Reihe auf Konvergenz prüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfen sie die Reihe:
[mm] \summe (\wurzel[n]{a}-1)
[/mm]
auf Konvergenz. |
Also, da die [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] gegen 1 konvergiert, ist das notwendige Kriterium auf jedenfall schonmal gegeben.
Das bedeutet die Reihe könnte also konvergieren.
Wenn [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] gegen 1 konvergiert, dann bleibt die Summe eine leere Summe, da ja immer nur 0, addiert wird.
Allerdings hab ich keine ahnung wie man das beweist. Für a=1 ist die Wurzel immer 1, das bedeutet die Reihe muss konvergieren, immerhin ist es ja nur eine Summe von 0en.
Aber was ist mit a>0 ?
Vielen dank schonmal.
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Hi!
> Prüfen sie die Reihe:
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> [mm]\summe (\wurzel[n]{a}-1)[/mm]
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> auf Konvergenz.
> Also, da die [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] gegen 1 konvergiert, ist das
> notwendige Kriterium auf jedenfall schonmal gegeben.
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> Das bedeutet die Reihe könnte also konvergieren.
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> Wenn [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] gegen 1 konvergiert, dann bleibt die
> Summe eine leere Summe, da ja immer nur 0, addiert wird.
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> Allerdings hab ich keine ahnung wie man das beweist. Für
> a=1 ist die Wurzel immer 1, das bedeutet die Reihe muss
> konvergieren, immerhin ist es ja nur eine Summe von 0en.
>
> Aber was ist mit a>0 ?
>
> Vielen dank schonmal.
Du solltest das anders angehen.
Welche Möglichkeiten gibt es denn eine Reihe auf Konvergenz zu untersuchen?
Es wäre da zum Beispiel das Quotientenkriterium,.....
Gruß
Valerie
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> Hi!
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> > Prüfen sie die Reihe:
> >
> > [mm]\summe (\wurzel[n]{a}-1)[/mm]
> >
> > auf Konvergenz.
> > Also, da die [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] gegen 1 konvergiert, ist das
> > notwendige Kriterium auf jedenfall schonmal gegeben.
> >
> > Das bedeutet die Reihe könnte also konvergieren.
> >
> > Wenn [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] gegen 1 konvergiert, dann bleibt die
> > Summe eine leere Summe, da ja immer nur 0, addiert wird.
> >
> > Allerdings hab ich keine ahnung wie man das beweist. Für
> > a=1 ist die Wurzel immer 1, das bedeutet die Reihe muss
> > konvergieren, immerhin ist es ja nur eine Summe von 0en.
> >
> > Aber was ist mit a>0 ?
> >
> > Vielen dank schonmal.
>
> Du solltest das anders angehen.
> Welche Möglichkeiten gibt es denn eine Reihe auf
> Konvergenz zu untersuchen?
> Es wäre da zum Beispiel das Quotientenkriterium,.....
>
> Gruß
> Valerie
>
Okay wenn ich das Quotientenkriterium anwende erhalte ich:
[mm] |\bruch{\wurzel[n+1]{a}-1}{\wurzel[n]{a}-1}|
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{1-1}{1-1}| [/mm] = [mm] \bruch{0}{0}<1
[/mm]
Den die [mm] \wurzel[n]{a}, a\in\IR\to1
[/mm]
Aber durch 0 darf man doch garnicht teilen, oder ist es im fall [mm] \bruch{0}{0} [/mm] erlaubt ?
Also irgendwie sieht mir das nicht korrekt aus :-/
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Sa 17.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hi!
> >
> > > Prüfen sie die Reihe:
> > >
> > > [mm]\summe (\wurzel[n]{a}-1)[/mm]
> > >
> > > auf Konvergenz.
> > > Also, da die [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] gegen 1 konvergiert, ist
> das
> > > notwendige Kriterium auf jedenfall schonmal gegeben.
soweit war das korrekt.
> > > Das bedeutet die Reihe könnte also konvergieren.
Richtig.
> > > Wenn [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] gegen 1 konvergiert, dann bleibt die
> > > Summe eine leere Summe, da ja immer nur 0, addiert wird.
Was??
> > > Allerdings hab ich keine ahnung wie man das beweist.
Dann erkläre mal, was Du eigentlich beweisen willst. "Im Unendlichen" können wir nichts machen...
> > > Für
> > > a=1 ist die Wurzel immer 1, das bedeutet die Reihe muss
> > > konvergieren, immerhin ist es ja nur eine Summe von 0en.
Auch das stimmt.
> > > Aber was ist mit a>0 ?
> > >
> > > Vielen dank schonmal.
> >
> > Du solltest das anders angehen.
> > Welche Möglichkeiten gibt es denn eine Reihe auf
> > Konvergenz zu untersuchen?
> > Es wäre da zum Beispiel das Quotientenkriterium,.....
> >
> > Gruß
> > Valerie
> >
>
> Okay wenn ich das Quotientenkriterium anwende erhalte ich:
>
> [mm]|\bruch{\wurzel[n+1]{a}-1}{\wurzel[n]{a}-1}|[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{1-1}{1-1}|[/mm] =
> [mm]\bruch{0}{0}<1[/mm]
Hier wird es falsch. Aus [mm] $a_n \to a\,, b_n \to [/mm] b$ und [mm] $c_n \to [/mm] c$ (wobei [mm] $\pm \infty$ [/mm] für $a,b,c$ NICHT erlaubt sei) folgt zwar
[mm] $$|a_n| \to |a|\,,$$
[/mm]
aber
[mm] $$b_n/c_n \to [/mm] b/c$$
bedarf der Forderung $c [mm] \not=0\,.$ [/mm] (Woraus auch folgt, dass alle bis auf endlich viele [mm] $c_n$ [/mm] natürlich [mm] $c_n \not=0$ [/mm] erfüllen!)
Eine Division [mm] "$0/0\,$" [/mm] ist auch nicht erlaubt, aber es gibt sowas wie den Satz von de l'Hopital, da gibt's eine "Behandlungsmöglichkeit" von Fällen der Art "$0/0$".
Ich denke allerdings, dass Du hier mit dem Quotientenkriterium nicht weiterkommst (ich habe mir mal einen Plot von
[mm] $$\displaystyle [/mm] x [mm] \mapsto \frac{3^{1/([x]+1)}-1}{3^{1/[x]}-1}$$ [/mm]
angeschaut, es sieht aus, als wenn bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] die Funktion gegen [mm] $1\,$ [/mm] konvergiert).
Ob's hilft, weiß ich nicht, aber vielleicht kann man ja
[mm] $$a^{1/n}=\exp((1/n)*\ln(a))$$
[/mm]
schreiben. Danach
[mm] $$\exp((1/n)*\ln(a))=1+\sum_{k=1}^\infty \frac{(1/n)^k*\ln^k(a)}{k!}$$
[/mm]
schreiben und damit nach einer passenden Abschätzung suchen...
P.S.
Wenn Du genau hinguckst, sollte hier - jedenfalls für $a > [mm] 1\,$ [/mm] - sowas wie
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty a_{n,k} \ge \sum_{n=1}^\infty a_{n,1}$$
[/mm]
zum Ziel führen. Dies darfst Du verwenden, wenn alle [mm] $a_{n,k} \ge [/mm] 0$ sind. (Bzw. wenn für $k [mm] \ge [/mm] 2$ alle [mm] $a_{n,k} \ge [/mm] 0$ sind, wäre auch hinreichend!)
Dann musst Du Dir also noch Gedanken zum Fall $0 < a < [mm] 1\,$ [/mm] machen...
Gruß,
Marcel
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