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| Aufgabe | Sei [mm] $f:\mathbb{N}\to [0,\infty)$ [/mm] gegeben.
Zeigen Sie:
a) [mm] $\sum_{n\in\mathbb{N}} f(n)=\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^m f(n)\in [0,\infty]$
[/mm]
Die linke Seite ist definiert als Supremum der Summen [mm] $\sum_{n\in F} [/mm] f(n)$ für alle endlichen Teilmengen [mm] $F\subseteq\mathbb{N}$.
[/mm]
b) Für jede bijektive Abbildung [mm] $\pi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ [/mm] gilt
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} f(\pi(n))=\sum_{n=1}^{\infty} [/mm] f(n)$
c) Nun sei [mm] $f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ [/mm] und es sei [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} [/mm] f(n)$ absolut konvergent. Sei [mm] $\pi$ [/mm] wie in Aufgabenteil b.
Zeigen Sie, dass [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} f(\pi(n))$ [/mm] ebenfalls absolut konvergiert und dass
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} f(\pi(n))=\sum_{n=1}^{\infty} [/mm] f(n)$ gilt.
Hinweis: Schreiben Sie $f(n)=f(n)_+-f(n)_-$ mit [mm] $f_+=\max\{0,f(n)\}$ [/mm] |
Hallo,
ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe.
Zu a)
Zu erst hätte ich eine Frage zur Definition der "linken Seite".
Ich verstehe es richtig, dass man alle endlichen Teilmengen [mm] $F\subseteq\mathbb{N}$ [/mm] nimmt und dann die Summe auswählt für die
[mm] $\sum_{n\in F} [/mm] f(n)$ am größten ist.
Das halte ich für etwas eigenartig, denn so eine endliche Teilmenge existiert doch eigentlich gar nicht, da ich ein solches $F$ nicht fixieren kann, oder spielt das keine Rolle?
Ich möchte die beiden Ungleichungen [mm] "$\leq$" [/mm] und [mm] "$\geq$" [/mm] zeigen.
[mm] "$\leq$" [/mm] sollte recht einfach sein.
[mm] $\sum_{n\in\mathbb{N}} f(n)=\sup_{F\subseteq\mathbb{N}}\{\sum_{n\in F}| F\subseteq\mathbb{N}\,\,\text\{endlich}\}\leq\sum_{n\in\mathbb{N}}f(n)$
[/mm]
Gilt selbstverständlich, da ich "links" über eine endliche Teilmenge summiere und "rechts" über die gesamten natürlichen Zahlen, also summiere ich auch über alle Elemente der Teilmenge $F$.
[mm] $\geq$ [/mm] erweist sich als problematischer.
Hier ist mir bisher nichts brauchbares eingefallen.
Ich denke es hilft mir, wenn vorerst die obige Frage geklärt wird.
zu b)
Ich bin wie folgt vorgegangen:
Es gilt:
[mm] \sum_{n=1}^\infty f(n)=\sum_{n\in\pi(\mathbb{N})} [/mm] f(n)
da [mm] $\pi$ [/mm] bijektiv.
Somit
[mm] $\sum_{n\in\pi(\mathbb{N})} f(n)=\sum_{n=1}^{\infty} f(\pi(n))$
[/mm]
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Do 12.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\mathbb{N}\to [0,\infty)[/mm] gegeben.
> Zeigen Sie:
>
> a) [mm]\sum_{n\in\mathbb{N}} f(n)=\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^m f(n)\in [0,\infty][/mm]
>
> Die linke Seite ist definiert als Supremum der Summen
> [mm]\sum_{n\in F} f(n)[/mm] für alle endlichen Teilmengen
> [mm]F\subseteq\mathbb{N}[/mm].
>
> b) Für jede bijektive Abbildung
> [mm]\pi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}[/mm] gilt
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} f(\pi(n))=\sum_{n=1}^{\infty} f(n)[/mm]
>
> c) Nun sei [mm]f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}[/mm] und es sei
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} f(n)[/mm] absolut konvergent. Sei [mm]\pi[/mm] wie in
> Aufgabenteil b.
> Zeigen Sie, dass [mm]\sum_{n=1}^{\infty} f(\pi(n))[/mm] ebenfalls
> absolut konvergiert und dass
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} f(\pi(n))=\sum_{n=1}^{\infty} f(n)[/mm]
> gilt.
>
> Hinweis: Schreiben Sie [mm]f(n)=f(n)_+-f(n)_-[/mm] mit
> [mm]f_+=\max\{0,f(n)\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe.
>
> Zu a)
>
> Zu erst hätte ich eine Frage zur Definition der "linken
> Seite".
> Ich verstehe es richtig, dass man alle endlichen Teilmengen
> [mm]F\subseteq\mathbb{N}[/mm] nimmt und dann die Summe auswählt
> für die
>
> [mm]\sum_{n\in F} f(n)[/mm] am größten ist.
