Reelle Lösung von Gleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mi 18.06.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Gleichung [mm] z^3+z+xy=1 [/mm] hat für jedes (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] genau eine reelle Lösung z=g(x,y). Zeigen Sie weiter, dass g auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] differenzierbar ist und untersuchen Sie g auf Extrema. Berechnen Sie g'(1,1). |
hallo,
also ich hatte eine ähnliche aufgabe in einer übung, da war es aber nur nach y auflösen, und jetzt hab ich ja x und y und irgendiwe komm ich damit nicht klar.
ich hab mir erst einmal überlegt dass ich die Gleichung :
[mm] z^3+z+xy=1 [/mm] umschreibe nach:
[mm] xy=1-z^3-z [/mm]
dann hätt ich (glaub ich):
[mm] g:\IR^2 \to \IR
[/mm]
[mm] (x,y)\mapsto [/mm] xy
und dann weiß ich noch wenn xy bijektiv ist, dann gibt es ein (x,y), d.h. ich muss zeigen dass es surjektiv und injektiv ist.
aber irgendwie komm ich damit nicht klar, da ich hier x und y habe. und das brauch ich ja erst einmal bevor ich die aufgabe zuende rechnen kann.
könnte mir da einer weiter helfen?
lg
Sabrina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Do 19.06.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
ich brauche hierbei echt hilfe. ich bekomm es einfach nicht hin ihne hilfe.
kann mir denn gar keiner helfen???
lg
sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Fr 20.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Betrachte mal die Funktion
f(x)=z³+z+xy-1
Betrachte mal weiter:
[mm] \limes_{z\rightarrow\infty}f(z), [/mm] sowie
[mm] \limes_{z\rightarrow-\infty}f(z) [/mm]
Dann weise mal die strenge Monotonie der Funktion nach.
Zu guter Letzt wende mal den Mittelwertsatz an, dann solltest du die Eindeutigkeit der Lösung haben.
Hast du dann g(x,y), kannst du dann ja den zweiten Teil der Aufgabe angehen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Sa 21.06.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
also ich hab [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}f(z) [/mm] = [mm] \infty [/mm] und
[mm] \limes_{z\rightarrow -\infty}f(z) [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
strenge monotonie weiß ich nach in dem man die ableitung bildet und dann zeigt ob < oder > 0. das Problem was ich jetzt habe...welche Funktion soll ich ableiten? die komplette f(x)???
ich komm it der aufgabe so überhaupt nicht klar. bitte könnte mir das einer erklären?
lg
sabrina
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> hi,
>
> also ich hab [mm]\limes_{z\rightarrow\infty}f(z)[/mm] = [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\limes_{z\rightarrow -\infty}f(z)[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
>
> strenge monotonie weiß ich nach in dem man die ableitung
> bildet und dann zeigt ob < oder > 0. das Problem was ich
> jetzt habe...welche Funktion soll ich ableiten? die
> komplette f(x)???
>
Hallo Sabrina,
Im Beitrag von M.Rex war ein kleiner Fehler.
Er hat sicher gemeint: [mm] f(z)=z^3+z+xy-1 [/mm] und nicht f(x) [mm] =z^3+z+xy-1
[/mm]
Deine Limites stimmen. f(z) musst du nach z ableiten und siehst dann
ganz leicht, dass f'(z)>0 ist für alle z.
f ist natürlich auch stetig. Der Graph von f ist also eine streng monoton
steigende, zusammenhängende Kurve, die für alle [mm] z\in \IR [/mm] definiert ist und
die Grenzwerte
[mm]\ \limes_{z\rightarrow\infty}f(z) = \infty[/mm] und [mm]\limes_{z\rightarrow -\infty}f(z) = -\infty[/mm] besitzt.
Mach' dir dazu eine Skizze - dann wird dir alles klar !
Für die weiteren Teile der Aufgabe brauchst du die partiellen Ableitungen
von g (bzw. z) nach x und y, also [mm] g_x [/mm] und [mm] g_y.
