Reihe Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2^{2}}+\bruch{1}{3^{2}}+\bruch{1}{2^{3}}+\bruch{1}{3^{3}}...+\bruch{1}{2^{n}}+\bruch{1}{3^{n}}+...
[/mm]
b) [mm] 1+a+a^{2}b+a^{3}b^{2}+...+a^{n+1}b^{n}+... [/mm] |
Hallo, ich möchte diese Aufgabe nochmal mit meinem eigenen Lösungsweg aufgreifen.
a) [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2^{2}}+\bruch{1}{3^{2}}+\bruch{1}{2^{3}}+\bruch{1}{3^{3}}...+\bruch{1}{2^{n}}+\bruch{1}{3^{n}}+...=:\summe_{n\ge1}\bruch{1}{2^{n}}+\bruch{1}{3^{n}}
[/mm]
Seien [mm] d_n:=\bruch{1}{2^{n}} [/mm]
[mm] b_n:=\bruch{1}{3^{n}} [/mm] Folgen der Partialsummen.
Ich finde in meinem Skript nicht den entsprechenden Satz für Konvergenz einer Reihe, bestehend aus 2 Folgen.
Ist es also richtig, die Konvergenz der Folgen der Partialsummen getrennt zu betrachten, um auf die Konvergenz der Reihe zu schliessen?
Ich habe es mit dem Wurzelkriterium gemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|d_n|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1}{2^{n}}|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^{\bruch{n}{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}<1
[/mm]
[mm] \Rightarrow d_n=\summe_{n\ge1} \bruch{1}{2^{n}} [/mm] konvergent
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|b_n|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1}{3^{n}}|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{3^{\bruch{n}{n}}}=\bruch{1}{3}<1
[/mm]
[mm] \Rightarrow b_n=\summe_{n\ge1}\bruch{1}{3^{n}} [/mm] konvergent
Folgt hieraus: [mm] \summe_{n\ge1} \bruch{1}{2^{n}}+\bruch{1}{3^{n}} [/mm] konvergent? Und ist es richtig, dass ich erst jetzt folgendes schreiben darf? [mm] \summe_{n\ge1} \bruch{1}{2^{n}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3^{n}}=\summe_{n\ge1} \bruch{1}{2^{n}}+\summe_{n\ge1}\bruch{1}{3^{n}} [/mm] ?
b) [mm] 1+a+a^{2}b+a^{3}b^{2}+...+a^{n+1}b^{n}+...:=\summe_{n\ge1}^{}a^{n}b^{n}+a^{n+1}b^{n}
[/mm]
Seien wieder [mm] a_n:=a^{n}b^{n} [/mm] und [mm] c_n:=a^{n+1}b^{n} [/mm] Folgen der Partialsummen
Mit dem Wurzelkriterium folgt dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a^{n}b^{n}|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|ab|^{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}(|ab|)^{\bruch{n}{n}}= [/mm] |ab|
[mm] \Rightarrow \summe_{n\ge1}^{}a^{n}b^{n} [/mm] absolut konvergent für |ab|<1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|c_n|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a^{n+1}b^{n}|}\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a|^{n+1}|b|^{n}}\limes_{n\rightarrow\infty}|a|^{\bruch{n+1}{n}}|b|^{\bruch{n}{n}}=|a||b|=|ab| [/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n\ge1}^{}|a^{n+1}b^{n}| [/mm] absolut konvergent für |ab|<1
und damit hoffentlich [mm] \summe_{n\ge1}^{}a^{n}b^{n}+a^{n+1}b^{n} [/mm] absolut konvergent für |ab|<1 und divergent für [mm] |ab|\ge1 [/mm]
Würde mich freuen wenn das mal jemand überfliegen könnte!
Grüße, kulli
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Hallo kullinarisch,
> Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:
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> a)
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2^{2}}+\bruch{1}{3^{2}}+\bruch{1}{2^{3}}+\bruch{1}{3^{3}}...+\bruch{1}{2^{n}}+\bruch{1}{3^{n}}+...[/mm]
>
> b) [mm]1+a+a^{2}b+a^{3}b^{2}+...+a^{n+1}b^{n}+...[/mm]
> Hallo, ich möchte diese Aufgabe nochmal mit meinem
> eigenen Lösungsweg aufgreifen.
>
> a)
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2^{2}}+\bruch{1}{3^{2}}+\bruch{1}{2^{3}}+\bruch{1}{3^{3}}...+\bruch{1}{2^{n}}+\bruch{1}{3^{n}}+...=:\summe_{n\ge1}\bruch{1}{2^{n}}+\bruch{1}{3^{n}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Besser Klammern setzen! [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right)[/mm]
>
> Seien [mm]d_n:=\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
> [mm]b_n:=\bruch{1}{3^{n}}[/mm] Folgen der Partialsummen.
>
> Ich finde in meinem Skript nicht den entsprechenden Satz
> für Konvergenz einer Reihe, bestehend aus 2 Folgen.
Wenn du zwei konvergente Reihen [mm]\sum\limits_{n\ge 1}a_n[/mm] und [mm]\sum\limits_{n\ge 1}b_n[/mm] mit den Reihenwerten [mm]\sum\limits_{n\ge 1}a_n=a[/mm] und [mm]\sum\limits_{n\ge 1}b_n=b[/mm] hast, dann konvergiert auch [mm]\sum\limits_{n\ge 1}(a_n+b_n)[/mm] mit Reihenwert [mm]a+b[/mm]
Hier hast du zwei geometr. Reihen (sogar absolut konv.) [mm]\sum\limits_{n\ge 1}1/2^n[/mm] und [mm]\sum\limits_{n\ge 1}1/3^n[/mm] mit den Reihenwerten ....
