Reelles Integral berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Sa 16.07.2005 | | Autor: | McHale |
Hi!
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty} {\bruch{x^{2}}{(x^{2}+4)(x^{2}+9)} dx} [/mm]
Für die Integralberechnung braucht man den Residuensatz. Es gibt vier Nullstellen des Nenners: +-2i und +-3i
Aus unserer Musterlösung:
Quote:
Wir benötigen nur die Pole oberhalb der reellen Achse für die Berechnung des Integrals.
Warum? Welche Voraussetzungen bestimmen das?
Mit allen vier Residuen kommt Null heraus, nur mit den beiden Residuen für +2i und +3i kommt [mm] \pi/5 [/mm] raus, was auch richtig scheint.
Also warum nur?
Ciao, Martin
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.moses.tu-berlin.de/Mathematik/ ->Analysis3
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Martin,
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} {\bruch{x^{2}}{(x^{2}+4)(x^{2}+9)} dx}[/mm]
>
> Für die Integralberechnung braucht man den Residuensatz. Es
> gibt vier Nullstellen des Nenners: +-2i und +-3i
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aus unserer Musterlösung:
> Quote:
>
> Wir benötigen nur die Pole oberhalb der reellen Achse für
> die Berechnung des Integrals.
>
>
> Warum? Welche Voraussetzungen bestimmen das?
Das hängt vom Integrationsweg ab, welche Residuen man braucht.
Hier kann man den Integrationsweg so wählen, dass er ganz oberhalb bzw. auf der x-Achse liegt, man könnte auch genauso gut einen Weg wählen, der unterhalb liegt -- dann benötigt man die Singularitäten unterhalb der x-Achse.
Ein bisschen konkreter:
Ich wähle als Integrationsweg [mm] $\alpha_r$ [/mm] den Rand eines Halbkreises mit Radius r um den Ursprung und natürlich so, dass der Halbkreis oberhalb der x-Achse liegt.
Den Teil des Weges, der auf dem Rand des Kreises liegt nenne ich [mm] $\gamma_r$, [/mm] die restliche Strecke ist das Interval $[-r,r]$. [mm] $\alpha_r$ [/mm] ist also ein geschlossener Weg, der die Singularitäten 2i und 3i einmal umläuft (für r>3).
Dann haben wir doch nach dem Residuensatz
[mm] $2\pi [/mm] i * [mm] 1*\left(\textrm{Res}_{2i}(f)+\textrm{Res}_{3i}(f)\right)=\integral_{\alpha_r} [/mm] f [mm] dz=\blue{\integral_{-r}^{r} f dz}+\green{\integral_{\gamma_r} f dz}$
[/mm]
Für [mm] $r\to\infty$ [/mm] konvergiert das blaue Integral (per Defintion) gegen das gesuchte, beim grünen Integral müßte sich mittels der Standardintegralabschätzung zeigen lassen, dass es gegen 0 konvergiert.
> Mit allen vier Residuen kommt Null heraus, nur mit den
> beiden Residuen für +2i und +3i kommt [mm]\pi/5[/mm] raus, was auch
> richtig scheint.
>
> Also warum nur?
Ich hoffe, dass ist nun etwas deutlicher geworden.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: www.moses.tu-berlin.de/Mathematik/
> ->Analysis3
Danke für den Hinweis 
Viele Grüße,
Marc
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