[/mm]
Die ermittelst du am besten (es geht kaum anders!) durch impli-
zites Ableiten der Gleichung [mm] z^3+z+xy=1 [/mm] (oder wenn du willst [mm] g^3+g+xy=1),
[/mm]
einmal nach x, einmal nach y.
So, für's erste sollte dir dies weiter helfen !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Sa 21.06.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
erst einmal vielen dank für die hilfe ;)
also ich hab f'(z) = [mm] 3z^2 [/mm] + 1 und das ist für alle z [mm] \in \IR [/mm] > 0. daraus folgt dann strend monoton wachsend.
ich hab dann eine reelle lösung g(x,y) = [mm] z^3+z+x*y [/mm] = 1
so und dann hab ich einen satz aus der vorlesung über implizite funktionen...problem: versteh ich nicht ganz :(
also ich hab da:
[mm] J_g(x) [/mm] = [mm] -(\bruch{\partial f}{\partial y} \(x,g(x)))^-^1 [/mm] * [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (x,g(x))
das versteh ich ich aber nicht ganz. kann mir das einer erklären???
bin auf hilfe angewiesen soll lern ich das nie...
lg
sabrina
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> hi,
>
> erst einmal vielen dank für die hilfe ;)
>
> also ich hab f'(z) = [mm]3z^2[/mm] + 1 und das ist für alle z [mm]\in \IR[/mm]
> > 0. daraus folgt dann streng monoton wachsend.
.....dass die Funktion f auf ganz [mm] \IR [/mm] streng monoton wachsend ist
und, weil zudem f durchwegs stetig ist und die berechneten
Grenzwerte für [mm] z\to \infty [/mm] bzw. [mm] z\to -\infty [/mm] hat, kann man jetzt
schliessen, dass f genau eine Nullstelle [mm] z_0 [/mm] haben muss.
[mm] z_0 [/mm] ist natürlich von den Werten von x und y abhängig,
also kann man schreiben: [mm] z_0 [/mm] = z_(x,y)=g(x,y)
> ich hab dann eine reelle lösung g(x,y) = [mm]z^3+z+x*y[/mm] = 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
so geschrieben stimmt dies natürlich nicht !
> so und dann hab ich einen satz aus der vorlesung über
> implizite funktionen...problem: versteh ich nicht ganz :(
>
> also ich hab da:
> [mm]J_g(x)[/mm] = [mm]-(\bruch{\partial f}{\partial y} \(x,g(x)))^-^1[/mm] *
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (x,g(x))
>
> das versteh ich ich aber nicht ganz. kann mir das einer
> erklären???
diese Formel verstehe ich jetzt auch nicht gerade auf den ersten Blick...
>
> lg
> sabrina
>
===============================================================
Das implizite Ableiten geht wie folgt (ich nehme die Ableitung nach x):
Die Gleichung lautet:
[mm] (g(x,y))^3+g(x,y)+x*y=1 [/mm] (statt g könnte man auch z schreiben)
Gleichung beidseitig nach x ableiten:
[mm]\bruch{\partial}{\partial{x}}[(g(x,y))^3+g(x,y)+x*y] =\bruch{\partial}{\partial{x}}(1)[/mm]
Für die Ableitung kommt im ersten Teilterm die Kettenregel (!!) zur Anwendung:
[mm] 3*(g(x,y))^2*\bruch{\partial}{\partial{x}}g(x,y)+\bruch{\partial}{\partial{x}}g(x,y)+y=0
[/mm]
Kürzer notiert: g statt g(x,y) und [mm] g_x [/mm] statt [mm] \bruch{\partial}{\partial{x}}g(x,y)
[/mm]
[mm] 3*g^2*g_x+g_x+y=0
[/mm]
oder:
[mm] (3*g^2+1)*g_x+y=0
[/mm]
So, und jetzt kann man dies leicht nach [mm] g_x [/mm] auflösen: [mm] g_x=..........
