Reduktionsmethode < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:09 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Richie1401 |
| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung [mm] (2x-3x^3)y''+4y'+6xy=0.
[/mm]
(Hinweis: Suche zunächst eine Lösung der Gestalt [mm] y(x)=x^p [/mm] mit geeignetem [mm] p\in\IR [/mm] und wende dann die Reduktionsmethode an.) |
Einen wunderschönen Tag wünsche ich!
Ich sitze an der obigen Aufgabe und versuche schon lange ein geeignetes p zu finden, sodass [mm] y_1(x) [/mm] die DGL löst.
Ich habe bereits [mm] \pm1/2, \pm1, \pm2, \pm3 [/mm] versucht, doch nichts klappte.
Beispiel für [mm] y_1(x)=x^1
[/mm]
[mm] y_1'(x)=1
[/mm]
[mm] y_1''(x)=0
[/mm]
[mm] (2x-3x^3)*0+4*1+6x*x\not=0
[/mm]
Habe ich einfach etwas falsch gemacht, oder einen Denkfehler?
Danke für Eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Sa 26.05.2012 | | Autor: | MathePower |
Hallo Richie1401,
> Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
> [mm](2x-3x^3)y''+4y'+6xy=0.[/mm]
> (Hinweis: Suche zunächst eine Lösung der Gestalt
> [mm]y(x)=x^p[/mm] mit geeignetem [mm]p\in\IR[/mm] und wende dann die
> Reduktionsmethode an.)
> Einen wunderschönen Tag wünsche ich!
>
> Ich sitze an der obigen Aufgabe und versuche schon lange
> ein geeignetes p zu finden, sodass [mm]y_1(x)[/mm] die DGL löst.
> Ich habe bereits [mm]\pm1/2, \pm1, \pm2, \pm3[/mm] versucht, doch
> nichts klappte.
>
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> Beispiel für [mm]y_1(x)=x^1[/mm]
> [mm]y_1'(x)=1[/mm]
> [mm]y_1''(x)=0[/mm]
>
> [mm](2x-3x^3)*0+4*1+6x*x\not=0[/mm]
>
> Habe ich einfach etwas falsch gemacht, oder einen
> Denkfehler?
>
> Danke für Eure Hilfe!
Gruss
MathePower
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Ok, Gerne. Ich habe extra für p=1 einfach mal das Beispiel angeführt. Dann hier noch einmal die anderen.
p=1/2
[mm] y=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] y''=-\bruch{1}\{4\wurzel{x^3}}
[/mm]
[mm] -\bruch{2x-3x^3}{4\wurzel{x^3}}+\bruch{4}{2\wurzel{x}}+6x\wurzel{x}\not=0
[/mm]
p=2
[mm] y=x^2
[/mm]
y'=2x
y''=2
[mm] 4x-6x^3+4*2x+6x^3=12x\not=0
[/mm]
p=-2
[mm] y=x^{-2}
[/mm]
[mm] y'=-2x^{-3}
[/mm]
[mm] y''=6x^{-4}
[/mm]
[mm] \bruch{12x-18x^3}{x^4}-\bruch{8}{x^3}+\bruch{6}{x}=\bruch{4-12x^2}{x^3}\not=0
[/mm]
...
Je größer jetzt auch die Potenzen werden, umso schlimmer wird das Verhalten. :(
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Hallo Richie1401,
> Ok, Gerne. Ich habe extra für p=1 einfach mal das Beispiel
> angeführt. Dann hier noch einmal die anderen.
>
> p=1/2
>
> [mm]y=\wurzel{x}[/mm]
> [mm]y'=\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm]
> [mm]y''=-\bruch{1}\{4\wurzel{x^3}}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{2x-3x^3}{4\wurzel{x^3}}+\bruch{4}{2\wurzel{x}}+6x\wurzel{x}\not=0[/mm]
>
> p=2
>
> [mm]y=x^2[/mm]
> y'=2x
> y''=2
>
> [mm]4x-6x^3+4*2x+6x^3=12x\not=0[/mm]
>
> p=-2
>
> [mm]y=x^{-2}[/mm]
> [mm]y'=-2x^{-3}[/mm]
> [mm]y''=6x^{-4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{12x-18x^3}{x^4}-\bruch{8}{x^3}+\bruch{6}{x}=\bruch{4-12x^2}{x^3}\not=0[/mm]
>
> ...
>
> Je größer jetzt auch die Potenzen werden, umso schlimmer
> wird das Verhalten. :(
Mache doch wirklich den Ansatz mit unbekanntem p.
Führe dann einen Vergleich der x-Potenzen durch.
Dann kommst Du auf p.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Oh mein Gott...
Ich hatte wie ein schwimmriges Band vor meinen Augen.
p=-1 löst die DGL und somit kann ich nun weiterarbeiten. Unglaublich wie verklemmt ich hier war und wie viel Zeit ich investiert habe.
Vielen Dank für deine forschen Worte.
Ich wünsche ein schönes Wochenende.
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