Reihe, divergent od konvergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, unter Angabe der Konvergenzkriterien, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren.
1. [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1+(-1)^n \cdot n}{1+n^2}
[/mm]
2. [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{1+x^{2n}} [/mm] für x [mm] \in \IR
[/mm]
Tipp: Betrachte die Fälle [mm] \left| x \right| [/mm] = 1, [mm] \left| x \right| [/mm] < 1, [mm] \left| x \right| [/mm] > 1 getrennt.
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Hallo!
zu 1. Mit dem Wurzel- und Quotientenkriterium kommt man hier leider nicht weiter.. Aber wir hatten noch zwei Kriterien zu alternierenden Reihen, nur ist dort das Problem, dass für die Glieder der Folge dann gelten müsste:
[mm] \left| \frac{1+(-1)^n \cdot n}{1+n^2} \right| \ge \left| \frac{1+(-1)^n \cdot n}{1+n^2} \right| [/mm]
und das gilt leider schon für die ersten Glieder nicht, diese lauten: 0, [mm] \frac{3}{5}, -\frac{1}{5}, \frac{5}{17}, -\frac{2}{13}, [/mm] ...
Dann hab ich überlegt, ob die vielleicht divergiert, aber der Limes der Folge geht gegen Null und damit sind meine Kriterien für Divergenz erschöpft. Hoffe ihr habt einen Tipp für mich, wie ich vorgehen kann.
zu 2. Da habe ich immerhin einen Anfang:
1. Fall: x = 1
Dann konvergiert die zugrunde liegende Folge gegen [mm] \frac{1}{2} [/mm] und damit divergiert die Summe.
2. Fall: x = -1
Dann ist die Folge abwechselnd [mm] \frac{1}{2} [/mm] und [mm] -\frac{1}{2}, [/mm] damit ergibt sich für den Limessuperior ein anderer Wert als für den Limesinferior und damit existiert der Limes nicht und die Summe divergiert.
3. Fall: [mm] \left| x \right| [/mm] < 1, 4. Fall: [mm] \left| x \right| [/mm] < 1
Bei beiden geht der Limes der Folge gegen Null, aber damit kann ich leider keine Aussage über die Konvergenz oder Divergenz der Summe treffen.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
Liebe Grüße, WiebkeMarie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Di 05.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie, unter Angabe der Konvergenzkriterien, ob die
> folgenden Reihen konvergieren oder divergieren.
>
> 1. [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1+(-1)^n \cdot n}{1+n^2}[/mm]
>
> 2. [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{1+x^{2n}}[/mm] für x
> [mm]\in \IR[/mm]
>
> Tipp: Betrachte die Fälle [mm]\left| x \right|[/mm] = 1, [mm]\left| x \right|[/mm]
> < 1, [mm]\left| x \right|[/mm] > 1 getrennt.
>
> Hallo!
>
> zu 1. Mit dem Wurzel- und Quotientenkriterium kommt man
> hier leider nicht weiter.. Aber wir hatten noch zwei
> Kriterien zu alternierenden Reihen, nur ist dort das
> Problem, dass für die Glieder der Folge dann gelten
> müsste:
> [mm]\left| \frac{1+(-1)^n \cdot n}{1+n^2} \right| \ge \left| \frac{1+(-1)^n \cdot n}{1+n^2} \right|[/mm]
> und das gilt leider schon für die ersten Glieder nicht,
> diese lauten: 0, [mm]\frac{3}{5}, -\frac{1}{5}, \frac{5}{17}, -\frac{2}{13},[/mm]
> ...
> Dann hab ich überlegt, ob die vielleicht divergiert, aber
> der Limes der Folge geht gegen Null und damit sind meine
> Kriterien für Divergenz erschöpft. Hoffe ihr habt einen
> Tipp für mich, wie ich vorgehen kann.
