Regula Falsi < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Mo 29.12.2008 | | Autor: | hasso |
Hallo,
Ich versuche bei der letzten Zusatz Aufgabe den richtigen Zinsatz zu
ermitteln bei dem die Rechnung aufgeht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
und zwar hab ich die Gleichung gleichgestellt.
75 * [mm] \bruch{1.00327374^{12}-1}{0.00327374} [/mm] * 1.00327374 + 0,8% * (12 * 75) = 926,58
75 * [mm] \bruch{ (1+i)^{12}-1}{ (1 + i ) -1 } [/mm] * ( 1 + i) = 926,58
Der Zinsatz lässt sich bei der Gleichung nicht ermitteln und mein
prof. meinte es ginge mit der Regula Falsi .. leider weiß ich nicht wie
das geht.
die Formel soll diese sein:
f(x) stetig und f(x1) * f(x2) < 0
neuer Wert xm = [mm] \bruch{f(x2) * x1 - f(x1)* x2 }{f(x2) - f(x1) }
[/mm]
Falls |f(xm)| größer gleich , Interpolation mit xm wiederholen.
Also ich kenn nur das Newton verfahren aber da ist es bissien zu aufwendig
in der Klausur das ganze abzuleiten deswegen auch Regula Falsi.
Hoffe mir kann jemand das Schema erklären
Danke
Lieben gruß hasso
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo hasso,
> Hallo,
>
> Ich versuche bei der letzten Zusatz Aufgabe den richtigen
> Zinsatz zu
> ermitteln bei dem die Rechnung aufgeht.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> und zwar hab ich die Gleichung gleichgestellt.
>
>
> 75 * [mm]\bruch{1.00327374^{12}-1}{0.00327374}[/mm] * 1.00327374 +
> 0,8% * (12 * 75) = 926,58
>
>
>
> 75 * [mm]\bruch{ (1+i)^{12}-1}{ (1 + i ) -1 }[/mm] * ( 1 + i) =
> 926,58
>
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> Der Zinsatz lässt sich bei der Gleichung nicht ermitteln
> und mein
> prof. meinte es ginge mit der Regula Falsi .. leider weiß
> ich nicht wie
> das geht.
>
> die Formel soll diese sein:
>
> f(x) stetig und f(x1) * f(x2) < 0
>
> neuer Wert xm = [mm]\bruch{f(x2) * x1 - f(x1)* x2 }{f(x2) - f(x1) }[/mm]
>
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> Falls |f(xm)| größer gleich , Interpolation mit xm
> wiederholen.
>
>
> Also ich kenn nur das Newton verfahren aber da ist es
> bissien zu aufwendig
> in der Klausur das ganze abzuleiten deswegen auch Regula
> Falsi.
>
>
> Hoffe mir kann jemand das Schema erklären
Zunächst suche Dir zwei Funktionswerte,
die nahe bei einer Nullstelle von f liegen,
und unterschiedliches Vorzeichen( [mm]\operatorname{sgn}[/mm] ) haben.
Die Näherungswerte nennen wir x1 und x2.
Dann ist eine neue Näherung
Bilde nun [mm]f\left(xm}\right)[/mm]
[mm]xm = \bruch{f(x2) * x1 - f(x1)* x2 }{f(x2) - f(x1) }[/mm]
Wie kommt man darauf?
Man benutzt hier die Zwei-Punkte-Form der Geraden
und schneidet dann diese mit der x-Achse.
[mm]\bruch{y-f\left(x1\right)}{x-x1}=\bruch{f\left(x2)-f\left(x1\right)}{x2-x1}[/mm]
Hieraus ergibt sich dann obige Formel für die neue Näherung xm:
[mm]xm=x1-\bruch{f\left(x1\right)*\left(x2-x1)}{f\left(x2\right)-f\left(x1\right)}[/mm]
[mm]\gdw xm= \bruch{x1*f\left(x2\right)-x2*f\left(x1\right)}{f\left(x2\right)-f\left(x1\right)}[/mm]
Ist dann [mm]\operatorname{sgn}\left( \ f\left(xm\right) \ \right)=\operatorname{sgn}\left( \ f\left(x1\right) \ \right)[/mm],
dann ist die Näherung mit den Werten xm und x2 fortzuführen.
Ist hingegen [mm]\operatorname{sgn}\left( \ f\left(xm\right) \ \right)=\operatorname{sgn}\left( \ f\left(x2\right) \ \right)[/mm],
dann ist die Näherung mit den Werten x1 und xm fortzuführen.
