Reflexiv, Transitiv, Symmetrie < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 Do 29.11.2007 | | Autor: | dk-netz |
| Aufgabe | Sei R eine binäre Relation auf A. Beweisen Sie folgende Behauptungen:
(a) R ist reflexiv genau dann wenn [mm] I_A \subseteq [/mm] R.
(b) R ist symmetrisch genau dann wenn [mm] R^{-1} \subseteq [/mm] R.
(c) R ist transitiv genau dann wenn R [mm] \circ [/mm] R [mm] \subseteq [/mm] R. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu den obigen Aufgaben. Ich hab bei der (a) angefangen und komm zu keinem wirklichen Ansatz. Lässt sich das über die Definition beweisen? Wenn ja wie in etwa?
Danke!
Gruß
Daniel
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> Sei R eine binäre Relation auf A. Beweisen Sie folgende
> Behauptungen:
> (a) R ist reflexiv genau dann wenn [mm]I_A \subseteq[/mm] R.
> (b) R ist symmetrisch genau dann wenn [mm]R^{-1} \subseteq[/mm] R.
> (c) R ist transitiv genau dann wenn R [mm]\circ[/mm] R [mm]\subseteq[/mm]
> R.
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu den obigen Aufgaben. Ich hab bei der
> (a) angefangen und komm zu keinem wirklichen Ansatz. Lässt
> sich das über die Definition beweisen? Wenn ja wie in
> etwa?
>
Hallo,
ich nehme mal an, daß [mm] I_A [/mm] die Identität auf A ist, also die Menge [mm] I_A:=\{(a,a)| a\in A\}
[/mm]
Zeige nun beide Richtungen.
1. R ist reflexiv ==> [mm]I_A \subseteq[/mm] R
Bew.: es sei R reflexiv.
Und nun zeigst Du, daß unter dieser Voraussetzung jedes Element v. [mm] I_A [/mm] in R liegt.
2. [mm] I_A \subseteq[/mm] [/mm] R ==> R ist reflexiv
Sei [mm] a\in [/mm] A.
Es ist n.V.
(a,a) [mm] \in [/mm] R ==> ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Do 29.11.2007 | | Autor: | dk-netz |
Hallo,
danke für die Antwort.
Ich komme noch nicht weiter!
Könnte jemand mal für die erste Aufgabe die komplette Lösung posten!?
Gruß
Daniel
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Hallo,
die Lösung steht doch schon fast da, das ist wirklich so einfach, daß man es kaum aufschreiben kann, mein einziges Problem ist, daß ich Eur Definitionen nicht genau kenne.
> Zeige nun beide Richtungen.
>
> 1. R ist reflexiv ==> [mm]I_A \subseteq[/mm] R
>
> Bew.: es sei R reflexiv.
>
> Und nun zeigst Du, daß unter dieser Voraussetzung jedes
> Element v. [mm]I_A[/mm] in R liegt:
Dann gilt für alle [mm] a\in [/mm] A: aRa
==>
für alle [mm] a\in [/mm] A: [mm] a(a,a)\in [/mm] R.
Also ist [mm] I_A\subseteq [/mm] R.
>
>
> 2. [mm]I_A \subseteq[/mm][/mm] R ==> R ist reflexiv
>
> Sei [mm]a\in[/mm] A.
>
> Es ist n.V.
>
> (a,a) [mm]\in[/mm] R ==> ...
aRa ==> R ist reflexiv.
Gruß v. Angela
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