Hallo,
ich schlage die vor, eine neue Reihe zu bilden, indem du jeweils zwei aufeinanderfolgende Glieder der Folge zu EINEM Glied zusammenfasst.
Es geht damit um die Reihe mit [mm] (\bruch{1+n}{1+n^2}+\bruch{1-(n+1))}{1+(n+1)^2})
[/mm]
Vieleicht siehst du mehr, wenn du die beiden beteiligten Brüche gleichnamig gemacht hast.
Gruß Abakus
>
>
> zu 2. Da habe ich immerhin einen Anfang:
>
> 1. Fall: x = 1
> Dann konvergiert die zugrunde liegende Folge gegen
> [mm]\frac{1}{2}[/mm] und damit divergiert die Summe.
>
> 2. Fall: x = -1
> Dann ist die Folge abwechselnd [mm]\frac{1}{2}[/mm] und
> [mm]-\frac{1}{2},[/mm] damit ergibt sich für den Limessuperior ein
> anderer Wert als für den Limesinferior und damit existiert
> der Limes nicht und die Summe divergiert.
>
> 3. Fall: [mm]\left| x \right|[/mm] < 1, 4. Fall: [mm]\left| x \right|[/mm] <
> 1
> Bei beiden geht der Limes der Folge gegen Null, aber damit
> kann ich leider keine Aussage über die Konvergenz oder
> Divergenz der Summe treffen.
>
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
>
> Liebe Grüße, WiebkeMarie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Di 05.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Etwas Vorsicht ist bei dieser Methode geboten: Wenn die Reihe mit je zwei aufeinanderfolgenden Gliedern zu einem zusammengefasst konvergiert, folgt NICHT automatisch, dass die ursprüngliche Reihe konvergiert. Wenn diese Reihe aber divergiert, muss auch die ursprüngliche Reihe divergieren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Di 05.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Etwas Vorsicht ist bei dieser Methode geboten: Wenn die
> Reihe mit je zwei aufeinanderfolgenden Gliedern zu einem
> zusammengefasst konvergiert, folgt NICHT automatisch, dass
> die ursprüngliche Reihe konvergiert. Wenn diese Reihe aber
> divergiert, muss auch die ursprüngliche Reihe divergieren.
Hallo,
dein Einwand ist erst mal prizipiell richtig.
Im konkreten Fall wäre er aber nur dann berechtigt, wenn die ursprüngliche Folge keine Nullfolge wäre.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Di 05.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Oh, stimmt, da hast du allerdings recht, daran habe ich nicht gedacht. Vielen Dank für den Hinweis!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Di 05.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Oh, stimmt, da hast du allerdings recht, daran habe ich
> nicht gedacht. Vielen Dank für den Hinweis!
e
Ist doch kein Problem. Ich war nur auf das konkrete Problem fixiert, und du hast auf saubere Verwendung der Theorie hingewiesen. So sollte es auch sein.
Gruß Abakus
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zu 1. Hab das mal wie von abakus gesagt ausgerechnet:
Wenn ich immer zwei Folgeglieder zusammenfasse gilt:
[mm] \frac{1+n}{1+n^2} [/mm] + [mm] \frac{1-(n+1)}{1+(n+1)^2} [/mm] = [mm] \frac{3n^2+3n+2}{n^4+2n^3+3n^2+2n+2}
[/mm]
Und von dem geht wieder der Limes gegen Null.
Für die Summe
[mm] \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{3n^2+3n+2}{n^4+2n^3+3n^2+2n+2}
[/mm]
kann man bestimmt irgendwas mit dem Majorantenkriterium machen oder? Also eine Summe finden die divergiert und immer kleiner ist, so dass die obige Summe divergiert, oder eine Summe finden die konvergiert und immer größer ist, so dass die sobige Summe konvergiert.
Aber leider komme ich auf kein Beispiel...