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Sa 21.06.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
danke noch mal für die hilfe.
also ich hab dann für [mm] g_x [/mm] = -y
und das gleiche hab ich dann auch für [mm] g_y [/mm] gemacht und bekomme da dann -x heraus. Damit hab ich dann doch gezeigt das g auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] differenzierbar ist oder?
wie soll ich denn jetzt g auf extremstellen untersuchen? ich würd das jetzt so machen, das ich die stationären punkte suche. das wäre doch richtig oder? das wäre ja dann in dem Fall (0,0) oder?
wie soll ich dann weiter machen? normalerweise habe ich dann die hessematrix bestimmt, geht das denn hier?
ich hab echt kein plan...
lg
sabrina
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> also ich hab dann für [mm]g_x[/mm] = -y
Leider falsch !
wir hatten doch: [mm] (3*g^2+1)*g_x+y=0
[/mm]
also wird: [mm] (3*g^2+1)*g_x=-y [/mm] und [mm] g_x=\bruch{-\ y}{3*g^2+1}
[/mm]
>
> und das gleiche hab ich dann auch für [mm]g_y[/mm] gemacht und
> bekomme da dann -x heraus.
(ebenfalls zu korrigieren)
> Damit hab ich dann doch gezeigt
> das g auf ganz [mm]\IR^2[/mm] differenzierbar ist oder?
bei den neuen Ausdrücken ist noch ein wenig Vorsicht
geboten, wegen dem Nenner. Könnte der gleich null werden ?
> wie soll ich denn jetzt g auf extremstellen untersuchen?
> ich würd das jetzt so machen, das ich die stationären
> punkte suche.
also Punkte mit [mm] g_x=0 [/mm] und [mm] g_y=0 [/mm] ? Ja !
> das wäre doch richtig oder? das wäre ja dann
> in dem Fall (0,0) oder?
>
> wie soll ich dann weiter machen? normalerweise habe ich
> dann die hessematrix bestimmt, geht das denn hier?
klar, kein Problem.
mit ihr bestimmst du ob ein Minimum oder Maximum oder
keines von beidem vorliegt
tschüss !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 So 22.06.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
also ich hab das ergebnis geändert :) noch mal vielen dank für die hilfe.
so dann hab ich [mm] g_x [/mm] und [mm] g_y [/mm] errechnet. für die Hessematrix brauch ich ja dann [mm] g_x_x, g_x_y [/mm] das ist ja gleich mit [mm] g_y_x [/mm] und dann noch [mm] g_y_y. [/mm] aber irgendwie steh ich grad auf dem schlauch wie ich die ableitung machen soll...
ich hab bei [mm] g_x [/mm] = [mm] \bruch{-y}{3*g^2+1}
[/mm]
so und g war kurz geschrieben für g(x,y)= [mm] z^3+z+x*y [/mm] oder? d.h. dafür wäre dann die ableitung nach x = [mm] \bruch{-y}{3*g^2+1}
[/mm]
und dann hätt ich für [mm] g_x_x= \bruch{-y}{3*( \bruch{-y}{3*g^2+1}^2+1} [/mm]
oder???
lg
sabrina
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:41 So 22.06.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
danke für die hilfe.
also ich hab dann die Hessematrix herausbekommen. diese ist sowohl < und > 0 daarausfolgt dass (0,0) ein Sattelpunkt ist. oder???
und dann wäre ich auch mir meiner aufgabe fertig :)
lg
sabrina
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könntest du die HesseMatrix und ihre Determinante angeben ?
ich bin auf etwas anderes gekommen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 So 22.06.2008 | | Autor: | skydyke |
also meine Hessematrix ist:
[mm] \bruch{1}{3*g^2+1} [/mm] * [mm] \pmat{ 6*g*g_x*y & -3*g^2 - 1 + y*6*g*g_y \\ -3*g^2 - 1+6*g*g_x & 6*g*g_y*x }
[/mm]
und wenn ich dann (0,0) einsetzte habe ich einen positiven bruck vor der MAtrix und in der matrix hab ich dann negative werte und zwei 0 werte.
für die determinante hab ich dann:
[mm] -(3*g^2-1)^2 [/mm] und das ist ja immer kleiner 0.
und weil ich mir mal eine skizze gemacht habe muss eigentlich wenn überhaupt ein sattelpunkt herauskommen.
lg
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Hallo skydyke,
> also meine Hessematrix ist:
>
> [mm]\bruch{1}{3*g^2+1}[/mm] * [mm]\pmat{ 6*g*g_x*y & -3*g^2 - 1 + y*6*g*g_y \\ -3*g^2 - 1+6*g*g_x & 6*g*g_y*x }[/mm]
Die Einträge in der Matrix musst Du nochmal nachrechnen.