Ist eine genügend genaue Näherung erreicht worden,
so kann man das Verfahren beenden.
>
> Danke
>
>
> Lieben gruß hasso
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Sa 03.01.2009 | | Autor: | hasso |
Hallo mathepower,
die 2 Funktionswerte sind ja in der Aufgabe gegeben und zwar soll dies einmal die 5% und 6% sein. Sprich zwichen den beiden zahlen ist der geuchte Wert.
Weiter weiß ich nicht.
Vielleicht kannst du mir das an dem Beispiel erklären wie man was wie wo einsetzen muss.
Danke
gruß hasso
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Hallo hasso,
> Hallo mathepower,
>
>
> die 2 Funktionswerte sind ja in der Aufgabe gegeben und
> zwar soll dies einmal die 5% und 6% sein. Sprich zwichen
> den beiden zahlen ist der geuchte Wert.
Das sind dann die Näherungszinssätze für das Jahr.
In der Formel
[mm]75 * \bruch{ (1+i)^{12}-1}{ (1 + i ) -1 } * ( 1 + i) = 926,58 [/mm]
ist aber vom Monatsszins die Rede.
Das heisst dann, daß Du die Näherungsswerte für das Jahr herunterbrechen mußt auf den Monat.
Für das Näherungsverfahren definiere die Funktion
[mm]f\left(i\right):=75 * \bruch{ (1+i)^{12}-1}{ (1 + i ) -1 } * ( 1 + i) - 926,58 [/mm]
Als Näherungswerte hast Du dann
[mm]i_{1}= \bruch{0.05}{12}[/mm] bzw. [mm]i_{2}=\bruch{0.06}{12}[/mm]
Nun bilde den neuen Näherungswert
[mm]i_{m}=\bruch{i_{1}*f\left(i_{2}\right)-i_{2}*f\left(i_{1}\right)}{f\left(i_{2}\right)-f\left(i_{1}\right)}[/mm]
Jetzt prüfst Du ob [mm]f\left(i_{1}\right)*f\left(i_{m}\right) > 0[/mm]
Ist das erfüllt, setze dann [mm]i_{1}=i_{m}[/mm]
Andernfalls prüfe [mm]f\left(i_{2}\right)*f\left(i_{m}\right) > 0[/mm]
Ist dieses erfüllt, setze [mm]i_{2}=i_{m}[/mm]
Führe dann dieses Verfahren mit den neuen Näherungswerten fort.
Ist eine entsprechend Genauigkeit erreicht, so kann das Verfahren beendet werden.
>
> Weiter weiß ich nicht.
> Vielleicht kannst du mir das an dem Beispiel erklären wie
> man was wie wo einsetzen muss.
>
>
>
> Danke
> gruß hasso
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Sa 03.01.2009 | | Autor: | hasso |
Hallo mathepower,
> >
> > die 2 Funktionswerte sind ja in der Aufgabe gegeben und
> > zwar soll dies einmal die 5% und 6% sein. Sprich zwichen
> > den beiden zahlen ist der geuchte Wert.
>
>
> Das sind dann die Näherungszinssätze für das Jahr.
>
> In der Formel
>
> [mm]75 * \bruch{ (1+i)^{12}-1}{ (1 + i ) -1 } * ( 1 + i) = 926,58[/mm]
>
> ist aber vom Monatsszins die Rede.
>
> Das heisst dann, daß Du die Näherungsswerte für das Jahr
> herunterbrechen mußt auf den Monat.
>
> Für das Näherungsverfahren definiere die Funktion
>
> [mm]f\left(i\right):=75 * \bruch{ (1+i)^{12}-1}{ (1 + i ) -1 } * ( 1 + i) - 926,58[/mm]
>
> Als Näherungswerte hast Du dann
> [mm]i_{1}= \bruch{0.05}{12}[/mm] bzw. [mm]i_{2}=\bruch{0.06}{12}[/mm]
Du hast geschrieben, das man Näherungswert herntuerrechnen musst auf einen Jahr.
Wenn man das auf den Monat runter rechnet sprich den Zinsatz dann muss man die 12 Wurzel vom Jahres Zinsatz nehmen.
i1 = [mm] 1.05^\bruch{1}{12} [/mm] = 1.004074124
i2 = [mm] 1.06^{\bruch{1}{12}} [/mm] = 1.004867551
falls du du mit [mm] \bruch{0.05}{12} [/mm] dieses meinst.
so nun hab ich gerechnet:
i1 = 0,004074124
f(i1) = -2,386
i2 = 0,004867551
f(i2) 2,4096
im = 0,90809
Erste Bedingung war nicht erfüllt.
