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Hallo zusammen
Habe gerade folgende Reihe auf Konvergenz untersucht:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n*ln(n)^x} [/mm] x>0
Nach Musterlösungen hätte ich es via Integralkriterium lösen sollen, habe aber einen anderen Weg gewählt und möchte nun wissen, ob dieser auch korrekt wäre:
Es gilt für n>1: [mm] \bruch{1}{ln(n)} \ge \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{n*ln(n)^x} \ge \bruch{1}{n*n^x}=\bruch{1}{n^{x+1}} [/mm]
Da x>0 [mm] \Rightarrow [/mm] x+1>1
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe ist konvergent.
Kann ich das so machen, oder eher nicht?
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Hallo,
> Hallo zusammen
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> Habe gerade folgende Reihe auf Konvergenz untersucht:
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n*ln(n)^x}[/mm] x>0
>
> Nach Musterlösungen hätte ich es via Integralkriterium
> lösen sollen, habe aber einen anderen Weg gewählt und
> möchte nun wissen, ob dieser auch korrekt wäre:
> Es gilt für n>1: [mm]\bruch{1}{ln(n)} \ge \bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{n*ln(n)^x} \ge \bruch{1}{n*n^x}=\bruch{1}{n^{x+1}}[/mm]
> Da x>0 [mm]\Rightarrow[/mm] x+1>1
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Reihe ist konvergent.
Die Reihe rechterhand, also [mm] $\sum\limits_{n\ge 2}\frac{1}{n^{x+1}}$ [/mm] ist konvergent, das ist richtig.
Aber deine Reihe ist ja größer. Wer sagt, dass die nicht divergiert?
Eine konvergente Minorante nützt dir nix für die Konvergenzaussage deiner Ausgangsreihe ...
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> Kann ich das so machen, oder eher nicht?
Die Abschätzung ist korrekt, aber du kannst nicht folgern, dass die Ausgangsreihe konvergent ist.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo
Ja stimmt...das vertausche ich immer wieder.... :/
Demfall bleibt nur das Integralkriterium.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Oben hast Du geschrieben, es bliebe nur das Integralkriterium.
Mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz kommt man auch durch
FRED
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