>
> und wenn ich dann (0,0) einsetzte habe ich einen positiven
> bruck vor der MAtrix und in der matrix hab ich dann
> negative werte und zwei 0 werte.
>
> für die determinante hab ich dann:
> [mm]-(3*g^2-1)^2[/mm] und das ist ja immer kleiner 0.
>
> und weil ich mir mal eine skizze gemacht habe muss
> eigentlich wenn überhaupt ein sattelpunkt herauskommen.
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 22.06.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
also ich hab das nochmal durchgerechnet und komme auf keine anderen werte. wo soll denn bitte mein fehler sein???
lg
Sabrina
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Hallo skydyke,,
> hi,
>
> also ich hab das nochmal durchgerechnet und komme auf keine
> anderen werte. wo soll denn bitte mein fehler sein???
Meine Hesse-Matrix sieht so aus:
[mm]\bruch{1}{3*g^{2}+1}*\pmat{-6*g*g^{2}_{x} & -\left(1+6*g*g_{x}*g_{y}\right) \\ -\left(1+6*g*g_{x}*g_{y}\right) & -6*g*g^{2}_{y}}[/mm]
>
> lg
> Sabrina
Gruß
MathePower
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> also meine Hessematrix ist:
>
> [mm]\bruch{1}{3*g^2+1}[/mm] * [mm]\pmat{ 6*g*g_x*y & -3*g^2 - 1 + y*6*g*g_y \\ -3*g^2 - 1+6*g*g_x & 6*g*g_y*x }[/mm]
ich habe bekommen:
[mm]\bruch{1}{(3*g^2+1)^2}[/mm] * [mm]\pmat{ 6*g*g_x*y & -3*g^2 - 1 + y*6*g*g_y \\ -3*g^2 - 1+6*g*x*g_x & 6*g*g_y*x }[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 So 22.06.2008 | | Autor: | skydyke |
ja... ich hab einfach das eine x vergessen abzutippen, hab das grad gemerkt ;) danke das mir da geholfen wurde :)
ist denn meine folgerung richtig die ich aufgestellt habe???
lg
sabrina
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Hallo skydyke,
> ja... ich hab einfach das eine x vergessen abzutippen, hab
> das grad gemerkt ;) danke das mir da geholfen wurde :)
>
> ist denn meine folgerung richtig die ich aufgestellt
> habe???
Die Folgerung, daß [mm]\left(0,0\right)[/mm] ein Sattelpunkt ist, ist richtig.
>
> lg
> sabrina
Gruß
MathePower
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> Die Folgerung, daß [mm]\left(0,0\right)[/mm] ein Sattelpunkt ist,
> ist richtig.
nach meiner Rechnung hat die Determinante der Hesse-
Matrix für x=y=0 den Wert
- [mm] \bruch{1}{Q^2} [/mm] mit Q = [mm] 3*g^2+1 [/mm] >0
also wäre Det(H)<0, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
was auf ein lokales Maximum schliessen liesse
...oder mache ich da etwas falsch ?
ja, das hab' ich getan - aber ich hab's nachher recht rasch gemerkt...
Es gibt wirklich einen Sattelpunkt.