Den Rest kannst du vervollständigen und auch den Reihenwert von [mm]\sum\limits_{n\ge 1}(1/3^n+1/2^n)[/mm] angeben ...
> Ist es also richtig, die Konvergenz der Folgen der
> Partialsummen getrennt zu betrachten, um auf die Konvergenz
> der Reihe zu schliessen?
Ja, beachte aber, dass der Satz in die andere Richtung geht!
Aus der Konvergenz zweier Reihen folgt die Konvergenz der Summe der Reihen (s.o.)
>
> Ich habe es mit dem Wurzelkriterium gemacht:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|d_n|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1}{2^{n}}|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^{\bruch{n}{n}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}<1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow d_n=\summe_{n\ge1} \bruch{1}{2^{n}}[/mm] konvergent
Das ist nicht [mm]=d_n[/mm] aber es stimmt, dass die Reihe (absolut) konvergiert!
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|b_n|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1}{3^{n}}|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{3^{\bruch{n}{n}}}=\bruch{1}{3}<1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b_n=\summe_{n\ge1}\bruch{1}{3^{n}}[/mm] konvergent
Lass [mm]b_n=[/mm] weg, dann stimmt's!
>
> Folgt hieraus: [mm]\summe_{n\ge1} \bruch{1}{2^{n}}+\bruch{1}{3^{n}}[/mm]
> konvergent?
Ja, aus dem Satz, den ich ansatzweise zitiert habe
> Und ist es richtig, dass ich erst jetzt
> folgendes schreiben darf? [mm]\summe_{n\ge1} \bruch{1}{2^{n}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3^{n}}=\summe_{n\ge1} \bruch{1}{2^{n}}+\summe_{n\ge1}\bruch{1}{3^{n}}[/mm]
Jo!
>
> Würde mich freuen wenn das mal jemand überfliegen
> könnte!
>
> Grüße, kulli
>
>
LG
schachuzipus
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Super! Dann kann ich die unsinnige Rechnung meines Übungsleiters endlich in den Papierkorb verfrachten!
Vielen Dank!
Der Reihenwert ist kein Problem.. Man lässt die beiden Reihen bei 0 starten und zieht dafür jeweils 1 ab und mit dem GW der geom. Reihe sollte man dann insgesamt auf [mm] \bruch{3}{2} [/mm] kommen.
Die b) dürfte ja analog funktionieren!
Grüße, kulli
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Hallo kullinarisch!
Du kannst hier etwas schneller vorgehen, indem Du Deine Reihe wie folgt umformst / beschreibst:
[mm] $$1+a+a^{2}*b+a^{3}*b^{2}+...+a^{n+1}*b^{n}+... [/mm] \ = \ [mm] 1+a*\summe_{n=0}^{\infty}\left(a^n*b^n\right) [/mm] \ = \ [mm] 1+a*\summe_{n=0}^{\infty}(ab)^n$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner. Das habe ich zuerst auch so gemacht, habe dann aber den Hinweis erhalten, dass es beim nächsten mal keine Punkte mehr dafür gibt, mit der Begründung, dass man dann schon voraussetzt, dass die Reihe konvergiert, denn es ist ja:
[mm] (1+a)\summe_{n=0}^{\infty}(ab)^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(ab)^n [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a^{n+1}b^{n}
[/mm]
und ich zitiere Schachuzipus: "Ja, beachte aber, dass der Satz in die andere Richtung geht! Aus der Konvergenz zweier Reihen folgt die Konvergenz der Summe der Reihen (s.o.)"
also einer lügt jetzt 
Grüße, kullinarisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Do 26.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Roadrunner. Das habe ich zuerst auch so gemacht, habe
> dann aber den Hinweis erhalten, dass es beim nächsten mal
> keine Punkte mehr dafür gibt, mit der Begründung, dass
> man dann schon voraussetzt, dass die Reihe konvergiert,
> denn es ist ja:
>
> [mm](1+a)\summe_{n=0}^{\infty}(ab)^n[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(ab)^n[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a^{n+1}b^{n}[/mm]
Das ist doch aber etwas ganz anderes als in der Aufgabenstellung !
In der Aufgabenstellung und in Roadrunners Antwort wird die Reihe
$ [mm] 1+a\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}(ab)^n [/mm] $
betrachtet.
Du hast das daraus gemacht:
[mm](1+a)\summe_{n=0}^{\infty}(ab)^n[/mm]
Im allgemeinen ist (1+a)x [mm] \ne [/mm] 1+ax
>
> und ich zitiere Schachuzipus: "Ja, beachte aber, dass der
> Satz in die andere Richtung geht! Aus der Konvergenz zweier
> Reihen folgt die Konvergenz der Summe der Reihen (s.o.)"
>
> also einer lügt jetzt
Nein.
FRED
>
> Grüße, kullinarisch
>
>
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Um so besser! Bin davon ausgegangen, dass er die Klammer vergessen hat, habe es nun auch gesehen..
Dann nehm ich alles zurück und bedanke mich für diese umformung
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