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Forum "Logik" - Redukte, Isomorph
Redukte, Isomorph < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Redukte, Isomorph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:42 Mi 24.04.2013
Autor: Lu-

Aufgabe
Bestimmen Sie die vier Redukte von [mm] \mathcal{N}=(\IN, [/mm] 0,1,+,x,<) die isomorph zu Redukten von [mm] \mathcal{Q}=(\IQ, [/mm] 0,1,-,+,x) sind
(- 1stellig)

Redukt: Struktur durch Weglassen von einigen der benannten Operationssymbolen.

.) [mm] \mathcal{N} |{_\{0,1\}} [/mm] , [mm] \mathcal{Q} |{_\{0,1\}} [/mm]
Selbe signatur, sowie H : [mm] \mathcal{N} |{_\{0,1\}} [/mm]  -> [mm] \mathcal{Q} |{_\{0,1\}} [/mm]
definiere ich durch  H( [mm] 0_{\mathcal{N} |{_\{0,1\}}} [/mm] ) [mm] =0_{\mathcal{Q} |{_\{0,1\}}} [/mm]  und H( [mm] 1_{\mathcal{N} |{_\{0,1\}}} [/mm] ) [mm] =1_{\mathcal{Q} |{_\{0,1\}}} [/mm]

.) [mm] \mathcal{N} |{_\{0,1, + ,x\}} [/mm] , [mm] \mathcal{Q} |{_\{0,1\},+,x} [/mm]
Selbe signatur, sowie H : [mm] \mathcal{N} |{_\{0,1,+,x\}} [/mm]  -> [mm] \mathcal{Q} |{_\{0,1,+,x\}} [/mm]
[mm] \forall (a_1 [/mm] , [mm] a_2 [/mm] ) [mm] \in \IN^2 [/mm] : [mm] H(+_{\mathcal{N} |{_\{0,1, + ,x\}} } [/mm]  = [mm] +_{\mathcal{Q} |{_\{0,1,+,x\}}} (H(a_1), H(a_2)) [/mm]
[mm] \forall (a_1 [/mm] , [mm] a_2 [/mm] ) [mm] \in \IN^2 [/mm] : [mm] H(x_{\mathcal{N} |{_\{0,1, + ,x\}} } [/mm]  = [mm] x_{\mathcal{Q} |{_\{0,1,+,x\}}} (H(a_1), H(a_2)) [/mm]
mit [mm] \forall a_i \in \IN [/mm] : [mm] H(a_i)=a_i [/mm]
(Inklusionsabbildung)

und noch jeweils nur mit 0,1,+ bzw. mit 0,1,x mit gleicher Begründung.

Passt das so?
LG

        
Bezug
Redukte, Isomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Do 25.04.2013
Autor: tobit09

Hallo Lu-,


> .) [mm]\mathcal{N} |{_\{0,1\}}[/mm] , [mm]\mathcal{Q} |{_\{0,1\}}[/mm]
>  Selbe
> signatur,

[ok]

sowie H : [mm]\mathcal{N} |{_\{0,1\}}[/mm]  -> [mm]\mathcal{Q} |{_\{0,1\}}[/mm]

>  
> definiere ich durch  H( [mm]0_{\mathcal{N} |{_\{0,1\}}}[/mm] )
> [mm]=0_{\mathcal{Q} |{_\{0,1\}}}[/mm]  und H( [mm]1_{\mathcal{N} |{_\{0,1\}}}[/mm]
> ) [mm]=1_{\mathcal{Q} |{_\{0,1\}}}[/mm]

$H$ soll ein Isomorphismus [mm] $H\colon(\IN,0,1)\to(\IQ,0,1)$ [/mm] werden, muss also insbesondere eine Abbildung [mm] $\IN\to\IQ$ [/mm] sein.


> .) [mm]\mathcal{N} |{_\{0,1, + ,x\}}[/mm] , [mm]\mathcal{Q} |{_\{0,1\},+,x}[/mm]
>  
> Selbe signatur, sowie H : [mm]\mathcal{N} |{_\{0,1,+,x\}}[/mm]  ->
> [mm]\mathcal{Q} |{_\{0,1,+,x\}}[/mm]
>  [mm]\forall (a_1[/mm] , [mm]a_2[/mm] ) [mm]\in \IN^2[/mm]
> : [mm]H(+_{\mathcal{N} |{_\{0,1, + ,x\}} }[/mm]  = [mm]+_{\mathcal{Q} |{_\{0,1,+,x\}}} (H(a_1), H(a_2))[/mm]
>  
> [mm]\forall (a_1[/mm] , [mm]a_2[/mm] ) [mm]\in \IN^2[/mm] : [mm]H(x_{\mathcal{N} |{_\{0,1, + ,x\}} }[/mm]
>  = [mm]x_{\mathcal{Q} |{_\{0,1,+,x\}}} (H(a_1), H(a_2))[/mm]
>  mit
> [mm]\forall a_i \in \IN[/mm] : [mm]H(a_i)=a_i[/mm]
>  (Inklusionsabbildung)

Dieses $H$ ist nicht surjektiv, also kein Isomorphismus!

> und noch jeweils nur mit 0,1,+ bzw. mit 0,1,x mit gleicher
> Begründung.

Nein.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Redukte, Isomorph: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Do 25.04.2013
Autor: Lu-

Verstehe, danke

LG

Bezug
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