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| Aufgabe | | Sei (an) eine monoton fallende Folge nicht negativer reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass die Folge (bn) mit bn [mm] =\bruch{1}{n} \summe_{k=0}^{n-1}ak [/mm] konvergent ist und berechnen Sie den Grenzwert. |
Schönen guten Tag,
mein Problem ist relativ simple, denn ich weiß nicht, wie ich da was zeigen kann. Da ich ja "nur" 1/n gegeben habe.
Bin planlos und ratlos...
Danke für die (eventuelle) Hilfe :)
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Hallo BerlinerKindl,
> Sei (an) eine monoton fallende Folge nicht negativer
> reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass die Folge (bn) mit bn
> [mm]=\bruch{1}{n} \summe_{k=0}^{n-1}ak[/mm] konvergent ist und
> berechnen Sie den Grenzwert.
> Schönen guten Tag,
> mein Problem ist relativ simple, denn ich weiß nicht, wie
> ich da was zeigen kann. Da ich ja "nur" 1/n gegeben habe.
> Bin planlos und ratlos...
Tipp: [mm] b_{n+1}=\bruch{n}{n+1}b_n+\bruch{1}{n+1}a_n
[/mm]
> Danke für die (eventuelle) Hilfe :)
Grüße
reverend
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> Tipp: [mm]b_{n+1}=\bruch{n}{n+1}b_n+\bruch{1}{n+1}a_n[/mm]
>
Vielen Dank für die schnelle Hilfe, aber eine, erstmal eine, Frage hätte ich dann doch noch, wie kommt man auf deinen Tipp ?? :D
und jetzt muss ich dann gucken, ob beide konvergieren...sowohl [mm] a_n [/mm] als auch [mm] b_n [/mm] ?? (wurden doch zwei -.-)
gruß Kindl
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Hallo nochmal,
komisch, dass sich in der Zwischenzeit niemand um diese Aufgabe gekümmert hat. Ist wohl doch weniger los hier "zwischen den Jahren"...
> > Tipp: [mm]b_{n+1}=\bruch{n}{n+1}b_n+\bruch{1}{n+1}a_n[/mm]
> >
> Vielen Dank für die schnelle Hilfe, aber eine, erstmal
> eine, Frage hätte ich dann doch noch, wie kommt man auf
> deinen Tipp ?? :D
Indem man die Summe, die bei der Berechnung von [mm] b_{n+1} [/mm] vorkommt, auf die Summe bei [mm] b_n [/mm] zurückführt. Dazu muss ein Glied herausgelöst werden (nämlich [mm] a_n), [/mm] und man muss mit den Vorfaktoren noch korrigieren.
> und jetzt muss ich dann gucken, ob beide
> konvergieren...sowohl [mm]a_n[/mm] als auch [mm]b_n[/mm] ?? (wurden doch zwei
> -.-)
[mm] (a_n) [/mm] konvergiert sicher. Die Folge ist monoton fallend und besteht nur aus positiven reellen Zahlen. Sie ist also auf jeden Fall durch a=0 nach unten beschränkt. Vielleicht gibt es aber auch ein größeres a, wie z.B. bei der Folge [mm] a_n=\bruch{(n+7)(n+3)-(n+5)^2}{n}
[/mm]
a sei wie folgt definiert: [mm] a=\lim_{n\to\infty}a_n
[/mm]
Hier ist a zugleich das Infimum der Folge.
Die Konvergenz von [mm] (b_n) [/mm] kannst Du leicht mit dem Majorantenkriterium zeigen. Nimm die Folge [mm] c_n=a_0 [/mm] und schau Dir an, ob [mm] (b_n) [/mm] nach oben beschränkt ist.
Der Grenzwert von [mm] (b_n) [/mm] soll aber auch ermittelt werden.
Ich verrate Dir mal die Lösung, und Du suchst danach, wie man sie findet: [mm] \lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}a_n=a
[/mm]
Es wird Dir leichter gelingen, wenn Du erst die Konvergenz von [mm] b_n [/mm] gezeigt hast und nochmal nachschaust, wie die Definition eines Grenzwerts aussieht - und was das dann für [mm] (a_n) [/mm] mit seiner spezifischen Eigenschaft bedeutet.
Grüße
reverend
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