Reihe,Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuche die Reihe auf Konvergenz
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{1*3*5*..*(2n+1)} [/mm] |
Ich weiß:
[mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] 1*3*5*..*(2n+1)
= [mm] \frac{(2n+1)!}{2^n\cdot n!}
[/mm]
Aber wie bringe ich das in die summe ein?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Der Nenner erinnert mich an die "Doppelfalkultät"
[mm] n!!=\begin{cases} n*(n-2)*(n-4)*...*2, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ n*(n-2)*(n-4)*...*1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Es gilt auch: [mm] (2n)!!=2^n*k! [/mm] und [mm] (2n-1)!!=\bruch{(2n)!}{2^n*n!}
[/mm]
Vielleicht kannst du dies in irgendeiner Art und Weise verwenden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo theresetom!
Wende doch mal z.B. das Quotientenkriterium an.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
$ [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{1\cdot{}3\cdot{}5\cdot{}..\cdot{}(2n+1)} [/mm] $
[mm] |\frac{2^{n+1}}{1*3*5*..*(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)} [/mm] * [mm] \frac{1\cdot{}3\cdot{}5\cdot{}..\cdot{}(2n+1)}{2^n} [/mm] |= [mm] \frac{2}{(2n+2)*(2n+3)}= \frac{2}{4n^2+6n+4n+6} [/mm] -> [mm] n->\infty [/mm] 0
-> konvergent
Passt es so?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo theresetom!
Prinzipiell hast Du es richtig gemacht. Bedenke aber, dass es den Term $(2n+2)$ im Nenner des ersten Bruches nicht gibt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Sa 26.05.2012 | | Autor: | theresetom |
Jap der term gehört weg,
LG
danke
|
|
|
|
