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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:44 Mi 29.09.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Welche dieser Relationen sind symmetrisch, welche reflexiv oder transitiv?
a) Vektor [mm] (\IR^{2}) [/mm] a,b [mm] \ne [/mm] 0; a [mm] \sim [/mm] b [mm] :\gdw [/mm] a und b kollinear
b) 2 Kreise [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] in der Ebene: [mm] C_{1} \sim C_{2} :\gdw C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] haben genau einen Schnittpunkt.
c) Für u,v [mm] \in \IN: [/mm] u [mm] \sim [/mm] v [mm] :\gdw [/mm] u und v haben einen gemeinsamen Teiler >1. |
symmetrisch bedeutet dass wenn x [mm] \sim [/mm] y auch y [mm] \sim [/mm] x, reflexiv x [mm] \sim [/mm] x , und transitiv dass wenn x [mm] \sim [/mm] y und y [mm] \sim [/mm] z dann x [mm] \sim [/mm] z.
Allerdings weiss ich nicht wie ich das richtig anwenden kann auf die Beispiele.
Ich vermute:
a) reflexiv, symmetrisch
b) symmetrisch
c) nicht reflexiv wegen Teiler > 1, transitiv und symmetrisch
Wäre für eine Korrektur und Tipps wie man sich das besser veranschaulichen kann sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Mi 29.09.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo kushkush,
> Welche dieser Relationen sind symmetrisch, welche reflexiv
> oder transitiv?
>
> a) Vektor [mm](\IR^{2})[/mm] a,b [mm]\ne[/mm] 0; a [mm]\sim[/mm] b [mm]:\gdw[/mm] a und b
> kollinear
>
> b) 2 Kreise [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm] in der Ebene: [mm]C_{1} \sim C_{2} :\gdw C_{1}[/mm]
> und [mm]C_{2}[/mm] haben genau einen Schnittpunkt.
>
> c) Für u,v [mm]\in \IN:[/mm] u [mm]\sim[/mm] v [mm]:\gdw[/mm] u und v haben einen
> gemeinsamen Teiler >1.
> symmetrisch bedeutet dass wenn x [mm]\sim[/mm] y auch y [mm]\sim[/mm] x,
> reflexiv x [mm]\sim[/mm] x , und transitiv dass wenn x [mm]\sim[/mm] y und y
> [mm]\sim[/mm] z dann x [mm]\sim[/mm] z.
Jein. Wichtig ist hier, dass die Aussagen für alle x,y,z gelten müssen.
> Allerdings weiss ich nicht wie ich das richtig anwenden
> kann auf die Beispiele.
> Ich vermute:
>
> a) reflexiv, symmetrisch
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Warum ist diese Relation nicht transitiv? Hast du ein Gegenbeispiel? Was heißt es, wenn zwei Vektoren kollinear sind? Kannst du das irgendwie formalisieren?
> b) symmetrisch
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Stimmt. Warum ist die Relation nicht reflexiv oder transitiv? Gegenbeispiel?
> c) nicht reflexiv wegen Teiler > 1, transitiv und
> symmetrisch
Scheinbar hast du ein Gegenbeispiel zur Reflexivität, wie lautet das? Symmetrie ist auch klar. Aber denk nochmal über die Transitivität nach...
>
> Wäre für eine Korrektur und Tipps wie man sich das besser
> veranschaulichen kann sehr dankbar!
Vielleicht hilft es dir, wenn du zunächst nach Gegenbeispielen suchst. Wenn du keines findest, versuche deine Vermutung zu bestätigen, indem du einen geeigneten Formalismus findest um zu zeigen, dass die Relation für alle Elemente des Definitionsbereichs gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Liebe Grüße,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:06 Mi 29.09.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo Fulla,
a) es ist auch transitiv, weil wenn x kollinear zu y ist und y zu z dann ist sicher auch x zu z kollinear.
b) weil sich ein kreis selber nicht in nur einem Punkt schneiden kann und Transitivität bedeuten würde, dass es entweder zwei Mal derselbe Kreis ist oder sie sich in 2 Punkten schneiden müssten.
c) das finde ich komisch, weil angegeben wird, dass ich einen gemeinsamen Teiler von 2 Zahlen x,y nehme! Wie kann das dann reflexiv sein?
Weil x immer Teiler von x ist, und y immer Teiler von y ist es reflexiv?
Danke vielmals für die Korrekturen und Hinweise.
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Hallo kushkush,
dann wollen wir mal:
> a) es ist auch transitiv, weil wenn x kollinear zu y ist
> und y zu z dann ist sicher auch x zu z kollinear.
Das ist richtig. Allerdings behaupte ich jetzt einfach mal, du hast das nur hingeschrieben, weil Fulla das Fehlen von Transitivität bemängelt hat.
Wirklich Begründet hast du es nicht, ausser "Die Relation ist sicher transitiv."
Mach dir nochmal selbst klar, warum das gelten muss.
> b) weil sich ein kreis selber nicht in nur einem Punkt
> schneiden kann und Transitivität bedeuten würde, dass es
> entweder zwei Mal derselbe Kreis ist oder sie sich in 2
> Punkten schneiden müssten.
Öhm nein, die Begründung ist falsch. Es gibt unendlich Möglichkeiten an Kreisen, dass [mm] C_1 \sym C_2 \wedge C_2 \sym C_3 \Rightarrow C_1 \wedge C_3 [/mm] gilt.
Aber es gibt eben auch einen Fall, dass es nicht geht, und das machts kaputt.
> c) das finde ich komisch, weil angegeben wird, dass ich
> einen gemeinsamen Teiler von 2 Zahlen x,y nehme! Wie kann
> das dann reflexiv sein?
> Weil x immer Teiler von x ist, und y immer Teiler von y ist
> es reflexiv?
Also: Genau das ist die Begründung, die man machen könnte. Die Funktioniert auch für fast alle Zahlen aus [mm] \IN, [/mm] aber für eine eben nicht, darum ist es nicht reflexiv.
Welche Zahl macht es denn kaputt?
Und du hast noch nicht begründet, warum diese Relation nicht transitiv ist.
MFG.
Gono.
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Das habe ich zu a) gedacht:
Ein Vektor in der Ebene ist kollinear zu einem anderen Vektor wenn beide dieselbe Richtung haben aber nicht dieselbe Länge. Das kann man jetzt auf die Transitivität übertragen weil es ja nicht sein kann, dass x und y, y und z dieselbe Richtung haben aber z und x nicht?
Ein Kreis in dem ein Kreis drin ist und beide haben einen Berührungspunkt und ein weiterer Kreis welcher den mittleren Kreis berührt aber nicht den kleinsten Kreis. Dann würde der mittlere zwar beide berühren aber der Grösste nicht den Kleinsten.
c) Macht die 1 wegen der Teilerbedingung >1 nicht alle Fälle (Symmetrie, Transitivität und Reflexivität) kaputt???
Danke für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Do 30.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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