Und wenn die obige Summe konvergiert oder divergiert, dann konvergiert oder divergiert auch meine ursprüngliche Summe oder? Gilt das immer? Konnte da euren Mitteilungen nicht ganz folgen, wäre nett wenn jemand den Satz nochmal genau nennen könnte.
Lieben Gruß, WiebkeMarie
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Hallo WiebkeMarie,
dann will ich mich auch mal einmischen...
> zu 1. Hab das mal wie von abakus gesagt ausgerechnet:
> Wenn ich immer zwei Folgeglieder zusammenfasse gilt:
> [mm]\frac{1+n}{1+n^2}[/mm] + [mm]\frac{1-(n+1)}{1+(n+1)^2}[/mm] =
> [mm]\frac{3n^2+3n+2}{n^4+2n^3+3n^2+2n+2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und von dem geht wieder der Limes gegen Null.
Besser: Das ist ebenfalls eine Nullfolge. 
> Für die Summe
> [mm]\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{3n^2+3n+2}{n^4+2n^3+3n^2+2n+2}[/mm]
Moment mal.
Das ist nicht die zu betrachtende Summe. Du hast doch jeweils zwei Summenglieder zusammengefasst!
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1+(-1)^n n}{1+n^2}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3(2k)^2+3(2k)+2}{(2k)^4+2(2k)^3+3(2k)^2+2(2k)+2}
[/mm]
So stimmts. Du hast jeweils die Summenglieder für n und (n+1) zusammengefasst zu einem, das auf n=2k basiert, was auch mit Deiner Vorzeichenwahl übereinstimmt. Es werden also abgebildet [mm] (0;1)\to{0},\ (2;3)\to{1},\ (n;n+1)\to \bruch{n}{2} [/mm] bzw. sauberer [mm] (2k;2k+1)\to{k}.
[/mm]
Soweit klar?
> kann man bestimmt irgendwas mit dem Majorantenkriterium
> machen oder?
Ja, das sieht ganz so aus. Versuch doch mal [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}. [/mm] Für [mm] k\ge{2} [/mm] scheint das doch zu klappen...
> Also eine Summe finden die divergiert und
> immer kleiner ist, so dass die obige Summe divergiert, oder
> eine Summe finden die konvergiert und immer größer ist,
> so dass die sobige Summe konvergiert.
> Aber leider komme ich auf kein Beispiel...
>
> Und wenn die obige Summe konvergiert oder divergiert, dann
> konvergiert oder divergiert auch meine ursprüngliche Summe
> oder?
Na, nicht ganz. Wenn Deine Vergleichsreihe größer ist (eine Majorante ist) und konvergiert, dann auch die untersuchte. Wenn die Vergleichssumme aber kleiner ist (eine Minorante ist) und divergiert, dann divergiert auch die untersuchte Reihe. Diesen Unterschied musst Du Dir ganz klar machen, sonst helfen Dir diese beiden Geschwisterkriterien nicht weiter.
> Gilt das immer? Konnte da euren Mitteilungen nicht
> ganz folgen, wäre nett wenn jemand den Satz nochmal genau
> nennen könnte.
Hier ist kein weiterer Satz angewandt worden, nur das ![[]](/images/popup.gif) Majorantenkriterium (und, weil man ja beides überlegt, latent auch das Minorantenkriterium. Letzteres ist ein wichtiger Eintrag für das Verständnis beider! ).
> Lieben Gruß, WiebkeMarie
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:55 Mi 06.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> > Und wenn die obige Summe konvergiert oder divergiert, dann
> > konvergiert oder divergiert auch meine ursprüngliche Summe
> > oder?
>
> Na, nicht ganz. Wenn Deine Vergleichsreihe größer ist
> (eine Majorante ist) und konvergiert, dann auch die
> untersuchte. Wenn die Vergleichssumme aber kleiner ist
> (eine Minorante ist) und divergiert, dann divergiert auch
> die untersuchte Reihe. Diesen Unterschied musst Du Dir ganz
> klar machen, sonst helfen Dir diese beiden
> Geschwisterkriterien nicht weiter.
