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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Do 19.10.2006 | | Autor: | ivo82 |
| Aufgabe | Für ein Regressionsmodell, dessen Designmatrix vollen Rang hat, gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\hat y_{i}*(y_{i}-\hat y_{i})=0 [/mm] |
Hallo,
bitte helft mir bei dieser Aufgabenstellung, da blick ich echt überhaupt nicht durch, was ist der Einfluss des Ranges der Designmatrix X (die die Daten enthält) auf die Summe des Produkts von Schätzer und Differenz
zwischen Schätzer und gemessenem y?
Ich habe diese Frage in keinem andeen Forum gestellt!
lg ivo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Do 19.10.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo ivo82,
in der Tat, die Aussage folgt auch *ohne* die Annahme, dass die
Designmatrix [mm] $\bf [/mm] X$ vollen Rang hat. Sei [mm] $\bf \hat \beta$ [/mm] eine Loesung
der
Normalgleichung [mm] \bf X'X b = X'y [/mm]. (Diese ist *stets* loesbar; besitzt
[mm] $\bf [/mm] X$ den vollen Rang, so ist sie eindeutig loesbar durch
[mm] $\bf \hat \beta=(X'X)^{-1}X'y$, [/mm] anderenfalls gibt es unendlich viele
Loesungen.)
Da [mm] $\bf \hat \beta$ [/mm] eine Loesung der
Normalgleichung ist, gilt also [mm] $\bf [/mm] X'X [mm] \hat\beta=X'y$. [/mm] Ich setze
$ [mm] \bf \hat [/mm] y = X [mm] \hat\beta [/mm] $. Dann ist
[mm] \begin{matrix}
\summe_{i=1}^{n}\hat y_{i}\cdot{}(y_{i}-\hat y_{i})&=&\bf\hat y'(y-\hat y) \\
&=&\bf\hat \beta'X'(y-X\hat\beta) \\
&=&\bf\hat \beta'X'y-\hat \beta'X'X\hat\beta \\
&=&\bf\hat \beta'X'y-\hat \beta'X'y\\
&=&\bf 0\,.
\end{matrix}
[/mm]
hth
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