Reihe Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei z [mm] \in \IC. [/mm] Zeige:
i) Für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es N [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] \summe_{k= N + 1}^{\infty} \bruch{|z|^{k}}{k!} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{3}. [/mm]
Zudem gilt [mm] |\summe_{k = N + 1}^{n} \vektor{n \\ k} \bruch{z^{k}}{n^{k}}| [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{3} [/mm] für jedes n > N.
den Zweiten Teil lass ich erstmal weg |
Also ich weiß ja das [mm] \summe_{k= 0}^{\infty} \bruch{|z|^{k}}{k!} [/mm] = exp(|z|) [mm] \Rightarrow [/mm] konvergent [mm] \Rightarrow S_n [/mm] Cauchy- Folge. Hinter dieser Aufg. steckt doch das Cauchy- Kriterium für Reihen oder nicht?
Ich kann mir bildlich sehr gut vorstellen, dass ab einem geeigneten N [mm] \in \IN [/mm] für n > m [mm] \ge [/mm] N [mm] \summe_{k= m + 1}^{n} \bruch{|z|^{k}}{k!} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
erfüllt ist für ein beliebiges [mm] \varepsilon. [/mm] Ebenso gibt es sicherlich auch N [mm] \in \IN [/mm] s.d. für n [mm] \ge [/mm] N [mm] \summe_{k= N + 1}^{\infty} \bruch{|z|^{k}}{k!} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Aber wie zeigt man das?
Und wie zeigt man das ganze für [mm] \bruch{\varepsilon}{3} [/mm] ?
Bei Folgen ist es oft sehr leicht Konvergenz mit einem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 zu zeigen, aber bei Reihen bin ich wirklich ratlos.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
in der aufgabe steckt das normale konvergenzkriterium
[mm] |S-S_n|<\epsilon_1 [/mm] für [mm] n>N(\epsilon_1)
[/mm]
und man kann natürlich [mm] \epsilon_1=\epsilon/3 [/mm] wählen
immer wenn du lim [mm] a_n=a [/mm] hat kannst du ein n finden so dass für ein beliebiges [mm] \epsislon_1 |a_n-a|<\epsilon_1 [/mm] auch für ein anderes [mm] \epsilon |a_n-a|<\epsilon/k [/mm] wenn k fest ist, denn du wählt eben [mm] \epsilon_1=\epsilon/k
[/mm]
Gruss leduart
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ok. Das sollte ja dann so aussehen:
Sei ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vorgegeben.
wähle N [mm] \in \IN [/mm] so, dass:
[mm] \bruch{\varepsilon}{3} [/mm] > [mm] |\summe_{k= 0}^{N} \bruch{|z|^{k}}{k!} [/mm] - [mm] \summe_{k= 0}^{\infty} \bruch{|z|^{k}}{k!}| [/mm] = [mm] |\summe_{k= N + 1}^{\infty} \bruch{|z|^{k}}{k!}| [/mm]
Aber wie mein N genau aussieht könnte ich jetzt nicht sagen. Kann man das überhaupt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Fr 02.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein , i.a. kann man n nicht angeben, man weiss aus der Konv. von [mm] S_n [/mm] nur dass es garantiert existiert. wenn man [mm] s_n [/mm] ausrechnen kann (wie etwa bei der geometrischen Reihe , kann man es auch angeben oder abschätzen, aber für einen beweis ist nur die Existenz nötig und man gibte deshalb auch nicht an, wenn man es kennte.
gruss leduart
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Okay, ich danke dir. Nun zum zweiten Teil.. Hier haben wir doch diesmal den Abstand zwischen zwei Partialsummen. D.h. wenn ich ein bel. [mm] \varepsilon [/mm] habe dann finde ich ein N s.d. für n > N + 1 > N der Abstand zwischen [mm] S_n [/mm] - [mm] S_N< \bruch{\varepsilon}{3}. [/mm]
Ich würde analog schreiben:
[mm] |\summe_{k = 0}^{n} \vektor{n \\ k} \bruch{z^{k}}{n^{k}} [/mm] - [mm] \summe_{k = N}^{n} \vektor{n \\ k} \bruch{z^{k}}{n^{k}}| [/mm] = [mm] |\summe_{k = N + 1}^{n} \vektor{n \\ k} \bruch{z^{k}}{n^{k}}| [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{3} [/mm]
Ist das richtig? Und muss man nicht zuerst zeigen, dass die Reihe konvergiert? Diesmal haben wir ja noch [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] im Paket.