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> ja... ich hab einfach das eine x vergessen abzutippen, hab
> das grad gemerkt ;) danke das mir da geholfen wurde :)
>
sorry, aber hast du nicht bemerkt, dass dies nicht die
einzige Abweichung zwischen deinem und meinem Resultat
war ?
ich habe vor der Matrix einen anderen Faktor !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 So 22.06.2008 | | Autor: | skydyke |
ja ich hab das bemerkt. ich weiß ja das es hoch 2 sein muss wegen der Quotientenregel.
also vielen dank für die hilfe bei der aufgabe. hat mir sehr weitergeholfen.
lg
sabrina
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 So 22.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie: Die Gleichung [mm]z^3+z+xy=1[/mm] hat für jedes (x,y)
> [mm]\in \IR^2[/mm] genau eine reelle Lösung z=g(x,y). Zeigen Sie
> weiter, dass g auf ganz [mm]\IR^2[/mm] differenzierbar ist und
> untersuchen Sie g auf Extrema. Berechnen Sie g'(1,1).
Hallo,
ich habe mir mit etwas Verwunderung den hochmathematischen Disput zu dieser Aufgabe angesehen. Ist das nicht alles etwas zu kompliziert????
Für jedes beliebige Paar (x,y) hat das Produkt xy einen bestimmten Wert, nennen wir ihn "p".
Es ist (im ersten Teil der Aufgabe) also lediglich nachzuweisen, dass [mm]z^3+z+p=1[/mm] für jedes p [mm] \in \R [/mm] genau eine Lösung besitzt.
Davon ausgehend lässt sich sicher auch der zweite Teil mit etwas weniger Aufwand lösen.
Gruß Abakus
> hallo,
>
> also ich hatte eine ähnliche aufgabe in einer übung, da war
> es aber nur nach y auflösen, und jetzt hab ich ja x und y
> und irgendiwe komm ich damit nicht klar.
>
> ich hab mir erst einmal überlegt dass ich die Gleichung :
>
> [mm]z^3+z+xy=1[/mm] umschreibe nach:
>
> [mm]xy=1-z^3-z[/mm]
>
> dann hätt ich (glaub ich):
>
> [mm]g:\IR^2 \to \IR[/mm]
> [mm](x,y)\mapsto[/mm] xy
>
> und dann weiß ich noch wenn xy bijektiv ist, dann gibt es
> ein (x,y), d.h. ich muss zeigen dass es surjektiv und
> injektiv ist.
>
> aber irgendwie komm ich damit nicht klar, da ich hier x und
> y habe. und das brauch ich ja erst einmal bevor ich die
> aufgabe zuende rechnen kann.
>
> könnte mir da einer weiter helfen?
>
> lg
> Sabrina
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hallo Abakus !
Deine Beobachtung, die du mir als PM mitgeteilt hast, dass [mm]\ g(x,y)[/mm]
ja eigentlich nur vom Produkt [mm]\ t=x*y[/mm] abhängt, könnte man wohl
so formulieren:
man kann die Abbildung [mm]\ g[/mm] in zwei Schritte aufspalten, nämlich
[mm]\ g(x,y) = f^{-1}(t(x,y))[/mm] mit [mm]\ t(x,y)=x*y[/mm]
[mm]f^{-1}[/mm] ist dabei als Umkehrfunktion der monotonen kubischen
Funktion [mm]f:z\mapsto 1-z-z^3[/mm] auch differenzierbar, was
man ganz leicht zeigen kann.
Und dann bleibt im wesentlichen noch die Differenzierbarkeit von
[mm]\ t:\ (x,y)\mapsto x*y[/mm]
und die ist natürlich ebenso offensichtlich, denn [mm]\ t_x=y [/mm] und [mm] t_y=x[/mm]
sind natürlich auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert !
Man kann jetzt noch etwas sehen:
Die Funktion [mm]t: (x,y)\mapsto u = x*y[/mm] ist das Standard-
Einstiegsbeispiel für eine Funktion mit Sattelpunkt.
Sie hat die ganz einfache Hesse-Matrix
[mm]H = \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] mit [mm]Det(H)=\ -1[/mm]
Der Sattelpunkt [mm]\ S(0/0)[/mm] wird durch die Funktion [mm]\ f^{-1}[/mm] quasi weitergegeben
an die zusammengesetzte Funktion
[mm]g(x,y) = f^{-1}(t(x,y))[/mm]
Danke also für deinen Tipp !
LG al-Chw.
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