Zweite Bedingung ist erfüllt.
f(i2) * f(im) > 0
2,4096 * 0,90809 = 2,188
nun i2 = 2,188
Und weiter rechnen............
Wie oft müsste man den so im normalfall weiter rechnen?
Gibts vielleicht ein Rechner wo man das Ergebnis auf die Schnelle überprüfen kann obs stimmt.
Danke für die hilfe!
gruß hasso
> Nun bilde den neuen Näherungswert
>
> [mm]i_{m}=\bruch{i_{1}*f\left(i_{2}\right)-i_{2}*f\left(i_{1}\right)}{f\left(i_{2}\right)-f\left(i_{1}\right)}[/mm]
>
> Jetzt prüfst Du ob [mm]f\left(i_{1}\right)*f\left(i_{m}\right) > 0[/mm]
>
> Ist das erfüllt, setze dann [mm]i_{1}=i_{m}[/mm]
>
> Andernfalls prüfe [mm]f\left(i_{2}\right)*f\left(i_{m}\right) > 0[/mm]
>
> Ist dieses erfüllt, setze [mm]i_{2}=i_{m}[/mm]
>
> Führe dann dieses Verfahren mit den neuen Näherungswerten
> fort.
>
> Ist eine entsprechend Genauigkeit erreicht, so kann das
> Verfahren beendet werden.
>
>
> >
> > Weiter weiß ich nicht.
> > Vielleicht kannst du mir das an dem Beispiel erklären
> wie
> > man was wie wo einsetzen muss.
> >
> >
> >
> > Danke
> > gruß hasso
>
>
> Gruß
> MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Sa 03.01.2009 | | Autor: | hasso |
Hier die Brechnungen am besten noch:
f(i1) = 75 + [mm] \bruch{1.004074124^{12}-1}{0,004074124} [/mm] * 1,004074124 - 926,58 = -2,386
i1 = 0,004074124
f(i2) = 75 + [mm] \bruch{1.004867551^{12}-1}{0,004867551} [/mm] * 1,004867551 - 926,58 = 2,4096
i2 = 0,004867551
im = [mm] \bruch{2,4096* 0,004074124 - -2,386*0,004867551 }{2,4096 - -2,386}
[/mm]
f(i1) * f(im) > 0
-2,386 * 0,90809 = -2,160 Bedingung nicht erfüllt, weil nicht größer 1
f(i2) * f(im) > 0
2,4096 0,90809 = 2,188 Bedingung erfüllt.
i2 = im <=> 0,004867551 = 0,90809
und weiter ? hab jetzt in der Formel anstatt der 0,00486 die 0,90809 eigesetzt und dan kam ne riesen zahl raus. bei der Verzinsung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 So 04.01.2009 | | Autor: | Josef |
Hallo Hasso,
> Hier die Brechnungen am besten noch:
>
> f(i1) = 75 + [mm]\bruch{1.004074124^{12}-1}{0,004074124}[/mm] *
> 1,004074124 - 926,58 = -2,386
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> i1 = 0,004074124
>
>
> f(i2) = 75 + [mm]\bruch{1.004867551^{12}-1}{0,004867551}[/mm] *
> 1,004867551 - 926,58 = 2,4096
>
> i2 = 0,004867551
![[]](/images/popup.gif) Regula falsi
Beim Verfahren nach der Regula-Falsi errechnet man durch lineare Interpolation aus beiden Startwerten [mm] x_0 [/mm] = 5 und [mm] x_1 [/mm] = 6 einen besseren Näherungswert [mm] x_2. [/mm] Man nutzt dabei das Wissen über die beiden Funktionswerte (g(1,004074124) und g(1,004867551) zur Errechnung des Werdes [mm] x_2:
[/mm]
in unserem Beispiel:
[mm] x_2 [/mm] = 1,004867551 - [mm] \bruch{1,004867551 - 1,004074124}{2,409543 - -2,386734}*2,409543
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = 1,004468951
p = 0,4468 % p.M = 5,4965 % p.a.
Viele Grüße
Josef
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 So 04.01.2009 | | Autor: | hasso |
Danke Josef.