Nicht die größte solcher Summen, sondern das Supremum über all solche Summen.
>
> Das halte ich für etwas eigenartig, denn so eine endliche
> Teilmenge existiert doch eigentlich gar nicht,
Hä ? Wieso nicht ?
> da ich ein
> solches [mm]F[/mm] nicht fixieren kann, oder spielt das keine
> Rolle?
Verstehe ich nicht.
>
> Ich möchte die beiden Ungleichungen "[mm]\leq[/mm]" und "[mm]\geq[/mm]"
> zeigen.
> "[mm]\leq[/mm]" sollte recht einfach sein.
>
> [mm]\sum_{n\in\mathbb{N}} f(n)=\sup_{F\subseteq\mathbb{N}}\{\sum_{n\in F}| F\subseteq\mathbb{N}\,\,\text\{endlich}\}\leq\sum_{n\in\mathbb{N}}f(n)[/mm]
Hier wiederholst Du doch nur die Def. von [mm] \sum_{n\in\mathbb{N}} [/mm] f(n) !!!
>
> Gilt selbstverständlich, da ich "links" über eine
> endliche Teilmenge summiere und "rechts" über die gesamten
> natürlichen Zahlen, also summiere ich auch über alle
> Elemente der Teilmenge [mm]F[/mm].
>
> [mm]\geq[/mm] erweist sich als problematischer.
>
> Hier ist mir bisher nichts brauchbares eingefallen.
> Ich denke es hilft mir, wenn vorerst die obige Frage
> geklärt wird.
>
> zu b)
>
> Ich bin wie folgt vorgegangen:
>
> Es gilt:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty f(n)=\sum_{n\in\pi(\mathbb{N})}[/mm] f(n)
Unter anderem sollst Du doch gerade obige Gleichheit zeigen !!!
>
> da [mm]\pi[/mm] bijektiv.
>
> Somit
>
> [mm]\sum_{n\in\pi(\mathbb{N})} f(n)=\sum_{n=1}^{\infty} f(\pi(n))[/mm]
Nein, gezeigt hast Du nichts !
Zu b) mach Dir nochmal ein paar Gedanken. Und verwende den Hinweis, denn der ist dazu da, dass man ihn benutzt.
Bei a) helfe ich Dir auf die Sprünge. Dafür sollte man ein paar Bez. einführen:
Sei
[mm] \mathcal{F} [/mm] = Menge alle nichtleeren endlichen Teilmengen von [mm] \IN, [/mm]
es sei
[mm] $S:=\sup \{ \sum_{n\in F} f(n): F \in \mathcal{F} \} [/mm] $
Beachte: nicht verboten ist $S= [mm] \infty [/mm] $ !!
und für $F [mm] \in \mathcal{F}$ [/mm] sei
[mm] $S_F:= \sum_{n\in F} [/mm] f(n) $.
Zu zeigen ist also: [mm] $\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^m [/mm] f(n)=S.$
Zunächst mach Dir klar:
(*) aus $F,G [mm] \in \mathcal{F}$ [/mm] und $F [mm] \subseteq [/mm] G$ folgt [mm] S_{F}\le S_{G}.
[/mm]
Für m [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] F_m:=\{1,2,...,m\} [/mm] und [mm] S_m:=S_{F_m}. [/mm] Dann ist also
[mm] $\sum_{n=1}^m f(n)=S_m$
[/mm]
Ich zeige Dir nun , wie es weitergeht unter der Voraussetzung $S < [mm] \infty$. [/mm] Den Fall $S= [mm] \infty [/mm] $ überlasse ich Dir.
Klar dürfte sein, dass gilt [mm] $S_m \le [/mm] S$ für jedes m [mm] \in \IN. [/mm] Aus (*) folgt: die Folge [mm] (S_m) [/mm] ist monoton wachsend. Somit ist [mm] (S_m) [/mm] konvergent. Sei L ihr Limes.
Zu zeigen ist also: S=L.
Ist nun [mm] \epsilon [/mm] >0, so ex. ein $F [mm] \in \mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $S_F [/mm] > S- [mm] \epsilon$.
[/mm]
Setzt man [mm] $m_0:= \max [/mm] F$, so ist $F [mm] \subseteq F_{m_0}$, [/mm] also [mm] S_F \le S_{m_0}.
[/mm]
Für m [mm] \ge m_0 [/mm] haben wir dann:
$S- [mm] \epsilon
Es ist also
$S- [mm] \epsilon \le S_m \le [/mm] S$ für jedes m [mm] \ge m_0.
[/mm]
Mit $ m [mm] \to \infty$ [/mm] erhalten wir
$S- [mm] \epsilon \le [/mm] L [mm] \le [/mm] S$ .
Lässt man nun $ [mm] \epsilon \to [/mm] 0$ gehen, so liefert die: L=S.
FRED
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> Vielen Dank im voraus.
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Vielen Dank für die Rückmeldung.
Die Frage hat sich mittlerweile geklärt.
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