Grüße, Kulli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, dafür muss man erst zeigen ob oder für welche z die Reihe konvergiert.
Gruss leduart
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Ok, ich habe es mit dem Quotientenkriterium versucht.
[mm] \vektor{n \\ k} \bruch{z^{k}}{n^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n - k)!}:
[/mm]
[mm] |\bruch{(n+1)!}{k!(n+1 - k)!}\* \bruch{z^{k}}{(n+1)^{k}} \*\bruch{k!(n - k)!\*n^{k}}{n! z^{k}}| [/mm]
(nach kürzen..) [mm] =\bruch{(n - k)! n^{k}}{(n + 1 - k)! (n + 1)^{k - 1}} [/mm] = [mm] \bruch{n^{k}}{(n + 1)(n + 1)^{k - 1}} [/mm] = [mm] \bruch{n^{k}}{(n + 1)^{k}} [/mm] < 1
Und: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{n^{k}}{(n + 1^{k})} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{1}{1 + \bruch{1}{n}})^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
< 1
Also konvergiert die Reihe. Aber das z hat sich weggekürzt, heißt das, die Reihe konvergiert für alle z?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Sa 03.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich habe es mit dem Quotientenkriterium versucht.
>
> [mm]\vektor{n \\ k} \bruch{z^{k}}{n^{k}}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k!(n - k)!}:[/mm]
>
> [mm]|\bruch{(n+1)!}{k!(n+1 - k)!}\* \bruch{z^{k}}{(n+1)^{k}} \*\bruch{k!(n - k)!\*n^{k}}{n! z^{k}}|[/mm]
Da ist ein Exponent falsch !
[mm]|\bruch{(n+1)!}{k!(n+1 - k)!}\* \bruch{z^{k+1}}{(n+1)^{k}} \*\bruch{k!(n - k)!\*n^{k}}{n! z^{k}}|[/mm]
>
> (nach kürzen..) [mm]=\bruch{(n - k)! n^{k}}{(n + 1 - k)! (n + 1)^{k - 1}}[/mm]
Wo ist das z geblieben ... ?
FRED
> = [mm]\bruch{n^{k}}{(n + 1)(n + 1)^{k - 1}}[/mm] = [mm]\bruch{n^{k}}{(n + 1)^{k}}[/mm]
> < 1
>
> Und: [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{n^{k}}{(n + 1^{k})}[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{1}{1 + \bruch{1}{n}})^{k}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
> < 1
> Also konvergiert die Reihe. Aber das z hat sich
> weggekürzt, heißt das, die Reihe konvergiert für alle z?
>
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eieiei.. was hab ich denn da gemacht.
also das z kürzt sich ja schon vorher weg, das ist nur ein Schreibfehler das es (hier [mm] |\bruch{(n+1)!}{k!(n+1 - k)!}* \bruch{z^{k+1}}{(n+1)^{k}} *\bruch{k!(n - k)!*n^{k}}{n! z^{k}}| [/mm] ) mit dem falschen Exponenten wieder auftaucht. Habe es von meinem Blatt nur falsch übertragen, d.h. der Rest dürfte richtig (?) sein. Kann ich denn nun sagen, dass die Reihe dann für alle z konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Sa 03.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> eieiei.. was hab ich denn da gemacht.