Ich habs nochmal nachgerechnet und zwar hatte ich wohl falsch eingegeben gehabt:
75 * [mm] \bruch{ 1.004468951^{12} -1 }{ 0.004468951 } [/mm] * 1.004468951 = 926,57
Also vorgehensweise ist:
step1:
gegeben sind 2 Werte beim beispiel: 5% und 6%
Zwischen diesen Werten muss liegt das richtige Ergebnis.
step2:
nun sucht man f(i1) und f(i2) indem man die 2 Werte in der Ausgangsfunktion eingibt.
step 3:
Man setzt alle Werte in der Regula Falsi Formel ein und erhält den neuen x2 Wert.
Korrekt?
gruß hasso
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Hallo hasso,
> Hallo mathepower,
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> > >
> > > die 2 Funktionswerte sind ja in der Aufgabe gegeben und
> > > zwar soll dies einmal die 5% und 6% sein. Sprich zwichen
> > > den beiden zahlen ist der geuchte Wert.
> >
> >
> > Das sind dann die Näherungszinssätze für das Jahr.
> >
> > In der Formel
> >
> > [mm]75 * \bruch{ (1+i)^{12}-1}{ (1 + i ) -1 } * ( 1 + i) = 926,58[/mm]
>
> >
> > ist aber vom Monatsszins die Rede.
> >
> > Das heisst dann, daß Du die Näherungsswerte für das Jahr
> > herunterbrechen mußt auf den Monat.
> >
> > Für das Näherungsverfahren definiere die Funktion
> >
> > [mm]f\left(i\right):=75 * \bruch{ (1+i)^{12}-1}{ (1 + i ) -1 } * ( 1 + i) - 926,58[/mm]
>
> >
> > Als Näherungswerte hast Du dann
> > [mm]i_{1}= \bruch{0.05}{12}[/mm] bzw. [mm]i_{2}=\bruch{0.06}{12}[/mm]
>
> Du hast geschrieben, das man Näherungswert herntuerrechnen
> musst auf einen Jahr.
> Wenn man das auf den Monat runter rechnet sprich den
> Zinsatz dann muss man die 12 Wurzel vom Jahres Zinsatz
> nehmen.
>
>
>
> i1 = [mm]1.05^\bruch{1}{12}[/mm] = 1.004074124
>
>
> i2 = [mm]1.06^{\bruch{1}{12}}[/mm] = 1.004867551
>
> falls du du mit [mm]\bruch{0.05}{12}[/mm] dieses meinst.
>
>
>
> so nun hab ich gerechnet:
>
>
> i1 = 0,004074124
> f(i1) = -2,386
>
> i2 = 0,004867551
> f(i2) 2,4096
>
> im = 0,90809
>
> Erste Bedingung war nicht erfüllt.
> Zweite Bedingung ist erfüllt.
>
> f(i2) * f(im) > 0
>
> 2,4096 * 0,90809 = 2,188
>
> nun i2 = 2,188
>
>
> Und weiter rechnen............
>
> Wie oft müsste man den so im normalfall weiter rechnen?
Im Normalfall so lange bis sich zwei aufeinanderfolgende Näherungswerte
um weniger als eine vorgegebene Genauigkeit unterscheiden.
> Gibts vielleicht ein Rechner wo man das Ergebnis auf die
> Schnelle überprüfen kann obs stimmt.
>
>
> Danke für die hilfe!
>
> gruß hasso
>
>
>
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>
> > Nun bilde den neuen Näherungswert
> >
> >
> [mm]i_{m}=\bruch{i_{1}*f\left(i_{2}\right)-i_{2}*f\left(i_{1}\right)}{f\left(i_{2}\right)-f\left(i_{1}\right)}[/mm]
> >
> > Jetzt prüfst Du ob [mm]f\left(i_{1}\right)*f\left(i_{m}\right) > 0[/mm]
>
> >
> > Ist das erfüllt, setze dann [mm]i_{1}=i_{m}[/mm]
> >
> > Andernfalls prüfe [mm]f\left(i_{2}\right)*f\left(i_{m}\right) > 0[/mm]
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> >
> > Ist dieses erfüllt, setze [mm]i_{2}=i_{m}[/mm]
> >
> > Führe dann dieses Verfahren mit den neuen Näherungswerten
> > fort.
> >
> > Ist eine entsprechend Genauigkeit erreicht, so kann das
> > Verfahren beendet werden.
> >
> >
> > >
> > > Weiter weiß ich nicht.
> > > Vielleicht kannst du mir das an dem Beispiel
> erklären
> > wie
> > > man was wie wo einsetzen muss.
> > >
> > >
> > >
> > > Danke
> > > gruß hasso
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
Gruß
MathePower
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