a_1 [/mm] , [mm] a_2 [/mm] ) [mm] \in \IN^2 [/mm] : [mm] H(+_{\mathcal{N} |{_\{0,1, + ,x\}} } [/mm] = [mm] +_{\mathcal{Q} |{_\{0,1,+,x\}}} (H(a_1), H(a_2))
[/mm]
[mm] \forall (a_1 [/mm] , [mm] a_2 [/mm] ) [mm] \in \IN^2 [/mm] : [mm] H(x_{\mathcal{N} |{_\{0,1, + ,x\}} } [/mm] = [mm] x_{\mathcal{Q} |{_\{0,1,+,x\}}} (H(a_1), H(a_2))
[/mm]
mit [mm] \forall a_i \in \IN [/mm] : [mm] H(a_i)=a_i
[/mm]
(Inklusionsabbildung)
und noch jeweils nur mit 0,1,+ bzw. mit 0,1,x mit gleicher Begründung.
Passt das so?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Do 25.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lu-,
> .) [mm]\mathcal{N} |{_\{0,1\}}[/mm] , [mm]\mathcal{Q} |{_\{0,1\}}[/mm]
> Selbe
> signatur,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
sowie H : [mm]\mathcal{N} |{_\{0,1\}}[/mm] -> [mm]\mathcal{Q} |{_\{0,1\}}[/mm]
>
> definiere ich durch H( [mm]0_{\mathcal{N} |{_\{0,1\}}}[/mm] )
> [mm]=0_{\mathcal{Q} |{_\{0,1\}}}[/mm] und H( [mm]1_{\mathcal{N} |{_\{0,1\}}}[/mm]
> ) [mm]=1_{\mathcal{Q} |{_\{0,1\}}}[/mm]
$H$ soll ein Isomorphismus [mm] $H\colon(\IN,0,1)\to(\IQ,0,1)$ [/mm] werden, muss also insbesondere eine Abbildung [mm] $\IN\to\IQ$ [/mm] sein.
> .) [mm]\mathcal{N} |{_\{0,1, + ,x\}}[/mm] , [mm]\mathcal{Q} |{_\{0,1\},+,x}[/mm]
>
> Selbe signatur, sowie H : [mm]\mathcal{N} |{_\{0,1,+,x\}}[/mm] ->
> [mm]\mathcal{Q} |{_\{0,1,+,x\}}[/mm]
> [mm]\forall (a_1[/mm] , [mm]a_2[/mm] ) [mm]\in \IN^2[/mm]
> : [mm]H(+_{\mathcal{N} |{_\{0,1, + ,x\}} }[/mm] = [mm]+_{\mathcal{Q} |{_\{0,1,+,x\}}} (H(a_1), H(a_2))[/mm]
>
> [mm]\forall (a_1[/mm] , [mm]a_2[/mm] ) [mm]\in \IN^2[/mm] : [mm]H(x_{\mathcal{N} |{_\{0,1, + ,x\}} }[/mm]
> = [mm]x_{\mathcal{Q} |{_\{0,1,+,x\}}} (H(a_1), H(a_2))[/mm]
> mit
> [mm]\forall a_i \in \IN[/mm] : [mm]H(a_i)=a_i[/mm]
> (Inklusionsabbildung)
Dieses $H$ ist nicht surjektiv, also kein Isomorphismus!
> und noch jeweils nur mit 0,1,+ bzw. mit 0,1,x mit gleicher
> Begründung.
Nein.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Do 25.04.2013 | | Autor: | Lu- |
Verstehe, danke
LG
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