Regeln für unendliche Summen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Daduu |
Hallo,
mir sind die Rechenregeln für endliche Summen (sprich Linearität, Indexverschiebung, ...) bekannt und ich wollte fragen ob es ähnliche Regeln auch für unendliche Summen gibt (und ob es evt. Voraussetzungen gibt, z.B. absolute Konvergenz).
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Daduu,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Da unendliche Reihen der Form [mm] $\summe_{k}^{\infty}a_k$ [/mm] auch nur eine abkürzende Darstellung von [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k}^{n}a_k$ [/mm] sind, gelten die Regeln auch hier analog.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mo 02.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> mir sind die Rechenregeln für endliche Summen (sprich
> Linearität, Indexverschiebung, ...) bekannt und ich wollte
> fragen ob es ähnliche Regeln auch für unendliche Summen
> gibt (und ob es evt. Voraussetzungen gibt, z.B. absolute
> Konvergenz).
Ja , die gibt es !
Sind z.B. die Reihen [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] beide konvergent und sind $t,s [mm] \in \IR$,
[/mm]
so ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(ta_n+sb_n) [/mm] wieder konvergent und
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(ta_n+sb_n) [/mm] = [mm] t\summe_{n=1}^{\infty}a_n +s\summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm]
Vorsicht ! ist z.B. [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_n [/mm] eine divergente Reihe, so ist
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(c_n-c_n) [/mm] trivialerweise konvergent, aber die Gleichung
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(c_n-c_n) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_n-\summe_{n=1}^{\infty}c_n
[/mm]
ist Unfug !
FRED
>
> Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> mir sind die Rechenregeln für endliche Summen (sprich
> Linearität, Indexverschiebung, ...) bekannt und ich wollte
> fragen ob es ähnliche Regeln auch für unendliche Summen
> gibt (und ob es evt. Voraussetzungen gibt, z.B. absolute
> Konvergenz).
wenn Du eine Reihe der Art [mm] $\sum_{k=p}^\infty a_k$ [/mm] gegeben hast, dann kannst Du natürlich auch [mm] $m:=k-z_0$ [/mm] für ein, festes, [mm] $z_0 \in \IZ$ [/mm] setzen und schreiben
[mm] $$\sum_{k=p}^\infty a_k=\sum_{m=p-z_0}^\infty a_{m+z_0}\,.$$
[/mm]
Denn: Zur Klärung definiere ich zunächst [mm] $\IZ_{ \ge p}:=\{z \in \IZ: \; z \ge p\}\,.$
[/mm]
Dann steht [mm] $\sum_{k=p}^\infty a_k$ [/mm] steht ja zunächst mal nur für [mm] $(s_n)_{n \in \IZ_{\ge p}}$ [/mm] mit [mm] $s_n:=\sum_{k=p}^n a_k\;\;(n \in \IZ_{\ge p})\,,$ [/mm] und ferner steht [mm] $\sum_{m=p-z_0}^\infty a_{m+z_0}$ [/mm] für [mm] $(\tilde{s}_n)_{n \in \IZ_{\ge p-z_0}}$ [/mm] mit [mm] $\tilde{s}_n:=\sum_{m=p-z_0}^N a_{m+z_0}$ [/mm] ($N [mm] \in \IZ_{\ge p-z_0}$). [/mm]
Da passiert also nicht viel (es ist [mm] $s_q=\tilde{s}_{q-z_0}$ [/mm] für alle $q [mm] \in \IZ_{\ge z_0}\,,$ [/mm] grob gesagt: der Indexshift überträgt sich einfach auf die Folge der Teilsummen), insbesondere ändert sich weder das Konvergenzverhalten der Reihe, noch, im Falle der Konvergenz, der Grenzwert der Reihe.
Die folgende Regel hat zwar nichts mit Indexverschiebung zu tun, aber Du solltest sie dennoch kennen:
Ist [mm] $\sum_{k=p}^\infty a_k$ [/mm] eine konvergente Reihe mit dem Reihenwert [mm] $A=\sum_{k=p}^\infty a_k=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=p}^n a_k\,,$ [/mm] so gilt für jedes ganzzahlige $q [mm] \ge [/mm] p$
[mm] $$\sum_{k=q}^\infty a_k=\left(\sum_{k=p}^\infty a_k\right)-\sum_{k=p}^{q-1} a_k=A-\sum_{k=p}^{q-1} a_k\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Daduu |
Danke allen für die ausführlichen Antworten (sorry hat etwas länger gedauert).
Ihr habt mir alle sehr weiter geholfen...tolles Forum 
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