>
> also das z kürzt sich ja schon vorher weg, das ist nur ein
> Schreibfehler das es (hier [mm]|\bruch{(n+1)!}{k!(n+1 - k)!}* \bruch{z^{k+1}}{(n+1)^{k}} *\bruch{k!(n - k)!*n^{k}}{n! z^{k}}|[/mm]
> ) mit dem falschen Exponenten wieder auftaucht. Habe es
> von meinem Blatt nur falsch übertragen, d.h. der Rest
> dürfte richtig (?) sein
Nein
> . Kann ich denn nun sagen, dass die
> Reihe dann für alle z konvergiert?
Nein
FRED
>
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oh ich habe die "+ 1" bei n anstatt bei k hinzugefügt. Nochmal neu:
[mm] |\bruch{n!}{(k + 1)!(n - k - 1)!}* \bruch{z^{k + 1}}{n^{k + 1}} *\bruch{k! (n - k)! n^{k}}{n! z^{k}}| [/mm]
so wenn ich jetzt kürze bleibt übrig: [mm] \bruch{z}{k+1} [/mm] < 1 für z < k+1
aber ich sehs schon kommen.. "NEIN".. ;)
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Antwortet mir nur jmd wenn ich frage:
"Ist das richtig was ich in meinem letzten Post gemacht habe?"
oder ist es so falsch... Ich muss zugeben das ich sehr unsicher bei dieser Aufg bin.
Danke im Voraus an den, der sich die Mühe macht mein gewurstel zu durchblicken
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bis vor dem Kürzen hab ich dasselbe.
was machst du mit [mm] \bruch{(n-k)!}{(n-k-1)!} [/mm] und [mm] n^k/n^{k+1}
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo,
also:
[mm] \bruch{(n-k)!}{(n-k-1)!} [/mm] kürzt sich zu n. An diesem Bsp. sieht man es: [mm] \bruch{(20 - 7)!}{(20 - 7 - 1)!} [/mm] = [mm] \bruch{13!}{12!} [/mm] = 13
und [mm] n^k/n^{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] also hab ich einmal oben ein n und unten eins und die kürzen sich dann auch noch weg
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Ich hoffe es guckt sich niemand meinen letzten Post an, das ist wirklich Schwachsinn...
Nochmal neu:
Ich wollte mit dem Quotientenkrit. schauen ob [mm] \vektor{n \\ k} \bruch{z^{k}}{n^{k}} [/mm] konvergiert.
[mm] |\bruch{a_(n+1)}{a_n}| [/mm] = [mm] |\bruch{n!}{(k + 1)!(n - k - 1)!}\cdot{} \bruch{z^{k + 1}}{n^{k + 1}} \bruch{k! (n - k)! n^{k}}{n! z^{k}}| [/mm] = [mm] |\bruch{z(n - k)}{n(k + 1)}| [/mm] = [mm] |\bruch{zn}{nk + n} [/mm] - [mm] \bruch{zk}{nk + n}| [/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{zn}{nk + n} [/mm] - [mm] \bruch{zk}{nk + n}| [/mm] =
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{z}{k + 1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\bruch{n}{z} + \bruch{n}{zk}}| [/mm] = [mm] \bruch{z}{n} [/mm]
das wäre jetzt für z < n kleiner als 1.. ist das nun soweit richtig das ich jetzt sagen kann für n > z konvergiert [mm] \vektor{n \\ k} \bruch{z^{k}}{n^{k}}?
[/mm]
dann könnte ich nämlich auch endlich schreiben:
für ein bel. [mm] \varepsilon [/mm] finde ich ein n > N s.d.
[mm] \bruch{\varepsilon}{3} [/mm] > [mm] |\summe_{k = 0}^{n} \vektor{n \\ k} \bruch{z^{k}}{n^{k}} [/mm] - [mm] \summe_{k = 0}^{N} \vektor{n \\ k} \bruch{z^{k}}{n^{k}}| [/mm] = [mm] |\summe_{k = N + 1}^{n} \vektor{n \\ k} \bruch{z^{k}}{n^{k}}|
[/mm]
Hab ich ein Fehler gemacht? Ist es diesmal richtig? Gibt es einen besseren Weg?
Liebe Grüße, kullinarisch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 06.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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