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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Ziel dieser Aufgabe ist die Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal.
Sei [mm] w_{1}=e^{\bruch{2\pi*i}{5}} [/mm] die primitive Einheitswurzel.
a) Man gebründe (am besten ohne Rechnung), warum [mm] 1+w_{1}+w_{1}^{2}+w_{1}^{3}+w_{1}^{4}=0 [/mm] gilt.
b) Man schreibe eine quadratische Gleichung auf, deren Lösungen genau [mm] \alpha= w_{1}+w_{1}^{4} [/mm] und [mm] \beta=w_{1}^{2}+w_{1}^{3} [/mm] sind und folgere: [mm] cos(\bruch{2*\pi}{5})=\bruch{-1+\wurzel{5}}{4} [/mm] und [mm] cos(\bruch{4*\pi}{5})=\bruch{-1-\wurzel{5}}{4}. [/mm] |
Guten Abend,
also die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks kommt noch, dazu muss ich erstmal diese Aufgaben mit komplexen Zahlen lösen, was mir schon schwer fällt.Ich hoffe jemand kann mir helfen.
a) Also wenn ich das richtig verstehe, sind [mm] 1,w_{1},w_{1}^{2},w_{1}^{3},w_{1}^{4} [/mm] die Eckpunkte des Fünfecks, also sind das komplexe Zahlen. So, und wenn ich z.B. den Vektor (1,0) als Auffahrtsvektor nehme und hänge die nächsten 4 Vektoren da dran, wobei die jeweils auf einen Eckpunkt des Fünfecks zeigen, dann bin ich am Ende wieder bei (1,0), habe also den Nullvektor.
Ich glaube,ich habs jetzt nicht so schön ausgedrückt, aber die Idee müsste doch so stimmen oder?
b) Ganz allgemein sieht eine quadratische Gleichung so aus:
[mm] ax^{2}+bx+c=0, [/mm] wobei hier x [mm] \in \IC.
[/mm]
Die allgemeinen Lösungen dieser Gleichungen sind
[mm] \alpha=\bruch{-b+\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a} [/mm] und
[mm] \beta=\bruch{-b-\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a} [/mm] und es muss gelten:
[mm] \alpha=\bruch{-b+\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}=w_{1}+w_{4}
[/mm]
[mm] \beta=\bruch{-b-\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}=w_{1}^{2}+w_{1}^{3}.
[/mm]
Das Problem ist, dass ich dieses LGS nicht lösen kann, da ich 3 Variablen habe, aber nur zwei Gleichungen.
Ich finde auch keinen Ansatz, wie ich hier vorgehen könnte.
Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Sa 29.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Ziel dieser Aufgabe ist die Konstruktion eines
> regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal.
> Sei [mm]w_{1}=e^{\bruch{2\pi*i}{5}}[/mm] die primitive
> Einheitswurzel.
>
> a) Man gebründe (am besten ohne Rechnung), warum
> [mm]1+w_{1}+w_{1}^{2}+w_{1}^{3}+w_{1}^{4}=0[/mm] gilt.
>
> b) Man schreibe eine quadratische Gleichung auf, deren
> Lösungen genau [mm]\alpha= w_{1}+w_{1}^{4}[/mm] und
> [mm]\beta=w_{1}^{2}+w_{1}^{3}[/mm] sind und folgere:
> [mm]cos(\bruch{2*\pi}{5})=\bruch{-1+\wurzel{5}}{4}[/mm] und
> [mm]cos(\bruch{4*\pi}{5})=\bruch{-1-\wurzel{5}}{4}.[/mm]
> Guten Abend,
>
> also die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks kommt
> noch, dazu muss ich erstmal diese Aufgaben mit komplexen
> Zahlen lösen, was mir schon schwer fällt.Ich hoffe jemand
> kann mir helfen.
>
> a) Also wenn ich das richtig verstehe, sind
> [mm]1,w_{1},w_{1}^{2},w_{1}^{3},w_{1}^{4}[/mm] die Eckpunkte des
> Fünfecks, also sind das komplexe Zahlen. So, und wenn ich
> z.B. den Vektor (1,0) als Auffahrtsvektor nehme und hänge
> die nächsten 4 Vektoren da dran, wobei die jeweils auf
> einen Eckpunkt des Fünfecks zeigen, dann bin ich am Ende
> wieder bei (1,0), habe also den Nullvektor.
> Ich glaube,ich habs jetzt nicht so schön ausgedrückt,
> aber die Idee müsste doch so stimmen oder?
>
> b) Ganz allgemein sieht eine quadratische Gleichung so aus:
> [mm]ax^{2}+bx+c=0,[/mm] wobei hier x [mm]\in \IC.[/mm]
> Die allgemeinen
> Lösungen dieser Gleichungen sind
> [mm]\alpha=\bruch{-b+\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}[/mm] und
>
> [mm]\beta=\bruch{-b-\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}[/mm] und es muss
> gelten:
>
> [mm]\alpha=\bruch{-b+\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}=w_{1}+w_{4}[/mm]
>
> [mm]\beta=\bruch{-b-\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}=w_{1}^{2}+w_{1}^{3}.[/mm]
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> Das Problem ist, dass ich dieses LGS nicht lösen kann, da
> ich 3 Variablen habe, aber nur zwei Gleichungen.
Es muss auch eine Gleichung in Normalform (mit a=1) geben, die diese Lösungen hat. Ansatz über Satz des Vieta!
Zu a) Die Struktur des Terms drängt mir die Anwendung der Summenformel für geometrische Reihen geradezu auf ...
Gruß Abakus
> Ich finde auch keinen Ansatz, wie ich hier vorgehen
> könnte.
> Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
>
> lg
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