>
> > Gilt das immer? Konnte da euren Mitteilungen nicht
> > ganz folgen, wäre nett wenn jemand den Satz nochmal genau
> > nennen könnte.
>
> Hier ist kein weiterer Satz angewandt worden, nur das
> Majorantenkriterium
> (und, weil man ja beides überlegt, latent auch das
> Minorantenkriterium.
> Letzteres ist ein wichtiger Eintrag für das Verständnis
> beider! ).
Ich glaube, Wiebke Marie meinte den Zusammenhang zwischen der Reihe, bei der je zwei Summanden zusammengefasst sind, und der Reihe aus der Aufgabenstellung. (Oder, reverend, meintest du, dass man dies irgendwie mit dem Majoranten-/Minorantenkriterium zeigen kann?)
Ich würde da folgenden Satz formulieren (mit [mm]\IN[/mm] meine ich die natürlichen Zahlen einschließlich der 0):
Sei [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] eine Reihe, [mm](n_k)_{k\in\IN}[/mm] eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit [mm]n_0=0[/mm].
a) Falls [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] konvergiert, konvergiert auch die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(a_{n_k}+...+a_{n_{k+1}-1})[/mm] mit zusammengefassten Summanden.
b) Falls die Folge der Reihenglieder [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Nullfolge ist und [mm](n_k)_{k\in\IN}=(n*k)_{k\in\IN}[/mm] für eine feste natürliche Zahl n gilt (oder allgemeiner: die Folge [mm](n_{k+1}-n_k)_{k\in\IN}[/mm] der Differenzen ist beschränkt), folgt aus der Konvergenz von [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(a_{n_k}+...+a_{n_{k+1}-1})[/mm] bereits die Konvergenz der ursprünglichen Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm].
In den Fällen von a) und b) stimmen die beiden Grenzwerte überein.
Angewendet wird der Satz hier auf die Folge [mm](n_k)_{k\in\IN}=(2k)_{k\in\IN}[/mm].
Viele Grüße
Tobias
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Hallo WiebkeMarie,
> Beweisen Sie, unter Angabe der Konvergenzkriterien, ob die
> folgenden Reihen konvergieren oder divergieren.
> 2. [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{1+x^{2n}}[/mm] für x
> [mm]\in \IR[/mm]
>
> Tipp: Betrachte die Fälle [mm]\left| x \right|[/mm] = 1, [mm]\left| x \right|[/mm]
> < 1, [mm]\left| x \right|[/mm] > 1 getrennt.
>
> zu 2. Da habe ich immerhin einen Anfang:
>
> 1. Fall: x = 1
> Dann konvergiert die zugrunde liegende Folge gegen
> [mm]\frac{1}{2}[/mm] und damit divergiert die Summe.
> 2. Fall: x = -1
> Dann ist die Folge abwechselnd [mm]\frac{1}{2}[/mm] und
> [mm]-\frac{1}{2},[/mm] damit ergibt sich für den Limessuperior ein
> anderer Wert als für den Limesinferior und damit existiert
> der Limes nicht und die Summe divergiert.
> 3. Fall: [mm]\left| x \right|[/mm] < 1, 4. Fall: [mm]\left| x \right|[/mm] <1
Der 4. Fall ist doch [mm] |x|\blue{>}1, [/mm] oder? Wahrscheinlich nur ein Tippfehler
> Bei beiden geht der Limes der Folge gegen Null,
Gut gesehen!
> aber damit
> kann ich leider keine Aussage über die Konvergenz oder
> Divergenz der Summe treffen.
Stimmt. Das ist das Trivialkriterium. Mit dem Quotientenkriterium kannst Du aber sehr wohl eine Aussage treffen.
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
>
> Liebe Grüße, WiebkeMarie
Denn mal los...
lg
rev
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